形式三角矩陣半環(huán)的自同構(gòu)與反自同構(gòu)

張?jiān)匆埃?譚宜家

福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福州 350108

半環(huán)理論是代數(shù)理論研究的一個(gè)重要內(nèi)容，應(yīng)用很廣泛[1-4]．半環(huán)上的自同構(gòu)和反自同構(gòu)是半環(huán)理論中的最基本的研究?jī)?nèi)容之一．對(duì)于自同構(gòu)，文獻(xiàn)[5]證明了交換環(huán)上嚴(yán)格上三角矩陣代數(shù)的自同構(gòu)可以表示成一個(gè)對(duì)角自同構(gòu)、一個(gè)中心自同構(gòu)和一個(gè)內(nèi)自同構(gòu)的乘積；文獻(xiàn)[6-11]研究了矩陣環(huán)和矩陣代數(shù)的導(dǎo)子和自同構(gòu)．文獻(xiàn)[12]探討了形式三角矩陣環(huán)的導(dǎo)子和自同構(gòu)．文獻(xiàn)[13]研究了形式三角矩陣環(huán)的反自同構(gòu)．

本文在上述基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究形式三角矩陣半環(huán)的自同構(gòu)和反自同構(gòu)，所得結(jié)果拓廣了文獻(xiàn)[12-13]的重要結(jié)論．

定義1[1]一個(gè)半環(huán)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(R，+，·)，其中(R，+)是一個(gè)帶有恒等元0的交換幺半群，(R，·)是一個(gè)帶有恒等元1R的幺半群，乘法對(duì)加法滿足左右分配律．同時(shí)，對(duì)于任意a∈R，0a=a0=0．0≠1R，元素0，1R分別稱為半環(huán)R的零元和單位元．

設(shè)R是一個(gè)半環(huán)，如果對(duì)于任意a，b∈R，由a+b=0可推出a=b=0，則稱R為零和自由半環(huán)[1]或反環(huán)[14-15]．設(shè)a∈R，如果果a2=a，則稱a為一個(gè)冪等元．顯然0，1都是冪等元，稱為平凡冪等元．

設(shè)(R，+，0)是一個(gè)交換幺半群，a∈R，如果存在b∈R，使得a+b=0，則稱a為一個(gè)可反元，此時(shí)b稱為a的一個(gè)反元．不難驗(yàn)證，如果元素a有一個(gè)反元，那么這個(gè)反元是唯一的，a的反元記為-a．設(shè)a，b∈R，且b是可反元，我們定義a-b=a+(-b)．不難驗(yàn)證，對(duì)于半環(huán)R中的任意元a，b，如果b是可反元，那么a(-b)=-ab，(-b)a=-ba．顯然，一個(gè)半環(huán)R是一個(gè)環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每一個(gè)元都是可反元；R是零和自由半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R中只有零元是可反元．

半環(huán)是相當(dāng)豐富的．例如，每一個(gè)帶有單位元的環(huán)是一個(gè)半環(huán)；每一個(gè)布爾代數(shù)、每一個(gè)有界分配格都是半環(huán)，并且是零和自由的；整數(shù)環(huán)Z(有理數(shù)域Q，實(shí)數(shù)域R)的正錐Z0(Q0，R0)是一個(gè)零和自由半環(huán)；Max-Plus代數(shù)(R∪{-∞}，max，+)是一個(gè)零和自由半環(huán)．

(a)r(m+m′)=rm+rm′；

(b) (r+r′)m=rm+r′m；

(c) (rr′)m=r(r′m)；

(d) 1Rm=m；

(e)r0=0=0m．

類似地，可定義半環(huán)S的右S-半模．一個(gè)交換幺半群(M，+)如果既是左R-半模又是右S-半模，并且?a∈R，m∈M，b∈S，均有(am)b=a(mb)，則稱M為(R，S)-雙半模．

注1如果φ是半環(huán)R到S的一個(gè)同構(gòu)映射(或反同構(gòu)映射)，那么φ(0)=0，φ(1R)=1S．

定義6設(shè)R，S是兩個(gè)半環(huán)，M是(R，S)-雙半模，則集合

在通常的矩陣加法和乘法下構(gòu)成一個(gè)半環(huán)，稱之為形式三角矩陣半環(huán)．

注2在定義6中，當(dāng)R，S是環(huán)時(shí)，半環(huán)Tri(R，M，S)就是形式三角矩陣環(huán)[16]．

(1)

證充分性 通過(guò)直接驗(yàn)證可得φ是半環(huán)Tri(R，M，S)的一個(gè)自同構(gòu)．

必要性 設(shè)φ是半環(huán)Tri(R，M，S)的任一自同構(gòu)．對(duì)于任意X，Y∈Tri(R，M，S)，設(shè)

則有

再設(shè)

