基于自適應代理優(yōu)化算法的射霧器葉輪優(yōu)化設計

王葉民,樊志華,余 鎮(zhèn),李志華

(杭州電子科技大學機械工程學院,浙江 杭州 310018)

0 引 言

隨著我國工業(yè)化水平的提高，日益突出的粉塵污染問題備受關注。射霧器應用于降塵、農藥噴灑、火災滅火及消毒等領域，具有廣泛的應用前景[1]。射霧器主要由集流器、葉輪、電機、后導流器、機殼、噴嘴和供水裝置組成，其中葉輪結構的優(yōu)劣直接影響噴射系統(tǒng)的性能。陳波等[2]對射霧器軸流風機的多個結構參數(shù)進行多目標協(xié)同優(yōu)化，提升了射霧器的射霧距離和射霧效率。楊航[3]通過單一變量實驗分別改變軸流風機結構參數(shù)和葉輪結構參數(shù)，探究其對射霧器射程的影響，并通過神經網絡和遺傳算法得到優(yōu)化后的最佳風筒和葉輪的參數(shù)，提高了射霧器射程。Pogorelov等[4]通過數(shù)值模擬兩種不同葉尖寬度的射霧器軸流風機發(fā)現(xiàn)，在射霧器軸流風機氣動噪聲中，葉尖渦起著主要作用。Kim等[5]運用多學科優(yōu)化方法來分析射霧器的空氣動力特性和氣動聲學性能，優(yōu)化了射霧器中葉頂間隙、輪轂比和輪轂間隙等參數(shù)。

目前，針對射霧器葉輪結構優(yōu)化的相關研究較少。起初，射霧器葉輪結構的優(yōu)化設計往往根據(jù)實際應用經驗。后來，優(yōu)化設計將最優(yōu)化理論和仿真分析結合起來，尋找設計對象的某些最優(yōu)指標值[6]，由于無法直接觀察仿真模型的內部，基于仿真分析的優(yōu)化設計問題是典型的黑箱優(yōu)化問題[7]。為了解決這種問題，黑箱優(yōu)化方法應運而生，主要分為智能優(yōu)化方法和基于代理模型的優(yōu)化方法。優(yōu)化過程中，智能優(yōu)化方法計算量大，對計算機性能要求很高，有一定的局限性，故選擇基于代理模型的優(yōu)化方法較為合適[8-9]。代理模型優(yōu)化方法分為靜態(tài)優(yōu)化方法和自適應優(yōu)化方法[10-11]，兩者之間最大的區(qū)別在于，自適應優(yōu)化方法中代理模型的作用不再是簡單替代，還被用于引導新試驗點快速收斂到全局最優(yōu)解[12]。自適應優(yōu)化方法選取試驗點的目的性更強、優(yōu)化效率和精度更高，實現(xiàn)了試驗過程與優(yōu)化過程的統(tǒng)一。設計合理的加點準則是自適應優(yōu)化方法的核心技術，是優(yōu)化效率和精度的關鍵[13]。加點準則具備局部探索當前最優(yōu)區(qū)域和全局探索潛在最優(yōu)區(qū)域的能力[14]。加點準則包括最小響應面準則(Minimizing Prediction，MP)、最大期望提高準則(Expected Improvement，EI)[15]、最小置信下限準則(Lower Confidence Boundary，LCB)[16]、均方根誤差準則(Root Mean Squared Error，RMSE)[17]、最大期望概率提高準則(Probability Improvement，PI)[18]等。陳鵬等[19]以提升塔架為研究對象，通過雙加點動態(tài)Kriging代理模型對其進行減重優(yōu)化，結合了EI，MP加點準則；謝延敏等[20]通過一種改進的加點準則和并行加點方法來實現(xiàn)拉延筋的優(yōu)化；張建俠等[21]同時優(yōu)化EI加點準則和可行性概率準則，生成備選實驗點集，采用聚類方法從備選點集中獲取多個代表性試驗點，每次迭代添加多個樣本點，并通過算例驗證了所提算法的優(yōu)越性；Li等[22]開發(fā)了一種名為EI&MI的多點填充準則；Liu等[23]研究了EI，PI，MP，LCB，RMSE加點準則在約束環(huán)境中的使用情況并提出并行加點策略，優(yōu)化了翼型，獲得了更好的氣動性能；Cai等[24]基于EI準則，在一定概率范圍內智能提取多個新樣本點，優(yōu)化了螺旋槳結構。本文基于Kriging代理模型，提出一種新的自適應代理優(yōu)化算法，并采用新算法對射霧器葉輪結構進行優(yōu)化，有效提高了射霧器的射程。

