以比較為支點(diǎn)，構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

焦歡歡?黃德忠

【摘 要】支點(diǎn)，在物理學(xué)中是指杠桿發(fā)生作用時(shí)起支撐作用、固定不動(dòng)的一點(diǎn)。教學(xué)中，支點(diǎn)是指能引起學(xué)生高效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)。本文以“認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)”一課為例，以比較為支點(diǎn)，通過(guò)比較不同情境的共同點(diǎn)，形成對(duì)百分?jǐn)?shù)表示“關(guān)系”的認(rèn)識(shí);比較數(shù)形結(jié)合點(diǎn)，深化對(duì)百分?jǐn)?shù)表示“倍比關(guān)系”的認(rèn)識(shí);比較應(yīng)用范圍的不同點(diǎn)，完善對(duì)百分?jǐn)?shù)表示“何種倍比關(guān)系”的認(rèn)識(shí);比較新舊知的異同點(diǎn)，構(gòu)建完整的“倍比關(guān)系”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【關(guān)鍵詞】比較 支點(diǎn) 認(rèn)知結(jié)構(gòu) 百分?jǐn)?shù)

教學(xué)中，支點(diǎn)是指能引起學(xué)生真正學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)。在認(rèn)知領(lǐng)域中，可以通過(guò)支點(diǎn)，起到牽一發(fā)而動(dòng)全身之效，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生頭腦里按照他自己的理解深度、廣度，結(jié)合個(gè)人感知、記憶、思維、聯(lián)想的特點(diǎn)，組合成的心理結(jié)構(gòu)。筆者倡導(dǎo)以比較為支點(diǎn)，通過(guò)比較，讓學(xué)生在“不同”中看到“聯(lián)系”，在“解構(gòu)”中進(jìn)行“建構(gòu)”，有利于學(xué)生構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在教學(xué)中，不少教師都有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，但在何處比較，比較到何種程度，不少教師難以準(zhǔn)確把握。例如：“百分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)”這節(jié)課，不少教師只是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)了百分?jǐn)?shù)的概念，鮮有從“倍比關(guān)系”角度幫助學(xué)生建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，筆者以“認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)”一課為例，闡述如何以比較為支點(diǎn)，構(gòu)建學(xué)生完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

一、比較不同情境的共同點(diǎn)，形成對(duì)百分?jǐn)?shù)表示“關(guān)系”的認(rèn)識(shí)

概念學(xué)習(xí)，需要學(xué)生在不同情境中去除概念非本質(zhì)特征，抽取出相同的特征，形成對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。百分?jǐn)?shù)，在不同情境中都有所運(yùn)用，這需要學(xué)生在眾多情境中，能比較出不同情境的共同點(diǎn)，挖掘出百分?jǐn)?shù)最本質(zhì)的特征，形成對(duì)百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)量之間“關(guān)系”的認(rèn)識(shí)。筆者因此展開以下教學(xué)：

師：我們看這幅圖上寫著“已充電98%”，你怎么理解這里的98%？

生1：就是把總?cè)萘靠醋鲉挝弧?”，平均分成了100份，已充電是這樣的98份。

生2：已充電量和總?cè)萘康谋仁?8 ：100。

生3：就是已充電量是總?cè)萘康?8/100 。

師：看來(lái)98%不表示具體充了多少毫安電，而是表示已充電量是總?cè)萘康?8/100 。

師：那25%呢？

生：把垃圾總量看作單位“1”，平均分成100份，可回收物占其中的25份，也就是可回收物占垃圾總量的25/100 。

師：100%羊毛？

生1：純羊毛，整件衣服都是羊毛做的。

生2：羊毛含量是整件衣服的100/100 。

師：百分?jǐn)?shù)真神奇，一個(gè)百分?jǐn)?shù)里藏著兩個(gè)數(shù)量，帶著這樣的新眼光，再看你課前搜集的百分?jǐn)?shù)，它究竟表示什么意思？

