函數(shù)零點(diǎn)問題“大盤點(diǎn)”

■楊瑞強(qiáng)

函數(shù)的零點(diǎn)問題不僅是“零點(diǎn)存在性定理”的應(yīng)用,而且綜合了函數(shù)性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多方面知識,是高考命題的主要內(nèi)容之一。一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)(從函數(shù)視角認(rèn)識)可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為簡潔方程的實(shí)根(從方程視角認(rèn)識),也可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)規(guī)范函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(從圖像視角認(rèn)識)。

一、函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷問題

例1 函數(shù)f(x)=log3x+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )。

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

解:(定理法)函數(shù)f(x)=log3x+x-2的定義域?yàn)?0,+∞),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,其圖像是一條連續(xù)曲線。由題意知

f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,f(3)=2>0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知,函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn),且零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)。應(yīng)選B。

(圖像法)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=log3x與h(x)=-x+2圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間。作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,如圖1所示。

由圖可知,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)。應(yīng)選B。

評析:判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間通常有兩種方法:①定理法,適用于容易判斷區(qū)間的端點(diǎn)值所對應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù);②圖像法,適用于容易畫出圖像的函數(shù)。

二、判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題

A.3 B.2

C.1 D.0

故函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)。應(yīng)選B。

(圖像法):畫出函數(shù)f(x)的圖像,如圖2所示。

圖2

由圖可知,函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)。應(yīng)選B。

評析:判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法:①方程法,令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn);②定理法,函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn);③圖像法,畫出對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)圖像,其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值,就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)。

三、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的問題

(2)函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn),即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2個(gè)不同的實(shí)根,即函數(shù)f(x)的圖像與直線y=-x-a有2 個(gè)交點(diǎn)。作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖像,如圖3所示。

圖3

由圖可知,要使直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖像有2 個(gè)交點(diǎn),需滿足-a≤1,解得a≥-1,即a∈[-1,+∞)。

評析:利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的三種方法:①直接法,根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組),解出即可;②分離參數(shù)法,先將參數(shù)分離,然后將原問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題;③數(shù)形結(jié)合法,畫出兩個(gè)對應(yīng)函數(shù)的圖像,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等性質(zhì)求解。

四、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的問題

評析:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求參數(shù)的兩種方法:一是轉(zhuǎn)化成方程根的分布問題,這時(shí)需要考慮四個(gè)方面,即①開口方向,②所給點(diǎn)的正負(fù),③判別式Δ的正負(fù),④對稱軸;二是轉(zhuǎn)化成方程有解問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題。

提示:令t=f(x)。由f[f(x)]-a=0,可得a=f(t),畫出函數(shù)y=a與y=f(t)的圖像(如圖4)。

圖4

當(dāng)a≥-1時(shí),y=a與y=f(t)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)(當(dāng)a<-1時(shí),y=a與y=f(t)只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意)。

設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1,t2(不妨設(shè)t2>t1),則t1<-1,t2≥-1。當(dāng)t1<-1時(shí),t1=f(x)有一解;當(dāng)t2≥-1 時(shí),t2=f(x)有兩解。綜上可知,當(dāng)a≥-1 時(shí),函數(shù)g(x)=f[f(x)]-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)。故a∈[-1,+∞)。