1 設計變量與優(yōu)化目標

本文采用工地中全自動30 m射霧器為研究對象，在集流器、電機、后導流器、機殼、噴嘴和供水裝置結構尺寸不變的情況下，對射霧器葉輪結構進行優(yōu)化，以提高射霧器的射程。

文獻[3]中，確定了對射霧器有重大影響的葉輪關鍵性結構參數(shù)，如圖1所示，主要包括翼型弦長b,安裝角θ，最大相對彎度m，最大彎度位置p，最大相對厚度w。本文將b，θ，m，p，w作為設計變量，以射霧器的射程作為優(yōu)化目標。

圖1 翼型幾何參數(shù)[3]

圖1中，虛線為翼型中線；A和B分別為翼型前、后緣點；1為外弦，是B點向翼型下表面的切線；2為內弦，是A，B兩點的連線；b為弦長；c為翼型厚度，是翼型內切圓的直徑；θ為安裝角，是葉柵額線與翼型外弦間的夾角；Q為翼型彎度，是翼型內弦與中線間的垂直距離；m為最大相對彎度，m=Qmax/b；p為最大彎度處距翼型前緣點的相對距離，p=a/b，a為最大彎度距翼型前緣點的距離；w為最大相對厚度，w=cmax/b。

2 自適應代理優(yōu)化算法

設計合理的加點準則是自適應代理優(yōu)化算法的核心[13]。不同的加點準則有著不同的特點，為了充分利用每種加點準則的優(yōu)勢，本文提出的自適應代理優(yōu)化算法將加點準則分為全局探索階段和局部探索階段，通過在不同階段的自適應切換，實現(xiàn)全局探索潛在最優(yōu)區(qū)域和局部探索當前最優(yōu)區(qū)域的能力，最終提高優(yōu)化效率和精度。

2.1 Kriging代理模型

Kriging代理模型表達式為：

y(x)=F(β,x)+z(x)=fT(x)β+z(x)

(1)

式中，F(xiàn)(β,x)為多項式回歸模型，β為回歸系數(shù)，fT(x)為多項式基函數(shù)組成的矢量，可以是0階、1階或2階多項式，其中0階多項式穩(wěn)健性最好，應用最為廣泛[25]，所以本文選取0階多項式模型，z(x)為隨機過程，特點如下：

E[z(x)]=0

(2)

Var[z(x)]=σ2

(3)

(4)

式中，R(θ,xi,xj)表示以θ為參數(shù)的xi，xj之間的相關函數(shù)，n為樣本點的數(shù)量。本文選擇的相關函數(shù)是高斯函數(shù)，形式如下：

(5)

(6)

(7)

S=[x1,x2,…,xn]T為樣本點，Y=[y1,y2,…,yn]T為樣本點響應值，根據(jù)S、Y中的數(shù)據(jù)，可得到R=R(θ,xi,xj)(i,j=1,2,…,n)和F=[f(x1),…,f(xn)]T，新樣本點x0與其余樣本點的空間相關性為：

r(θ，x0,S)=[R(θ,x0,x1),…,R(θ,x0,xn)]T

(8)

2.2 加點準則

2.2.1EI加點準則

Kriging模型可以預測未知點處的響應值和標準差，EI加點準則的定義結合了這兩者，表達式為：

(9)

