一類具有隨機(jī)時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則

孫國領(lǐng)，姜偕富，田亦飛

(杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems，NCSs)是一種通過網(wǎng)絡(luò)連接的閉環(huán)反饋分布式控制系統(tǒng)，由傳感器、控制器、執(zhí)行器和通信網(wǎng)絡(luò)共同構(gòu)成[1]。由于受到通信網(wǎng)絡(luò)的物理局限，NCSs存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)滯、數(shù)據(jù)丟包、隨機(jī)性等問題，嚴(yán)重影響系統(tǒng)性能。過去幾十年，在結(jié)合系統(tǒng)的有用信息以獲得具有更小保守性的穩(wěn)定性準(zhǔn)則的研究上，學(xué)者們?nèi)〉昧撕芏嘀匾晒Ｎ墨I(xiàn)[2]采用Wirtinger不等式及凸組合引理來處理泛函導(dǎo)數(shù)中產(chǎn)生的二次型積分項(xiàng)，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，但系統(tǒng)時(shí)滯往往具有隨機(jī)性，所得結(jié)果還可進(jìn)一步完善；文獻(xiàn)[3]用Bernoulli分布來描述數(shù)據(jù)的丟失，構(gòu)造了一個時(shí)滯依賴的Lyapunov泛函，并基于李雅普諾夫理論給出了使系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，以達(dá)到減小穩(wěn)定性準(zhǔn)則保守性的目的，但計(jì)算過程相對復(fù)雜；文獻(xiàn)[4]在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了增加概率區(qū)間數(shù)，可逐步降低穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性，但計(jì)算量隨概率區(qū)間數(shù)的增加而增大；文獻(xiàn)[5]同時(shí)考慮了數(shù)據(jù)丟包和網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延問題，將時(shí)滯區(qū)間劃分為2個相等的子區(qū)間，構(gòu)造了一種新的Lyapunov泛函，通過推導(dǎo)得到一個H∞穩(wěn)定性條件，取得了較好的結(jié)果；文獻(xiàn)[6]構(gòu)造了一個具有概率間隔輸入時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)新模型，并使用凸組合等方法處理泛函的導(dǎo)數(shù)，給出使得系統(tǒng)漸近均方穩(wěn)定的充分條件，但未引入三重積分項(xiàng)，時(shí)滯信息未被充分利用；文獻(xiàn)[7]考慮了3個概率區(qū)間的時(shí)滯分布情況，并采用廣義Finsler引理處理概率分布信息，但其Lyapunov泛函未引入增廣矩陣和三重積分項(xiàng)，時(shí)滯信息的利用率可進(jìn)一步提升。本文針對線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則問題，在已有文獻(xiàn)方法的基礎(chǔ)上，引入更多網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的時(shí)滯信息和概率信息，采用Bernoulli分布描述系統(tǒng)時(shí)滯，構(gòu)造一個改進(jìn)的Lyapunov泛函，并使用廣義Finsler引理等方法處理泛函求導(dǎo)產(chǎn)生的積分項(xiàng)，給出保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

1 問題描述

一個基于網(wǎng)絡(luò)控制的線性系統(tǒng)如下：

(1)

式中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈Rm為系統(tǒng)輸入，A，B為適當(dāng)維數(shù)的參數(shù)矩陣，x0為初始狀態(tài)。

假設(shè)1網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)控制器和執(zhí)行器為事件驅(qū)動，傳感器為時(shí)間驅(qū)動。

信號在ikd時(shí)刻由傳感器采樣得到，在ikd+τk時(shí)刻到達(dá)執(zhí)行器，τk=τsc+τc+τca。其中d為采樣周期，τsc為傳感器到控制器的傳輸時(shí)滯,τc為控制器的計(jì)算時(shí)滯，τca為控制器到執(zhí)行器的傳輸時(shí)滯。

若系統(tǒng)(1)可控，基于網(wǎng)絡(luò)的控制器為：

(2)

式中，K為已知的控制器增益，將式(2)代入式(1)，得到：

(3)

式中，{i1,i2,i3,…}?{0,1,2,…}。當(dāng){i1,i2,i3,…}={0,1,2,…}，系統(tǒng)沒有丟包；當(dāng)ik+1

(4)

式中，φ(t)為[-h2,0]上的連續(xù)初始函數(shù)。

假設(shè)2存在常量h1和h2，滿足0

采用滿足Bernoulli分布的隨機(jī)變量δ(t)描述系統(tǒng)時(shí)滯，即

其中，δ和1-δ分別表示系統(tǒng)的隨機(jī)時(shí)滯發(fā)生在(0,h1]和(h1,h2]上的概率，顯然，δ為在區(qū)間[0,1]上的常數(shù)。

令2個不同時(shí)滯區(qū)間的h(t)分別為h1(t)和h2(t)，且0

(5)

2 主要結(jié)果

(6)

(7)

