淺析如何理清分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的知識(shí)脈絡(luò)

摘 要：文章從一道小學(xué)高段分?jǐn)?shù)常見(jiàn)題引發(fā)思考，對(duì)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行了解讀。文章通過(guò)對(duì)題目錯(cuò)誤根源的找尋，運(yùn)用合并教學(xué)、對(duì)比教學(xué)，理清分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的知識(shí)脈絡(luò)，搞清分?jǐn)?shù)意義本質(zhì)，并從課堂教學(xué)的角度提出一些有效的教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)意義;知識(shí)脈絡(luò);意義理解

一、 緣起

練習(xí)題呈現(xiàn)：把一根2米長(zhǎng)的木條鋸成同樣長(zhǎng)的4段，每段是這根木條的（? ）（? ），每段長(zhǎng)（? ）（? ）米。

此題是五年級(jí)檢測(cè)試卷中的一道?？碱}，學(xué)生錯(cuò)誤率非常高，甚至有部分學(xué)生一直到小學(xué)畢業(yè)，還沒(méi)有搞明白究竟怎么回事。筆者對(duì)五年級(jí)兩個(gè)班的76位學(xué)生就本題進(jìn)行了測(cè)試。為了更清楚地了解學(xué)生的思考過(guò)程，以便更準(zhǔn)確地把握學(xué)生的錯(cuò)誤原因，要求學(xué)生用文字結(jié)合示意圖的形式加以說(shuō)明，10分鐘內(nèi)獨(dú)立完成，整個(gè)過(guò)程真實(shí)、可信。僅看結(jié)果，正確的有39人（兩個(gè)班分別為20人和19人），正確率為51.3%，結(jié)果與過(guò)程均正確的僅有30人（兩個(gè)班分別為16人和14人），僅占39.5%，真是讓人大跌眼鏡。

課后在與同事的交流中發(fā)現(xiàn)，很多同事對(duì)這個(gè)習(xí)題也是頭疼不已，從一開(kāi)始的耐心講解分析，到最后讓學(xué)生死記硬背，效果總不是那么的理想。筆者試圖通過(guò)回顧分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的歷程，理清分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的知識(shí)脈絡(luò)，找尋錯(cuò)誤的根源，從課堂教學(xué)的角度提出一些教學(xué)建議，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

二、 分析

這道習(xí)題考查的知識(shí)點(diǎn)是什么？分?jǐn)?shù)的意義嗎？分?jǐn)?shù)的意義究竟有哪些？現(xiàn)在主流觀點(diǎn)認(rèn)為分?jǐn)?shù)具有“率”和“量”兩種不同的意義。筆者試圖通過(guò)回顧兩種分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)的歷程，理清分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的知識(shí)脈絡(luò)，找尋錯(cuò)誤的根源，從課堂教學(xué)的角度提出一些教學(xué)建議，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

（一）表示一種關(guān)系

學(xué)生三年級(jí)時(shí)從“部分與整體關(guān)系”的意義認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，強(qiáng)調(diào)在“平均分”的基礎(chǔ)上，加入整體的概念，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，與整體相比較，部分也可以是一個(gè)數(shù)。

但從三年級(jí)一直到五年級(jí)，學(xué)生頭腦中對(duì)分?jǐn)?shù)的意義理解僅有一種：“部分與整體的關(guān)系。”到了五年級(jí)下第一課時(shí)“分?jǐn)?shù)的意義”仍舊突出了這種關(guān)系，明確提出整體可以是一個(gè)或者多個(gè)物體，但不管是一個(gè)還是多個(gè)物體，表示的意義仍舊為“一種關(guān)系”。如將4個(gè)餅作為一個(gè)整體，那么它的14實(shí)際上表示1個(gè)餅，而有不少的學(xué)生認(rèn)為是14個(gè)餅。