那么，由

φ(X+Y)=φ(X)+φ(Y)φ(XY)=φ(X)φ(Y)

得

(2)

(3)

下面分3步來(lái)完成必要性的證明．

步驟1證明φ11(1R，0，0)=1R，φ11(0，0，1S)=0，φ22(1R，0，0)=0，φ22(0，0，1S)=1S，f12(1R，0，0)是M中的可反元．

用φ作用于

可得

(4)

所以

φ11(1R，0，0)=φ11(1R，0，0)2φ22(1R，0，0)=φ22(1R，0，0)2

由于半環(huán)R，S的冪等元都是平凡的，所以φ11(1R，0，0)=0或φ11(1R，0，0)=1R，φ22(1R，0，0)=0或φ22(1R，0，0)=1S．

如果φ11(1R，0，0)=0，φ22(1R，0，0)=1S，那么由(4)式，得

(5)

(6)

比較(5)式與(6)式，得

φ22(1R，m，s)=1S

(7)

比較(5)式與(7)式，得

這與φ是半環(huán)Tri(R，M，S)的自同構(gòu)相矛盾．

因此φ11(1R，0，0)=1R．于是

類似可證φ22(0，0，1S)=1S，于是

于是

φ11(0，0，1S)=0φ22(1R，0，0)=0f12(0，0，1S)+f12(1R，0，0)=0

設(shè)f12(1R，0，0)=m0，則m0是M中的可反元，并且f12(0，0，1S)=-m0．

步驟2證明分別存在半環(huán)R，S的自同構(gòu)φR，φS，使得對(duì)于任意r∈R，m∈M，s∈S，均有

φ11(r，m，s)=φR(r)φ22(r，m，s)=φS(s)

φ11(1R，0，0)=1Rφ22(1R，0，0)=0f12(1R，0，0)=m0

可得

所以

φ11(r，0，0)=φ11(r，m，s)φ22(r，0，0)=0

f12(r，0，0)=φ11(r，m，s)m0

類似可證

φ22(0，0，s)=φ22(r，m，s)，f12(0，0，s)=-m0φ22(r，m，s)，φ11(0，0，s)=0

從φ11(r，0，0)=φ11(r，m，s)，φ22(0，0，s)=φ22(r，m，s)看出，φ11(r，m，s)與m，s無(wú)關(guān)，φ22(r，m，s)與r，m無(wú)關(guān)．

f12(r，0，0)=φR(r)m0f12(0，0，s)=-m0φS(s)

(8)

由(2)式與(3)式，得

φR(r+r′)=φR(r)+φR(r′)φS(s+s′)=φS(s)+φS(s′)

φR(rr′)=φR(r)φR(r′)φS(ss′)=φS(s)φS(s′)

對(duì)于任意r，r′∈R，當(dāng)r≠r′時(shí)，有

即

那么φR(r)≠φR(r′)，所以φR是單射．

步驟3證明存在(R，S)-雙半模M的一個(gè)(φR，φS)-半線性自同構(gòu)f，使得對(duì)于任意r∈R，m∈M，s∈S，均有

f12(r，m，s)=φR(r)m0-m0φS(s)+f(m)

由(2)式和(8)式，得

f12(r，m，s)=f12(r，0，0)+f12(0，m，0)+f12(0，0，s)=φR(r)m0-m0φS(s)+f12(0，m，0)

下證f是M的一個(gè)(φR，φS)-半線性自同構(gòu)．

用φ作用于等式

得

f(m+m′)=f(m)+f(m′)

再用φ作用于等式

得

f(rms)=φR(r)f(m)φS(s)

對(duì)于任意m，m′∈M，當(dāng)m≠m′時(shí)，有

即

由此可得

φR(r)=0φS(s)=0f(m)=m′

所以f是滿射，從而f為(R，S)-雙半模M的一個(gè)(φR，φR)-半線性自同構(gòu)．

綜上所述，必要性得證．

注3在定理1中，當(dāng)R，S是兩個(gè)環(huán)，M為(R，S)-雙模時(shí)，可得文獻(xiàn)[12]的定理2．

(9)

證類似于定理1，從略．

注4在定理2中，當(dāng)R=S是環(huán)，M為(R，S)-雙模時(shí)，可得文獻(xiàn)[13]的定理．

定義7設(shè)M是一個(gè)半模．如果?m，m′∈M，由m+m′=0可推出m=m′=0，則稱M為零和自由半模．

由定義7知，一個(gè)半模M是零和自由的當(dāng)且僅當(dāng)M只有零元是可反元．

由定理1和定理2得：

定理3設(shè)R，S是兩個(gè)半環(huán)，并且所有冪等元是平凡的，M為非零的(R，S)-雙半模，且是零和自由的，φ是形式三角矩陣半環(huán)Tri(R，M，S)到自身的一個(gè)映射．那么

(10)

(11)