2.2.2PI加點準則

PI加點準則表達式為：

T=fmin-k|fmin|,k≥0

(10)

(11)

式中，k為系數(shù)，本文取k=0.1。PI加點準則原理與EI加點準則類似，該加點準則具有較好的全局收斂性。

2.2.3MP加點準則

MP加點準則表達式為：

(12)

MP加點準則認為代理模型是足夠精確的，直接尋找代理模型上目標函數(shù)的最小值，具有較好的局部收斂性，但是沒有考慮代理模型的誤差，容易陷入到局部最優(yōu)。

EI，PI加點準則在每次迭代中通過差分進化算法求解出最大值作為添加的樣本點，而MP加點準則在每次迭代中通過差分進化算法求解出最小值作為添加的樣本點。

2.2.4IPI加點準則

由于EI加點準則是搜索標準差最大的點或者搜索比當前極小值更小的點；PI加點準則是搜索當前極小值附近的點。這兩種加點準則對極小值區(qū)域搜索能力較強，對極大值區(qū)域搜索能力較弱。本文提出IPI加點準則提高對極大值區(qū)域的搜索能力。具體如下：

(13)

假設希望達到比ymax更大的值T≥ymax,則隨機變量Y(x)大于T的概率為：

(14)

通常T的取值如下：

T=ymax+k|ymax|,k=0.1

(15)

未知點x處kriging預測值相對T的改進量IT(x)為：

(16)

于是IPI值的計算，也即IT(x)的概率如下：

(17)

對于IPI加點準則在每次迭代中通過差分進化算法求解出最大值點作為添加的樣本點。

2.3 冗余點的刪除

由于過多的冗余點會降低計算效率，因此需要刪除冗余點。本文使用高斯準則式(5)來刪除冗余點。在優(yōu)化過程中，可獲得相關性參數(shù)θl的值。R表示新加入樣本點和已知樣本點的相關性，R∈[0,1]。R越接近0，表示2個點的距離越大；R越接近1，表示2個點的距離越??；當R=1時，表示2個點重合。

為了防止IPI加點準則加入的樣本點過度集中于全局極大值區(qū)域，造成樣本點的冗余和計算效率的降低；同時也為了防止MP加點準則加入的樣本點過度搜索局部最優(yōu)區(qū)域，本文引入Euclidean距離,計算公式為：

(18)

式中，對于IPI加點準則，xA表示通過IPI加點準則加入的新樣本點，xN表示之前IPI加點準則加入的樣本點。當d<0.1時，說明新樣本點已經過度集中在全局極大值區(qū)域[26]，刪除IPI準則加入的新樣本點，否則添加該新樣本點；對于MP加點準則，xA表示通過MP加點準則加入的新樣本點，xN表示之前MP加點準則加入的樣本點。當d<0.1時，說明已經過度搜索局部最優(yōu)區(qū)域[26]，刪除MP加入的新樣本點，并進入到全局探索，否則繼續(xù)搜索局部最優(yōu)區(qū)域。

2.4 優(yōu)化終止條件

終止條件為：

(19)

式中，ynew和ybest分別表示新加入的樣本點和現(xiàn)有樣本點中最佳點對應的響應值，ξ為容許的誤差。

2.5 自適應代理優(yōu)化算法原理與流程

本文提出的自適應代理優(yōu)化算法包括全局探索和局部探索兩個階段，在全局探索階段，為了充分利用每種加點準則的優(yōu)勢，本文提出基于EI，PI和IPI三種加點準則對Kriging代理模型進行全局并行加點策略。為了防止IPI加點準則加入的樣本點過度集中于全局極大值區(qū)域，本文通過Euclidean距離來判斷是否刪除IPI加入的新樣本點。在局部探索階段，由于MP加點準則能快速收斂到局部極小值區(qū)域，所以本文通過MP加點準則對Kriging模型進行局部加點。各加點準則均通過差分進化算法進行尋優(yōu)。