（二）表示具體數(shù)量

對(duì)于分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，很多學(xué)生只停留在表面的各部分的聯(lián)系，進(jìn)行了比較與遷移，往往忽視了它們之間內(nèi)在的本質(zhì)溝通。在教學(xué)“用分?jǐn)?shù)表示除法的結(jié)果”時(shí)，學(xué)生會(huì)很熟練地把被除數(shù)看成分子，除數(shù)看成分母（圖1）。但如果是這樣的題目“1÷7=（? ）”，結(jié)果往往不是用分?jǐn)?shù)表示的（圖2）。學(xué)生為什么不用分?jǐn)?shù)表示除法的商呢？課后訪談得知，雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，但很多學(xué)生還是認(rèn)為只有整數(shù)和小數(shù)才能表示計(jì)算的結(jié)果，而分?jǐn)?shù)只表示“幾份中占了幾份”，也就是只表示“一種關(guān)系”。也說(shuō)明學(xué)生只是從外在的形式上認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，對(duì)分?jǐn)?shù)表示“商”的意義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義的過(guò)程中，我們要注重學(xué)習(xí)素材與生活經(jīng)驗(yàn)的合理銜接，讓學(xué)習(xí)的素養(yǎng)更具有現(xiàn)實(shí)意義，這樣才能讓數(shù)學(xué)的知識(shí)更貼近于生活實(shí)際，這就要求我們從數(shù)學(xué)的外部恰當(dāng)?shù)匾敕謹(jǐn)?shù)。教材又從學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的“分蛋糕、分月餅”等經(jīng)常經(jīng)歷的事例進(jìn)行引入，抽象出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，這實(shí)際上從純數(shù)學(xué)的角度，賦予了分?jǐn)?shù)“商”的意義。從現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題中引入分?jǐn)?shù)“部分與整體關(guān)系”的意義，利用現(xiàn)實(shí)情境與實(shí)物操作的方法，有利于學(xué)生對(duì)“份數(shù)”和“商”的意義理解。

從學(xué)生對(duì)兩種不同意義的學(xué)習(xí)歷程中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)表示“部分與整體關(guān)系”的意義是根深蒂固的，不利于對(duì)分?jǐn)?shù)其他意義的理解。這道習(xí)題實(shí)際上就是考查了分?jǐn)?shù)表示“關(guān)系”與“商”兩種不同意義的理解，然而當(dāng)學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)與除法”之后，原來(lái)分?jǐn)?shù)也可以表示“商”。正是學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)表示“部分與整體關(guān)系”的根深蒂固，而對(duì)“分?jǐn)?shù)與除法”沒(méi)能從本質(zhì)上理解，才使得學(xué)生的學(xué)習(xí)，僅停留在“被除數(shù)與分子，除數(shù)與分母”的表層理解上。因此區(qū)分分?jǐn)?shù)表示兩種不同的意義還是有一定難度的，錯(cuò)誤率高也就不難理解了。

三、 思考

怎樣更好地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的兩種不同意義，并理解內(nèi)在的聯(lián)系和區(qū)別呢？筆者認(rèn)為可以進(jìn)行以下教學(xué)嘗試：

（一）合并教學(xué)

以人教版為例，分?jǐn)?shù)兩種意義的教學(xué)是分成兩課時(shí)的，第一課時(shí)學(xué)習(xí)“部分與整體關(guān)系”的意義，第二課時(shí)學(xué)習(xí)“商”的意義。筆者認(rèn)為這樣的編排，仍舊突出了“份數(shù)”的意義，可能不利于學(xué)生對(duì)“商”的意義理解，以至于不能很好地區(qū)分兩種不同的意義。能否把分?jǐn)?shù)的兩種意義合并教學(xué)？在同一課時(shí)中讓學(xué)生理解、辨析、區(qū)分兩種不同的意義，會(huì)不會(huì)更好地掌握分?jǐn)?shù)的兩種意義呢？筆者在四年級(jí)下學(xué)生中作了嘗試，在課后練習(xí)測(cè)驗(yàn)和訪談中，教學(xué)效果比原來(lái)分開(kāi)教學(xué)要好一些。

