巧用數(shù)學(xué)表征 促進(jìn)問題解決

姜湘君

數(shù)學(xué)表征是指學(xué)生對學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行記錄、儲存、改組的方式。所謂數(shù)學(xué)表征能力，是指在一定的情境下，學(xué)生以自己的方式辨析、解釋、表現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，根據(jù)不同的數(shù)學(xué)問題來選擇和轉(zhuǎn)化表征方式，最終解決問題的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中善于運(yùn)用數(shù)學(xué)表征，可以豐富學(xué)生的認(rèn)知，為其抽象思維的培養(yǎng)提供支撐；可以使學(xué)生充分發(fā)揮學(xué)習(xí)的自主性，積極探索數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)展思維能力。因此，在課堂教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生巧用數(shù)學(xué)表征解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而提高其數(shù)學(xué)表征水平，發(fā)展其數(shù)學(xué)能力。

1.運(yùn)用關(guān)系表征，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是從問題開始的，教師要注重通過問題解決來促進(jìn)學(xué)生思考，發(fā)展其學(xué)習(xí)力。要解決問題，就需要找出已知條件和未知問題之間的聯(lián)系，提煉出數(shù)量之間的關(guān)系。關(guān)系表征就是根據(jù)題目中所給的已知條件嘗試建立、表述數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決問題。

如教學(xué)蘇教版六上“百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的整理與練習(xí)”，筆者認(rèn)為，無論是關(guān)于納稅、利息、折扣的實(shí)際問題，還是解決稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)問題，都離不開對基本數(shù)量關(guān)系的分析和理解。于是，筆者抓住這三類問題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行教學(xué)：（1）求一個數(shù)的百分之幾是多少；（2）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)；（3）求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）百分之幾。首先出示下述問題：（1）學(xué)生參加鍛煉，跳繩的有100 人，長跑的比跳繩的多10%，參加長跑的有多少人？（2）學(xué)生參加鍛煉，參加長跑的有90 人，比跳繩的少10%，參加跳繩的有多少人？（3）學(xué)生參加鍛煉，跳繩的有100 人，長跑的有90 人，長跑的比跳繩的少了百分之幾？讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后簡單地表述思路，再列出綜合算式并計算。之后，讓學(xué)生辨析異同：相同之處是單位“1”相同，數(shù)量關(guān)系都是單位“1”× 分率=對應(yīng)的數(shù)量；不同之處是單位“1”已知或未知，所求數(shù)量不同，以此確定用乘法來計算還是用除法來計算。學(xué)生在多次比較中體會到了不同類型的問題之間的相同之處，充分利用“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的基本數(shù)量關(guān)系模型，合理選擇不同的方法解題，達(dá)到了融會貫通，建立了整體性的概念體系。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，只有把握了知識結(jié)構(gòu)，才能編織一個具有生命力的、處于運(yùn)動中的思維網(wǎng)絡(luò)，才能掌握蘊(yùn)含在各個概念相互關(guān)系中的思維模式。上述案例中，教師根據(jù)學(xué)生的表征水平進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)量關(guān)系分析問題，確定解題思路，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展了關(guān)系表征能力，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.運(yùn)用圖式表征，促進(jìn)學(xué)生理解題意。

皮亞杰的發(fā)生認(rèn)知論告訴我們，在新穎的刺激物的反復(fù)作用下，兒童的圖式才會發(fā)生調(diào)節(jié)，認(rèn)知的開放性才會戰(zhàn)勝封閉性。圖式表征主要是用實(shí)物圖、示意圖、線段圖等圖式表示信息的內(nèi)涵，幫助學(xué)生理解題目中的信息，建立問題的空間模型，從而解決問題。小學(xué)高年級學(xué)生已經(jīng)有了一定的抽象思維能力，但仍然需要形象思維的支撐。教師在教學(xué)中注重鼓勵學(xué)生運(yùn)用圖式表征準(zhǔn)確表示題目中的信息，能促進(jìn)他們從直觀到抽象，發(fā)展分析問題的能力。

比如，教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”時有這樣一道題：小明爸爸九月份的工資是6800元，超出5000元的部分需按照5%的比例繳納個人所得稅，小明爸爸實(shí)際拿到的工資是多少元？這道題看似容易，但是因?yàn)槿狈ι罱?jīng)驗(yàn)，總有學(xué)生解答錯誤。其實(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用線段圖或方形圖或圓形圖等表示小明爸爸九月份的工資6800元，再在相應(yīng)的圖形中表示出超出5000元的部分和需要繳納的個人所得稅，最后很容易就能求出實(shí)際拿到的工資。運(yùn)用圖式表征教學(xué)，能使學(xué)生的學(xué)習(xí)形式更豐富，學(xué)習(xí)內(nèi)涵更突出，既能豐富學(xué)生的感知，又能使學(xué)生獲得更多解決問題的方法。

3.運(yùn)用符號表征，讓學(xué)生感受知識的抽象過程。

符號表征是指用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)對象，這有助于抽象、概括出數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)。小學(xué)生的符號表征能力是從簡單到復(fù)雜、有層次地發(fā)展的。教師可以從直觀情境中引入學(xué)習(xí)，逐步抽象出數(shù)學(xué)符號，再鞏固符號表征，這樣做，有利于學(xué)生感知知識的抽象過程。

小學(xué)生已有用字母表示運(yùn)算律和圖形的計算公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)初步感受到了符號表征的簡潔和方便。蘇教版五下“用字母表示數(shù)”要求學(xué)生先找出數(shù)量關(guān)系，再用含有字母的式子表示這種關(guān)系，它代表了一種結(jié)果，是算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的起點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)方程的基礎(chǔ)。教學(xué)時，筆者以猜謎游戲?qū)?，引?dǎo)學(xué)生得出字母可以表示特定的數(shù)，然后以擺小棒這個具體的活動為例，引領(lǐng)學(xué)生逐步把所有的情況表示出來，引出用字母可以表示所有這些關(guān)系的數(shù)，接著追問：a 是一個特定的數(shù)嗎？它還可以表示哪些數(shù)？使學(xué)生了解到a 不僅可以表示特定的數(shù)，還可以表示變化的數(shù)，并通過對一些關(guān)鍵詞進(jìn)行追問，使學(xué)生理解符號的表示范圍。學(xué)生從具體事例開始深入學(xué)習(xí)，從詞語表征慢慢向符號表征過渡，體會到了用字母表示數(shù)的必要性和優(yōu)越性，體會到了符號表征的適用性，為后面的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重靈活運(yùn)用關(guān)系表征、圖式表征、符號表征，幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)問題具體化、簡單化、形象化，推動他們對數(shù)學(xué)問題的理解和解決。