具有動(dòng)態(tài)邊界反饋的Timoshenko梁的能量衰減估計(jì)

嚴(yán)佳夢(mèng)，魯軼戈，章春國(guó)

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

近幾十年來(lái)，隨著柔性結(jié)構(gòu)在機(jī)器人學(xué)和空間科學(xué)的廣泛應(yīng)用，帶有柔性結(jié)構(gòu)的控制問(wèn)題引起眾多數(shù)學(xué)工作者及力學(xué)工作者的極大關(guān)注，研究人員從各個(gè)層面廣泛研究以柔性結(jié)構(gòu)作為主要構(gòu)件的系統(tǒng)模型，如Euler-Bernoulli梁模型、Rayleigh梁模型和Timoshenko梁模型，其中尤以Timoshenko梁模型能更精確地描述這一類(lèi)柔性結(jié)構(gòu)構(gòu)件模型，得到許多實(shí)際應(yīng)用[1-3]。不少研究者致力于具有動(dòng)態(tài)邊界的彈性梁系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究。文獻(xiàn)[4]對(duì)具有動(dòng)態(tài)邊界Euler-Bernoulli梁的指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行研究，得到了很好的結(jié)果；文獻(xiàn)[5]研究了一部分邊界是動(dòng)態(tài)邊界的Timoshenko梁系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[6]應(yīng)用Hilbert唯一性方法得到了具有動(dòng)態(tài)邊界的均質(zhì)Timoshenko梁系統(tǒng)的精確能控性；文獻(xiàn)[7]應(yīng)用線(xiàn)性半群算子理論得到了具有邊界反饋的非均質(zhì)Timoshenko梁的指數(shù)穩(wěn)定性。受文獻(xiàn)[4-6]處理問(wèn)題方法的啟發(fā)，本文研究一類(lèi)具有動(dòng)態(tài)邊界非均質(zhì)Timoshenko梁系統(tǒng)的能量一致指數(shù)衰減性質(zhì)，采用的反饋方式與文獻(xiàn)[7]所采用的反饋方式相類(lèi)似。

1 問(wèn)題的提出

具有動(dòng)態(tài)邊界Timoshenko梁系統(tǒng)如下：

(1)

本文中，反饋常數(shù)與文獻(xiàn)[7]的反饋常數(shù)不同，因?yàn)槲墨I(xiàn)[7]研究的不是動(dòng)態(tài)邊界反饋，無(wú)需系數(shù)強(qiáng)制條件，本文要求k2>0,k4>0，若不然，會(huì)造成邊界條件不相容。

為了得到系統(tǒng)的能量衰減估計(jì)，需要如下自然假設(shè)：

ρ(·),Iρ(·),K(·),EI(·)∈C1[0,L],ρ(·),Iρ(·),K(·),EI(·)≥C>0,x∈[0,L]

(2)

式中，C為一個(gè)正常數(shù)。

(3)

設(shè)

V=H1(0,L)×H1(0,L),H=L2(0,L)×L2(0,L)

這里，Hm(0,L)是m階Sobolev空間[8]，且

并設(shè)

具有范數(shù)

D(

(4)

和

(5)

2 系統(tǒng)的解的存在唯一性和譜性質(zhì)

定理1假設(shè)(2)成立，那么是上的壓縮C0-半群et的無(wú)窮小生成元。

(6)

(7)

即解方程

(8)

(9)

(10)

于是，式(10)結(jié)合式(8)的最后一式在x=L處可得：

(11)

再由式(10)在[x,L]上積分，可得：

(12)

同理，式(9)結(jié)合式(8)的倒數(shù)第2式，在x=L處可得：

(13)

由式(9)和式(12)可得：

(14)

式(14)在[x,L]上積分，可得：

(15)

因此，由假設(shè)(2)及式(8)，式(12)，式(15)得到，存在某個(gè)正常數(shù)M>0，使得:

(16)

