小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識培養(yǎng)“三步曲”
——以人教版“用字母表示數(shù)”為例

(石河子大學(xué) 師范學(xué)院/兵團(tuán)教育學(xué)院，新疆 石河子 832003)

引言

數(shù)學(xué)符號將數(shù)學(xué)知識與簡單、直觀和概括的特征相結(jié)合，以表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)表達(dá)式。對數(shù)學(xué)符號的掌握很大程度上影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。智力被視為使用符號的能力，尤其是語言符號[1]。小學(xué)生自從接觸算術(shù)后，就已經(jīng)反復(fù)地對部分?jǐn)?shù)學(xué)符號進(jìn)行了訓(xùn)練，但在學(xué)習(xí)過程中仍然頻繁出錯，不能深刻理解和使用符號。許多專家認(rèn)為，這是由于學(xué)生缺乏符號意識所致。因此，培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識，提高其核心素養(yǎng)，已成為小學(xué)數(shù)學(xué)重要的研究課題。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 版)》指出，“符號意識”主要指能夠理解和運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號可以進(jìn)行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性[2]。根據(jù)研究需要，本文將小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識定義為在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活中，學(xué)生對表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系等符號的感受、認(rèn)識、理解，以及具有的處理符號的能力。具有良好數(shù)學(xué)符號意識的人，能夠?qū)?shù)學(xué)信息與數(shù)學(xué)符號緊密結(jié)合。根據(jù)小學(xué)生身心發(fā)展的特點和數(shù)學(xué)符號意識內(nèi)涵，本研究將小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識內(nèi)容概括為以下四方面：(1)學(xué)會體會數(shù)學(xué)符號的美；(2)認(rèn)識常見數(shù)學(xué)符號，理解符號本質(zhì)；(3)積極使用符號表示數(shù)字、事物、數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;(4)在生活情境中能使用正確符號去解決問題。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識培養(yǎng)策略

“用字母表示數(shù)”作為學(xué)生符號意識培養(yǎng)的一節(jié)基礎(chǔ)課，從學(xué)生生活實際出發(fā)，設(shè)計具體問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、合作交流，主動建構(gòu)知識體系，從而體會用字母表示數(shù)的必要性和優(yōu)越性，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識。以“用字母表示數(shù)”為例，從感知符號美、理解符號本質(zhì)、運用符號進(jìn)行表達(dá)和思考三方面闡述教師如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的符號意識。

1.創(chuàng)設(shè)探究活動，感知符號美

多數(shù)教師認(rèn)為只有美術(shù)、音樂等科目才和“美”有關(guān)，“美”的教育在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常被忽略。事實上，數(shù)學(xué)符號完美地反映了數(shù)學(xué)的美，折射出數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美。學(xué)生對符號美體會越深刻，則主動運用符號的意識越強(qiáng)烈。因此，教師應(yīng)努力在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)各種探究活動，使學(xué)生在活動中體驗符號的簡潔美和統(tǒng)一美，從而提高學(xué)生的符號運用意識，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識。

數(shù)學(xué)符號的“簡潔美”。如“用字母表示數(shù)”例子中教師引導(dǎo)學(xué)生表述女兒和自己的年齡關(guān)系時，學(xué)生有以下三種表示：一是一一列出每年女兒和老師的年齡；二是畫圖表示老師年齡=女兒年齡+30歲;三是用字母表示。老師追問：三種方法更喜歡哪種?為什么？通過討論和觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)使用符號表達(dá)問題更簡潔方便，從而感知符號的簡潔美。

數(shù)學(xué)符號的“統(tǒng)一美”。教師向?qū)W生展示3本相同的筆記本圖片和式子3×a，問：你覺得它們之間有什么聯(lián)系？3×a是什么意思?