（二）對(duì)比教學(xué)

文章開(kāi)頭的題目，是讓學(xué)生直接區(qū)分分?jǐn)?shù)的兩種不同意義，因?yàn)閷?duì)兩種意義的理解不透徹，所以對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度。如果單獨(dú)考查學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)兩種意義的理解，是否會(huì)更好一些？故在此后又重新讓兩個(gè)班的學(xué)生分別作了測(cè)試，而且兩個(gè)班的測(cè)試內(nèi)容還作了適當(dāng)?shù)膮^(qū)分，具體如下：

第一次：?jiǎn)为?dú)考查學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)表示“部分與總體關(guān)系”的理解。特意在兩個(gè)班設(shè)置相同類型，但題數(shù)不同的題目，仍舊要求學(xué)生用文字結(jié)合示意圖的方式加以說(shuō)明思考過(guò)程。目的是了解學(xué)生對(duì)“份數(shù)”意義的理解情況，以及學(xué)生單個(gè)題目與多個(gè)相同類型題目的理解是否會(huì)有區(qū)別，以便更好地指導(dǎo)課堂教學(xué)。

大部分學(xué)生對(duì)“份數(shù)”意義已經(jīng)理解。此前單元練習(xí)題測(cè)試結(jié)果兩個(gè)班并無(wú)明顯差異，多個(gè)練習(xí)的正確率要高于單個(gè)練習(xí)的正確率。

第二次：?jiǎn)为?dú)考查學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)表示“商”的理解。和第一次考查一樣，也在兩個(gè)平行班中設(shè)置了單個(gè)題目與多個(gè)相同類型的題目，但對(duì)單個(gè)題目和多個(gè)題目的考查進(jìn)行了班級(jí)交換。仍舊要求學(xué)生用文字結(jié)合示意圖的方式加以說(shuō)明思考過(guò)程，調(diào)查在正確率上是否會(huì)有差異以及差異是否明顯。

從結(jié)果來(lái)看，還是有相當(dāng)一部分的學(xué)生對(duì)“商”的意義是不理解的，有對(duì)比練習(xí)的多個(gè)題目的正確率要好于單個(gè)題目。

通過(guò)兩次對(duì)比測(cè)試可以看出：學(xué)生對(duì)單獨(dú)考查分?jǐn)?shù)的兩種意義要略好于兩種意義混合考查，說(shuō)明學(xué)生對(duì)兩種意義的理解是有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)的，只是概念還不夠清晰，容易混淆。從分?jǐn)?shù)表示兩種不同意義的角度看，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)表示“部分與整體關(guān)系”的理解要優(yōu)于分?jǐn)?shù)表示“商”的理解，從學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程也印證了這一點(diǎn)。

四、 實(shí)踐

基于學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)兩種意義掌握的現(xiàn)狀，筆者認(rèn)為在分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)中，可以從分?jǐn)?shù)表示“份數(shù)”的定義引入，但重點(diǎn)應(yīng)放在分?jǐn)?shù)“商”的意義及兩種意義的辨析上。筆者在四年級(jí)下重新進(jìn)行了兩次教學(xué)實(shí)踐，教學(xué)效果要優(yōu)于原先分成兩課時(shí)教學(xué)。

【環(huán)節(jié)一】：異中求同：學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)“份數(shù)”的意義

1. 認(rèn)識(shí)一個(gè)整體

（1）出示例題：請(qǐng)你畫(huà)出示意圖分一分，思考：每份是全部的幾分之幾？

（2）思考：分別是誰(shuí)在平均分成4份？請(qǐng)把它圈出來(lái)。

（由于在三年級(jí)上《分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用》中已經(jīng)對(duì)多個(gè)物體表示一個(gè)整體有過(guò)接觸，對(duì)多個(gè)物體表示一個(gè)整體，學(xué)生已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)與感知。通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、分一分中認(rèn)識(shí)到，不管是1個(gè)、4個(gè)還是2個(gè)蛋糕，都是平均分成了4份，每份就是全部的14，在討論與交流中加深對(duì)“份數(shù)”意義的理解。）