命題假設(shè)(2)成立，那么iR?ρ()，其中i為單位虛數(shù)。

證明由于具有緊的預(yù)解式，用文獻(xiàn)[10]中引理4.1的類(lèi)似方法得到：

{λ∈σ()| Imλ≠0}?σP()

(iω-)(w,,v,ψ,ξ,η)=0

(17)

從而

0=Re〈(iω-)(w,,v,ψ,ξ,η),(w,,v,ψ,ξ,η)〉=-k1|ξ|2-k3|η|2

于是

ξ=0,η=0

(18)

由式(17)和式(5)，可得：

(19)

因此，由式(2)，式(4)，式(18)和式(19)，可得：

(20)

3 系統(tǒng)的的能量一致指數(shù)衰減估計(jì)

下面證明本文的主要結(jié)果，即系統(tǒng)的能量是一致指數(shù)衰減的。

定理2如果假設(shè)(2)成立，那么系統(tǒng)(1)的能量E(t)是一致指數(shù)衰減的。

和

由于系統(tǒng)(1)的能量E(t)一致指數(shù)衰減等價(jià)于算子生成的壓縮C0-半群et的一致指數(shù)穩(wěn)定性。由命題和頻域結(jié)果[11]，只需證明

(21)

(22)

(iλn-)(wn,n,vn,ψn,ξn,ηn)=(f1n,f2n,f3n,f4n,f5n,f6n)→0

(23)

由式(23)可得，在V中，有：

(24)

在H中，有:

(25)

在C×C中，有:

(26)

(27)

為了證明定理2，需要用到下面引理。

(28)

(29)

證明由式(23)和式(6)，可得：

Re〈(iλn-)(wn,n,vn,ψn,ξn,ηn),(wn,n,vn,ψn,ξn,ηn)〉=k1|ξn|2+k3|ηn|2→0

從而

ξn=vn(L)→0,ηn=ψn(L)→0

(30)

由式(30)結(jié)合式(24)，可得：

n→∞。

又由式(24)可得式(29)，引理4得證。

接下來(lái)繼續(xù)證明定理2。由式(24)可得，f1n(L)→0,f2n(L)→0，且在L2(0,L)中，有：

f′1n-f2n→0,f′2n→0

(31)

因此由式(25)可得，在L2(0,L)中，有：

f3n→0,f4n→0

(32)

(33)

(34)

由式(33)和式(34)相加，同時(shí)取得實(shí)部，可得：

(35)

這樣，式(35)結(jié)合式(22)，式(29)，可得：

(36)

為了得到矛盾的結(jié)論，只需證明，在L2(0,L)中有：

(37)

由式(24)和式(25)，可得：

(38)

(39)

取乘子h(x)=eμx-1，其中μ是后面將要確定的正常數(shù)。

(40)

再由式(40)分部積分并取實(shí)部，可得：

(41)

(42)

再由式(42)分部積分并取實(shí)部，可得：

(43)

將式(41)和式(43)相加，可得：

(44)

因?yàn)檎?shù)μ的存在性由假設(shè)(2)保證。所以能夠選擇到足夠大的μ和正常數(shù)C>0，使得

(45)

因此，式(44)結(jié)合式(45)，在L2(0,L)中，可得：

(46)

由式(29)和式(46)，可得：

(47)

從而得到式(47)和式(36)矛盾，定理2證畢。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究具有動(dòng)態(tài)邊界Timoshenko梁的線(xiàn)性反饋穩(wěn)定性，借助線(xiàn)性算子半群理論結(jié)合乘子方法得到相應(yīng)的穩(wěn)定性結(jié)果。如果在動(dòng)態(tài)邊界上施加的線(xiàn)性反饋?zhàn)枘釗Q成粘性阻尼或分?jǐn)?shù)階弱阻尼，會(huì)產(chǎn)生什么樣的結(jié)果？會(huì)以什么方式穩(wěn)定?將在以后的研究中不斷探索。