生1:a表示1本筆記本價錢，3×a表示3本筆記本的總價錢。

生2：a表示1本筆記本的厚度，3×a表示3本筆記本的厚度。(老師將3本筆記本圖片去掉)

師：你現(xiàn)在覺得3×a表示什么呢？

生1：a表示1個蘋果的價錢，3×a表示3個蘋果的價錢。

生2：a表示1朵花的價錢，3×a表示3朵花的價錢。

師：看來說不完，大家發(fā)現(xiàn)什么了嗎？

生：每樣?xùn)|西的價錢表示都是一樣的。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)符號無與倫比的魅力，并欣賞其簡約和統(tǒng)一的美感。將數(shù)學(xué)符號意識融入心中，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中積極主動運用符號進(jìn)行表達(dá)。

2.挖掘生活情境，理解符號本質(zhì)

早期的代數(shù)都是圍繞解方程展開的，古希臘人們用文字?jǐn)⑹龅姆绞絹砻枋龃鷶?shù)，即使問題很簡單，解答過程也很繁復(fù)。為此，人們認(rèn)為“必須要有一套符號”來描述代數(shù)。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖首先使用符號來表示代數(shù)，后來，許多數(shù)學(xué)家模仿丟番圖，并使用標(biāo)準(zhǔn)文本的縮寫來代表代數(shù)。用一個個音節(jié)的縮寫表示代數(shù)，具有先入為主的意思，僅僅只能表示特定的數(shù)。為此，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)設(shè)想了一種求解各種方程的通用方法，經(jīng)過不斷探索，韋達(dá)用統(tǒng)一的字母表示未知量、已知量和運算。

回顧代數(shù)發(fā)展的歷史，可知用字母表示數(shù)的本質(zhì)在于：字母表示數(shù)的過程，不是字母替代文字的過程，而是具體符號化的過程。也就是說，用字母表示數(shù)，不是因為不知道這個數(shù)量是多少，而是因為這個已知的數(shù)量在不斷的變化中，因而用字母來概括表示[3]。為此，用字母表示數(shù)的教學(xué)重難點應(yīng)致力于讓學(xué)生了解到字母不僅可以表示確定的數(shù)，還可代表未知數(shù)。然而，數(shù)學(xué)符號的抽象性與小學(xué)生思維形象性之間的矛盾使其更難理解數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)，當(dāng)他們學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”，在用含有字母的式子表達(dá)數(shù)量關(guān)系時，準(zhǔn)確率接近百分之百，但學(xué)生在回答“五年級有b人，二年級有40人，兩個年級共有多少人”這一問題時，幾乎出現(xiàn)一半的錯誤，這是因為學(xué)生并未了解用字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。斯根普提出了理解的兩種模式：工具性理解和關(guān)系性理解[4]。小學(xué)生在學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”時，屬于工具性理解，要想達(dá)到關(guān)系性理解，更加深刻理解符號本質(zhì)，需要教師不斷挖掘生活情境，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生過程。為此，教師在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)過程中，應(yīng)創(chuàng)造具體的生活情境，讓學(xué)生在情境的探討中發(fā)現(xiàn)使用符號的必要性，從而更加深刻地理解數(shù)學(xué)符號本質(zhì)。首先，用“猜?lián)淇伺啤庇螒驅(qū)胝n堂，請學(xué)生猜帶有字母的撲克牌大小，學(xué)生從游戲中知道了字母在某些情況下可以表示特定數(shù)；接著，通過展示字母a、b,追問學(xué)生a、b代表什么，將新知識與舊知識連接，從而更深刻了解字母可以表示任意數(shù)。