生1：羽絨占80%，80%表示羽絨含量占整件衣服的80/100 。

生2：裝一批貨，已經(jīng)裝了75%，75%表示已經(jīng)裝的貨物占總貨物的75/100 。

生3：海洋面積占71%，71%表示海洋面積占地球總面積的71/100 。

師：觀察黑板上的百分?jǐn)?shù)和你搜集的百分?jǐn)?shù)，他們表示的意思有什么共同點(diǎn)呢？

生1：都是誰(shuí)是誰(shuí)的百分之幾。

生2：都是把兩個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。

生3：都是把單位“1”平均分成100份，其中一個(gè)物體占這樣的多少份。

師：是的，實(shí)際上就表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

生4：分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。

師：真好，你把分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來(lái)了！

本環(huán)節(jié)，教師通過(guò)舉例學(xué)生搜集的“已充電98%”，讓學(xué)生解釋98%的含義，并通過(guò)對(duì)“100%羊毛”“羽絨占80%”“海洋面積占71%”等例子中“百分?jǐn)?shù)的含義”的討論，讓學(xué)生感受到百分?jǐn)?shù)含義內(nèi)在的一致性。在學(xué)生充分感受的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步提問(wèn)：“百分?jǐn)?shù)表示的意思有什么共同點(diǎn)？”學(xué)生將感性的認(rèn)識(shí)上升為理性的思考——“都是兩個(gè)數(shù)在比較”“都是誰(shuí)是誰(shuí)的百分之幾”，進(jìn)而和分?jǐn)?shù)建立聯(lián)系，分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，都代表了兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。教師讓學(xué)生比較不同情境的共同點(diǎn)，學(xué)生在比較的過(guò)程中形成了對(duì)百分?jǐn)?shù)表示“關(guān)系”的認(rèn)識(shí)。

二、比較數(shù)形結(jié)合點(diǎn)，深化對(duì)百分?jǐn)?shù)表示“倍比關(guān)系”的認(rèn)識(shí)

心理學(xué)家指出，學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，也是一個(gè)編碼的過(guò)程。編碼分為語(yǔ)義編碼和形象編碼。研究表明，雙重編碼有助于學(xué)生更深入地理解所學(xué)內(nèi)容。語(yǔ)義編碼是以語(yǔ)言的方式理解、建構(gòu)知識(shí)，形象編碼是以畫圖等直觀形象的方式建構(gòu)知識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是實(shí)現(xiàn)雙重編碼的有效途徑，將抽象的數(shù)與具體的形結(jié)合在一起，有助于深化學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較數(shù)形結(jié)合點(diǎn)，深化其對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。

師：同學(xué)們，明白了百分?jǐn)?shù)的意義，老師還給大家?guī)?lái)了百格圖，想看嗎？（出示百格圖，如圖1）

師：請(qǐng)你幫幫老師，涂色部分怎么表示？

生：30%，表示把一個(gè)大正方形看作單位“1”，平均分成100份，涂色部分是這樣的30份。

師：那現(xiàn)在呢？（出示圖2）

生：還是30%，3/10=30/100 =30%。

師：如果這樣呢？（出示圖3）

生：30%。

師：分得更多呢？（出示圖4）

生：還是30%。

師：變成正方體了呢？（出示圖5）

生：還是30%。

師：比較一下，不一樣的圖，為什么都表示了30%？

生：雖然圖不一樣，但通過(guò)約分或者通分，最后都變成了30/100。

生：最后涂色部分和整體的比都是30 ：100。

生：都可以變成平均分成100份，取30份。

師：是的，30%表示了涂色部分與整體的倍比關(guān)系，只要倍比關(guān)系不變，表示的百分?jǐn)?shù)就不變。

學(xué)生常會(huì)有這樣的誤區(qū)：百分?jǐn)?shù)就是分母為100的分?jǐn)?shù)。如何讓學(xué)生突破分母為100的認(rèn)識(shí)？筆者認(rèn)為，比較數(shù)形結(jié)合點(diǎn)是一種有效策略。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生深刻意識(shí)到未必一定要分成100份，不管是分成10份、400份，還是1000份，只要涂色部分與整體的倍比關(guān)系不變，表示的百分?jǐn)?shù)就不變，從而深刻認(rèn)識(shí)到百分?jǐn)?shù)含義的本質(zhì)是表示兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系。通過(guò)數(shù)形結(jié)合點(diǎn)的比較，學(xué)生頭腦中建立相應(yīng)的表象，從而實(shí)現(xiàn)形象與語(yǔ)義的雙重編碼，深化對(duì)百分?jǐn)?shù)表示的是“倍比關(guān)系”的認(rèn)識(shí)。

三、比較應(yīng)用范圍的不同點(diǎn)，完善對(duì)百分?jǐn)?shù)表示“何種倍比關(guān)系”的認(rèn)識(shí)

學(xué)生從最初認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系，再到表示倍比關(guān)系，學(xué)生的認(rèn)知逐步加深。在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生比較百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用范圍，探究百分?jǐn)?shù)究竟表示何種量之間的倍比關(guān)系，完善對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。

師：老師這里也有兩個(gè)百分?jǐn)?shù)（如圖6），你能幫我選一選嗎？

174.7% ? ? ? ? ?10%

1.已經(jīng)下載了整個(gè)文件（ ）。

2. 2015年，我國(guó)垃圾回收利用量是2006年的（ ）。

生：第一個(gè)是10%，表示已經(jīng)下載的是整個(gè)文件的10/100，第二個(gè)選174.7%，表示把2006年的垃圾回收利用量看作單位“1”，平均分成100份，2015年的相當(dāng)于這樣的174.7份。

師：比較一下這兩個(gè)百分?jǐn)?shù)，你覺(jué)得位置能交換一下嗎？

生：不行，第一個(gè)最多是全部下載完，最多是100%，不可能超過(guò)100%。

生：第二個(gè)2015年的我國(guó)垃圾回收利用量是可以超過(guò)2006年的，可以大于100%，這說(shuō)明2015年我國(guó)垃圾回收利用量超過(guò)2006年的垃圾回收利用量。