Ξ+NΓ+ΓTNT<0

(8)

則系統(tǒng)(5)均方指數(shù)穩(wěn)定。

其中

Ξ12=-2R1-U11-U12-U21-U22,

Ξ13=-P12+U11-U12+U21-U22,

Ξ17=2U12+2U22,

Ξ1,10=P22+h1Z,

Ξ23=-2R1-U11+U12+U21-U22,

Ξ27=6R1-2U12+2U22,

Ξ33=-Q1+Q2-4R1-4R2,

Ξ34=-2R2-S12-S21-S22,

Ξ35=S11-S12+S21-S22,

Ξ39=2S12+2S22,

Ξ45=-2R2-S11+S12+S21-S22,

Ξ49=6R2-2S12+2S22,

Ξ55=-Q2-Q3-4R2,

h12=h2-h1,

Γ=[AδBK0(1-δ)BK000000-I],

NT=[N1N2…N11]。

證明構(gòu)造如下Lyapunov泛函

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)

對V(xt)沿系統(tǒng)(5)軌跡做弱無窮運(yùn)算，可得：

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)

(9)

式中，

(10)

V2(xt)=xT(t)(Q1+Q3)x(t)+xT(t-h1)(Q2-Q1)x(t-h1)-xT(t-h2)(Q2+Q3)x(t-h2)

(11)

(12)

(13)

其中，

(14)

(15)

(16)

聯(lián)立式(9)—式(16)可得E{V(xt)}≤E{ξT(t)Ξξ(t)}，為了證明方便，將系統(tǒng)(5)重新改寫為：

本文在構(gòu)造Lyapunov泛函的過程中，引入增廣矩陣ζT(t)，相比文獻(xiàn)[5-7]，運(yùn)用了更多的時(shí)滯信息；在處理Lyapunov泛函求導(dǎo)結(jié)果的過程中，先對式(12)中h1和h12相關(guān)項(xiàng)進(jìn)行拆分，再使用Wirtinger不等式和凸組合引理進(jìn)行處理，充分運(yùn)用了時(shí)滯信息，有效降低了穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性。

3 數(shù)值算例

用MATLAB中的LMI工具箱求解定理中的最大允許時(shí)滯上界，通過2個數(shù)例來驗(yàn)證定理的有效性。

例1使用文獻(xiàn)[5]中的系統(tǒng)模型，相應(yīng)參數(shù)為

當(dāng)δ=0時(shí)，運(yùn)用定理所給準(zhǔn)則，改變h1，求得系統(tǒng)所允許的最大時(shí)滯上界h2，對比文獻(xiàn)[5]給出的方法，結(jié)果如表1所示。

表1 δ=0時(shí)，不同h1下獲得的最大允許時(shí)滯上界h2

由表1可以看出，δ=0時(shí)，不同h1下，通過本文定理得到的h2比文獻(xiàn)[5]大，說明本文給出的穩(wěn)定性準(zhǔn)則效果更好。

例2使用文獻(xiàn)[6-7]中的系統(tǒng)模型，相應(yīng)參數(shù)為

當(dāng)h1=0.1時(shí)，運(yùn)用定理所給準(zhǔn)則，改變δ，求得系統(tǒng)所允許的最大時(shí)滯上界h2，對比文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]給出的方法，結(jié)果如表2所示。

表2 h1=0.1時(shí)，不同δ下獲得的最大允許時(shí)滯上界h2

由表 2 可以看出，h1=0.1時(shí)，不同δ下，通過本文定理得到的h2比文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]大，說明本文所得結(jié)果的效果更好。

綜上分析可知，運(yùn)用本文定理得到的h2比文獻(xiàn)[5-7]大，說明本文提出的穩(wěn)定性準(zhǔn)則更有效；結(jié)合表1和表2的數(shù)據(jù)分析可知，時(shí)滯分布的概率信息對減小穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性具有重要作用。

假設(shè)可測得系統(tǒng)的最大網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)滯τM為0.705 4 s，令傳感器采樣周期d為0.5 s，由表2第1列本文定理的數(shù)據(jù)3.705 4，結(jié)合本文對h2的描述即h2=τM+(ik-ik-1)d，可求得系統(tǒng)允許最大連續(xù)丟包數(shù)為5個，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的有效性。

4 結(jié)束語

本文針對已有文獻(xiàn)的不足，研究了線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在隨機(jī)特性時(shí)的穩(wěn)定性問題。在改進(jìn)的Lyapunov泛函中，充分運(yùn)用時(shí)滯信息，引入增廣矩陣和三重積分項(xiàng)，對泛函導(dǎo)數(shù)使用Wirtinger不等式和凸組合引理等方法進(jìn)行界定，并充分考慮時(shí)滯的概率分布，結(jié)合廣義Finsler引理，得到了保守性更小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。但實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)往往受外部不確定性因素影響，下一步將研究參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題。