接著，在教授“用含有字母的式子表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系”時，可以使用貼近學(xué)生生活的例子來吸引學(xué)生興趣，如以老師和同學(xué)小明的年齡關(guān)系進(jìn)行引導(dǎo)，通過“老師比小明大20歲”這個提示猜想老師年齡，并引導(dǎo)學(xué)生猜測當(dāng)小明1歲、2歲、3歲……時，老師的年齡。學(xué)生會用“1+20，2+20，3+20……”這樣的表達(dá)式代表老師的年齡。接著在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生用一個式子表示任何一年中老師的年齡是“a+20”歲。之后教師可繼續(xù)追問：“這里的a表示什么？a+20又表示什么？”讓學(xué)生明白“a+20”既指老師的年齡，也能反映老師和小明年齡之間的關(guān)系。教師通過創(chuàng)設(shè)具體生活情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行個性化表示，最后用符號表示這一過程，幫助學(xué)生理解符號本質(zhì)，培養(yǎng)符號意識。

3.培養(yǎng)問題解決能力，提高符號運用意識

數(shù)學(xué)符號意識主要指學(xué)生積極主動運用符號解決問題。僅依靠模仿記憶難以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識，歸根到底，學(xué)生不僅要“理解”數(shù)學(xué)符號，更要“運用”數(shù)學(xué)符號，需要在解決問題過程中培養(yǎng)符號運用意識，在提高意識的基礎(chǔ)上解決數(shù)學(xué)問題，從而形成良性效應(yīng)。

數(shù)學(xué)問題的解決，主要包括三部分：首先，對具體問題進(jìn)行分析，提取數(shù)學(xué)信息，將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；其次，將數(shù)學(xué)問題符號化，這個部分即“符號化”的過程；最后，選擇最恰當(dāng)?shù)姆柤记珊喕瘑栴}，執(zhí)行符號運算，從而解決問題。如：3本書總價格為2.4元，讓學(xué)生說說3本書與2.4元之間的關(guān)系。學(xué)生開始可能會說“3本書的價錢一共是2.4元”。首先，教師可以通過引導(dǎo)的方式，啟發(fā)學(xué)生用式子表示書與價格的關(guān)系，學(xué)生可能會列出“每本書的價錢×3=2.4元”的式子。接著，教師進(jìn)一步要求學(xué)生用含有字母的式子代替上面的式子，學(xué)生可能會列出“3x=2.4”這樣的關(guān)系式來表示書與價格的關(guān)系。從特定情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，并用符號表示它們的過程是一個概括問題的過程，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識。在教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題的習(xí)慣，像一題多解、求最佳等。如，植樹節(jié)將近，學(xué)校組織小朋友進(jìn)行植樹活動，原計劃每天植樹50棵，10天植完，實際上只用了計劃天數(shù)的1/5,工作效率提高了多少？對于這個問題，主要有以下幾種解法：解法1：50×10÷(10×1/5)=250(棵)，(250-50)÷250=80%；解法2：設(shè)每天種植x棵，50×10=x×(10×1/5),得x=250,(250-50)÷250=80%；解法3：設(shè)每天種植x棵，1/5=50/x,解得x=250,(250-50)÷250=80%; 解法4：(10-10×1/5)÷10=80%。分析以上四種解法，可以發(fā)現(xiàn)前三種解決方法比較常規(guī)，根據(jù)已知條件，逐步推理解答，而解法4解題思路更加活躍，思路更加與眾不同，解法也最佳。在教學(xué)中，教師可以提供一題多解的訓(xùn)練：一方面可以適應(yīng)不同學(xué)生的水平；另一方面選擇最佳符號解決問題，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識。

結(jié)束語

符號意識是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的關(guān)鍵詞之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著關(guān)鍵作用。為此，新課改以來，越來越多的專家及教育工作者關(guān)注小學(xué)生符號意識的培養(yǎng)，從相關(guān)研究綜述來看，大部分研究者關(guān)注數(shù)學(xué)符號意識的理論研究，較少有研究聚焦于具體學(xué)科的具體課程來探討小學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)。本文參照符號意識定義的相關(guān)研究，對小學(xué)數(shù)學(xué)符號意識進(jìn)行了定義界定，并結(jié)合“用字母表示數(shù)”這一具體應(yīng)用，提出了三條教學(xué)策略，以期為教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的符號意識提供參考。