拓展的離散等級結(jié)構(gòu)種群模型的穩(wěn)定性

胡 昕，何澤榮

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

從現(xiàn)有的生態(tài)學(xué)研究成果可以發(fā)現(xiàn)：各種不同類別的生物種群內(nèi)部確實存在個體等級或社會地位差異，這種差異對個體生存和群體演化有重要影響[1]?；跀?shù)學(xué)模型的已有成果中，多數(shù)采用連續(xù)模型[2-4]，然而，離散模型便于應(yīng)用。關(guān)于離散等級結(jié)構(gòu)模型目前已有一些研究成果。比如，文獻(xiàn)[5]主要分析了種群內(nèi)部的個體競爭，弄清了Scramble和Contest兩種不同競爭模式對種群平衡水平和恢復(fù)彈性之間的影響；文獻(xiàn)[6-7]討論了種群模型的穩(wěn)定性和持續(xù)生存等問題，基于模型參數(shù)給出了相關(guān)判據(jù)。但是，文獻(xiàn)[6]只涉及高等級個體對繁殖的影響，文獻(xiàn)[7]僅涉及低等級個體影響。本文建立一類適用面較廣的離散等級結(jié)構(gòu)種群模型，綜合考慮了各類個體對繁殖率的影響，拓展了文獻(xiàn)[6-7]的研究結(jié)果。

1 種群模型

假設(shè)種群內(nèi)部個體共有m(m≥2)個等級，由低到高依次為1,2,…,m；令Pi(n)表示第n時間段內(nèi)等級為i的個體數(shù)量，i=1,…,m；等級為i的個體構(gòu)成第i組，第1組的個體都是幼體，由其它組的個體繁殖而來。經(jīng)過一個單位時間段后，個體的等級要么不變，或者提升1或2，要么死亡。由此可得以下非線性等級結(jié)構(gòu)模型：

(1)

2 解的非負(fù)有界性

證明使用模型(1)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)假設(shè)，可知Pi(n)≥0，n≥1。若存在N≥1使得P(N)=0，則有P(0)=0，這與初始分布非零矛盾。由模型(1)的第一個方程得：

由此可知：

類似地，有：

P3(n)≤a31M1+a32M2+a33P3(n-1)≤

其余估計同理可得，證畢。

3 正平衡態(tài)的存在性

定理2如果R0≤1，那么模型系統(tǒng)(1)沒有正的平衡態(tài)；如果R0>1，那么該系統(tǒng)具有唯一正的平衡態(tài)。

(2)

根據(jù)方程組(2)不難推出：

定義函數(shù)

4 零平衡態(tài)的穩(wěn)定性

種群系統(tǒng)(1)在零平衡態(tài)處的雅可比矩陣如下：

定理3當(dāng)R0<1時，模型(1)的零平衡態(tài)漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時，零平衡態(tài)不穩(wěn)定。

再證存在J0的特征值λ1，使得λ1>aii。由于J0是本原矩陣，運用Perron-Frobenius定理[8]可得：必有J0的單重特征值λ1，它滿足λ1>|λi|，其中λi表示J0的任何其它特征值；且相應(yīng)于λ1的特征向量的所有分量均為正，即(t1,t2,…,tm)>0。從而有：

(3)

因為a12β,a13β,…,a1mβ全為正數(shù)，所以a11t1<λ1t1，即a11<λ1。同理可得λ1>aii，i=2,…,m。

J0的特征多項式計算如下：

f(λ)=|λI-J0|=

其中Zi=b′iZi-1+d′iZi-2，(i=1,2,…,m)，Z1=1，Z2=b′2=a21，b′i=ai,i-1，d′i=ai,i-2(λ-ai-1,i-1)。

由于λ1是特征根，從而有f(λ1)=0。 由此可得：

所以，若λ1≥1，則由Q′i≤Qi可推出R0≥1。因此，如果R0<1，那么λ1<1，系統(tǒng)(1)的零平衡態(tài)局部漸近穩(wěn)定。類似可以證得：如果R0>1，那么λ1>1，該系統(tǒng)的零平衡態(tài)不穩(wěn)定。證畢。

5 結(jié)束語

盡管本文的模型比文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]復(fù)雜，但基本再生數(shù)R0仍然發(fā)揮其決定性作用。當(dāng)R0<1時，種群會滅絕；當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)出現(xiàn)正平衡態(tài)，且種群有生存機(jī)會。因此，R0對維護(hù)生物多樣性很有意義。另一方面，正平衡態(tài)的穩(wěn)定性分析更加困難，有待深入探索。