對于全局探索階段和局部探索階段的切換，當全局探索階段加入的樣本點的響應值小于當前樣本庫中的樣本點響應值時，則切換到局部探索階段，否則繼續(xù)全局探索階段；當局部探索階段中Euclidean距離小于0.1時，則說明MP加點準則加入的樣本點過度集中于局部最優(yōu)區(qū)域，此時切換到全局探索階段，否則繼續(xù)局部探索階段。通過全局探索和局部探索不斷的自適應切換，直至尋找到最優(yōu)解。其流程圖如圖2所示，其中Q為判斷系數(shù)；H1為全局探索循環(huán)次數(shù)；H2為局部探索循環(huán)次數(shù)；L樣本庫為初始樣本庫；L1樣本庫存放IPI加點準則加入的樣本點；L2樣本庫存放MP加點準則加入的樣本點。

圖2 自適應代理優(yōu)化算法流程圖

3 設計實現(xiàn)與分析

3.1 經典函數(shù)算例

為了驗證IPI加點準則的有效性，用PI加點準則和IPI加點準則分別構建一維函數(shù)的Kriging模型。并以經典函數(shù)為例，分別運用本文提出的自適應代理優(yōu)化算法與EI，q-EI，PI，MP加點準則進行函數(shù)優(yōu)化。

3.1.1IPI加點準則的驗證

一維函數(shù)表達式為：

f(x)=exp(-x)+sin(x)+cos(3x)+0.2x+1.0,x∈[0.2,6.0]

(20)

取5個初始樣本點，基于PI加點準則和IPI加點準則對該一維函數(shù)進行尋優(yōu)，并都只加10次點。得到kriging模型曲線分別如圖3和圖4所示。

圖3 基于PI加點的一維函數(shù)Kriging曲線

圖4 基于IPI加點的一維函數(shù)Kriging曲線

從圖3可以看出，基于PI加點準則的樣本點在極小值區(qū)域比較集中，說明PI加點準則對極小值區(qū)域搜索能力較強。從圖4可以看出，基于IPI加點準則的樣本點在極大值區(qū)域比較集中，說明IPI加點準則對極大值區(qū)域的搜索能力較強。從圖4還可以看出，通過IPI加點準則構建的Kriging模型與真實模型非常吻合，說明IPI加點準則精度較高，從而驗證了IPI加點準則的有效性。

3.1.2 基于自適應代理優(yōu)化算法的函數(shù)優(yōu)化

Rastrigin函數(shù)表達式為：

(21)

Rastrigin函數(shù)優(yōu)化問題的真實最優(yōu)解為x*=(0,0),f(x*)=-2，其三維圖如圖5所示。從圖5可以看出，Rastrigin函數(shù)是多峰函數(shù)，優(yōu)化難度較大。

圖5 Rastrigin函數(shù)三維圖

在整個優(yōu)化過程中，給定初始樣本點10個，分別運用本文算法與EI，q-EI(設定q=2)，PI，MP加點準則對Rastrigin函數(shù)進行優(yōu)化，當總樣本點為200個時，停止加點。每種方法分別重復運行20次，最終得到其平均收斂曲線如圖6所示，縱坐標為絕對誤差E，E=|fmin(x)-freal(x)|，其中fmin(x)表示每次迭代樣本中的最小值，freal(x)表示真實最小值。從圖6可以看出，本文算法得到的曲線E值最小，說明其優(yōu)化結果精度最高。