師：看來(lái)，已經(jīng)下載的是整個(gè)文件的一部分，是不能超過(guò)100%，而2016年和2005年的垃圾回收利用量是兩個(gè)獨(dú)立的量，是可以超過(guò)100%，看來(lái)，在表示部分與整體的倍比關(guān)系時(shí)，百分?jǐn)?shù)不能超過(guò)100%，而在表示兩個(gè)獨(dú)立的量的倍比關(guān)系時(shí)，不受100%的限制，是可以超過(guò)100%的。

在以往教學(xué)中，學(xué)生對(duì)超過(guò)100%的百分?jǐn)?shù)感到困惑，不少教師只是一帶而過(guò)，而沒(méi)有充分重視。百分?jǐn)?shù)是否超過(guò)100%，這和百分?jǐn)?shù)表示何種倍比關(guān)系有關(guān)。因此本環(huán)節(jié)，筆者通過(guò)比較兩種情境下，174.7%和10%這兩個(gè)百分?jǐn)?shù)能否互換，讓學(xué)生意識(shí)到：在表示已經(jīng)下載和整個(gè)文件這樣部分與整體的倍比關(guān)系時(shí)，百分?jǐn)?shù)不能超過(guò)100%，而在表示兩個(gè)獨(dú)立的量的倍比關(guān)系時(shí)，是可以超過(guò)100%的。通過(guò)比較應(yīng)用范圍不同點(diǎn)，學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)更加完善、全面。

四、比較新舊知的異同點(diǎn)，構(gòu)建完整的“倍比關(guān)系”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

教育心理學(xué)家皮亞杰提出，人的認(rèn)知學(xué)習(xí)過(guò)程分為同化和順應(yīng)兩種。同化是指新知識(shí)可以內(nèi)化到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，而順應(yīng)是指學(xué)習(xí)者需要改變認(rèn)知結(jié)構(gòu)以此來(lái)適應(yīng)新知。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較新舊知識(shí)的異同點(diǎn)，讓學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行同化和順應(yīng)的過(guò)程，擴(kuò)充并改組原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如教師展開以下的教學(xué)，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

師：接下來(lái)哪些分?jǐn)?shù)能改寫成百分?jǐn)?shù)，哪些不能？（出示圖7）

生1：第一題的第一個(gè)分?jǐn)?shù)不能，因?yàn)楹竺嬗袉挝唬硎揪唧w的數(shù)量，而75/100后面沒(méi)有單位，表示原來(lái)是100份，運(yùn)走的是這樣的75份，表示一種關(guān)系，而百分?jǐn)?shù)也表示關(guān)系，所以75/100可以寫成百分?jǐn)?shù)，即75%。

生2：第二題前兩個(gè)分?jǐn)?shù)后面都有單位，表示具體的數(shù)量，不能改寫成百分?jǐn)?shù)，最后的50/100表示23/100米是46/100米的100份中的50份，是表示關(guān)系，可以改寫成百分?jǐn)?shù)。

師：看來(lái)，只有表示關(guān)系的分率才可以改寫成百分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)又叫作百分率，百分?jǐn)?shù)還和比有關(guān)，你能把百分?jǐn)?shù)化成比嗎？

師：將以前學(xué)的分率和比與今天學(xué)習(xí)的百分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較，你有什么想說(shuō)的？

生3：我們學(xué)的分率和比是表示兩個(gè)數(shù)之間的倍比關(guān)系。今天學(xué)習(xí)的百分?jǐn)?shù)，它不是表示具體的數(shù)量，也是表示兩個(gè)數(shù)之間的倍比關(guān)系。

師：你把新舊知進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)不管分率、比、百分?jǐn)?shù)，實(shí)際上都表示了兩個(gè)數(shù)之間的倍比關(guān)系，真好！

教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生比較新舊知識(shí)的異同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)就是百分率，同化于原有分率的認(rèn)知下，再通過(guò)將百分?jǐn)?shù)與分率、比進(jìn)行縱向聯(lián)系，在認(rèn)知中形成“倍比關(guān)系”這樣更上位的結(jié)構(gòu)，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不管分率、比、百分?jǐn)?shù)，實(shí)際上都表示了兩個(gè)數(shù)之間的倍比關(guān)系。教師將倍比關(guān)系作為分率、比、百分?jǐn)?shù)的“根”與“魂”，進(jìn)行縱向聯(lián)系，同時(shí)通過(guò)橫向聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到百分?jǐn)?shù)的讀寫、作用、意義、范圍，通過(guò)橫向、縱向的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的板書，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“指向課堂核心關(guān)切的支點(diǎn)式學(xué)習(xí)研究”（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：Xc-c/2020/08）的階段性研究成果。