圖6 不同優(yōu)化方案的平均收斂曲線

程序滿足終止條件后，對每個方案20次優(yōu)化結果的最小值、平均值、標準差進行計算，并結合所用平均加點次數(shù)、優(yōu)化時間進行對比，如表1所示。從圖6和表1中可以看出：(1)MP加點準則優(yōu)化結果中，雖然最小值最小，但整體優(yōu)化結果的平均值和標準差較大，此外，平均收斂曲線中絕對誤差E較大，因此不具有比較性；(2)在最小值、平均值方面，本文算法比EI，q-EI，PI加點準則的結果要小，因為本文算法包括全局探索和局部探索階段，通過這2個階段的自適應切換，實現(xiàn)最優(yōu)解區(qū)域的充分開發(fā)；(3)在標準差方面，本文算法的標準差最小，說明算法得到的總體優(yōu)化結果更好；(4)與EI，q-EI，PI加點準則相比，本文算法在平均加點次數(shù)上分別減少了53.16%，6.32%，53.16%，在優(yōu)化效率上，本文算法的效率最高，分別提高了37.00%，11.61%，37.91%，這是因為EI，PI加點準則每次只添加0～1個新樣本點，q-EI加點準則每次添加2個新樣本點，而本文算法每次可添加0～3個新樣本點，效率得到提升。綜上所述，本文算法求解的精度和效率更高，求解問題的有效性更好。

表1 不同優(yōu)化方案的優(yōu)化結果

3.2 射霧器葉輪優(yōu)化

3.2.1 射霧器仿真分析

本文采用NACA4415翼型葉輪，射霧器初始參數(shù)如表2所示。

表2 射霧器初始參數(shù)

運用Fluent軟件進行仿真分析，并通過tecplot處理得到的射霧器射程速度云圖如圖7所示。只有當風速大于等于2.00 m/s時，射霧器才具有攜帶霧滴前行的能力[2]。從圖7可以看出，射霧器的理論射程為30.629 m。

圖7 優(yōu)化前的射霧器射程速度云圖

3.2.2 優(yōu)化模型

選取b，θ，m，p，w等5個設計變量的-30%～30%作為初始設計空間，以單個葉輪的體積V作為約束條件，以射霧器的射程y為目標函數(shù)，得到如下射霧器葉輪優(yōu)化數(shù)學模型：

(22)

3.2.3 優(yōu)化過程

基于拉丁超立方抽樣，對5個設計變量抽取35組樣本，并采用Fluent進行數(shù)值仿真，部分結果如表3所示。

表3 35組樣本數(shù)據(jù)

根據(jù)35組樣本數(shù)據(jù)，建立射霧器射程y的初始kriging代理模型，再運用本文提出的自適應代理優(yōu)化算法對kriging模型不斷優(yōu)化加點并及時更新kriging模型，經過47次優(yōu)化，達到終止條件，獲得最優(yōu)解，結果如表4所示。

表4 優(yōu)化前后射霧器葉輪參數(shù)對比

將表4中最優(yōu)解翼型與原始翼型進行比較，結果如圖8所示。

圖8 優(yōu)化前后翼型形狀對比

從圖8可以看出，優(yōu)化后的翼型面積減小，通過SolidWorks打開優(yōu)化后的射霧器三維模型，得到此時單個葉輪的體積V為163.355 cm3，滿足約束條件。

將最優(yōu)解射霧器進行Fluent仿真分析，經tecplot后處理后，得到的射霧器射程速度云圖如圖9所示。比較圖7和圖9，優(yōu)化前射霧器射程為30.629 m，優(yōu)化后的射霧器射程為38.217 m，射程提高了24.77%。

圖9 優(yōu)化后的射霧器射程速度云圖

4 結束語

針對射霧器葉輪結構優(yōu)化時效率低、精度不高等問題，本文提出一種新的自適應代理優(yōu)化算法，包括全局探索和局部探索兩個階段，具備全局探索潛在最優(yōu)區(qū)域和局部探索當前最優(yōu)區(qū)域的能力。本文算法的并行加點策略不僅減少了加點的次數(shù)，而且有效提高了優(yōu)化效率和精度，提出的IPI加點準則提高了對極大值區(qū)域的搜索能力。在接下來的結構優(yōu)化過程中，增加對制造工藝約束等影響因素的研究，進一步提升優(yōu)化結構的整體性能。