2. 揭示“份數(shù)”的定義

（1）提問(wèn)：不同的蛋糕個(gè)數(shù)在平均分，為什么都是14呢？

（2）小結(jié)：都是總數(shù)4份里的1份，只是整體不一樣了。分?jǐn)?shù)在這里都表示部分和整體的一種關(guān)系。（板書(shū)：一種關(guān)系）

（在兩次執(zhí)教過(guò)程中，有學(xué)生提出：可以把4個(gè)蛋糕看成1個(gè)大蛋糕，把這個(gè)大蛋糕平均分成4份，也就和第1小題一樣了。把2個(gè)蛋糕平均分成4份，每份是這些蛋糕的幾分之幾？在教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)了爭(zhēng)議，有些學(xué)生認(rèn)為是28，有些學(xué)生認(rèn)為是24，因?yàn)橛辛酥暗慕?jīng)驗(yàn)，大部分學(xué)生的理解是正確的，認(rèn)為是14。同樣有學(xué)生認(rèn)為可以把2個(gè)蛋糕看成1個(gè)大蛋糕，也就和前兩題道理一樣了。）

【環(huán)節(jié)二】：同中求異：學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)“除法”的意義

1. 體會(huì)“除法”的意義

（1）把4個(gè)蛋糕平均分成4份，每份是幾個(gè)蛋糕？

提問(wèn)：可以怎樣列式？4÷4，等于多少？

（2）把1個(gè)蛋糕平均分成4份，每份是幾個(gè)蛋糕？

提問(wèn)：算式怎么列？1÷4，追問(wèn)：等于多少呢？學(xué)生根據(jù)剛才的示意圖可以看出是14個(gè)蛋糕。（事實(shí)上，在這里很多學(xué)生對(duì)14和14個(gè)是混淆的）

（3）把2個(gè)蛋糕平均分成4份，每份是幾個(gè)蛋糕？

提問(wèn)：算式怎么列？2÷4，追問(wèn)：等于多少呢？學(xué)生根據(jù)剛才的示意圖可以看出是24個(gè)和12個(gè)，為什么不是14個(gè)呢？根據(jù)學(xué)生回答補(bǔ)充板書(shū)。

（從整數(shù)除法引入，學(xué)生更容易從平均分的角度把分?jǐn)?shù)與除法聯(lián)系起來(lái)。因?yàn)橛辛?個(gè)的經(jīng)驗(yàn)，1個(gè)和2個(gè)平均分成4份，列式就比較容易了。至于結(jié)果是多少，學(xué)生可以根據(jù)示意圖中看出來(lái)，但在這里學(xué)生對(duì)兩種意義的區(qū)分仍舊是模糊的。）

2. 區(qū)分兩種不同的意義

（1）為什么不一樣多的蛋糕平均分成4份，每份都是全部的14？（因?yàn)椴还軒讉€(gè)蛋糕都看成了一個(gè)整體，都表示4份中的1份）這里的14表示其中一部分與整體之間的一種關(guān)系。

（2）為什么都是14卻不一樣多呢？（因?yàn)檎w不同），看來(lái)具體多少個(gè)蛋糕和什么有關(guān)？（總數(shù)的多少）因?yàn)榭倲?shù)的多少不同，所以平均分成4份后其中的1份也會(huì)不同。這里的14個(gè)、1個(gè)和24個(gè)表示一個(gè)具體的數(shù)量，可以用除法進(jìn)行計(jì)算，用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。

3. 建立符號(hào)模型，搞清分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

（1）觀察三個(gè)除法算式，思考：怎樣寫(xiě)出除法算式的商？（被除數(shù)與分子，除數(shù)與分母）

（2）為什么可以這樣表示？（分?jǐn)?shù)和除法都可以表示平均分，比較聯(lián)系觀察后即可得出）

【環(huán)節(jié)三】：分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生

提問(wèn)：什么時(shí)候我們會(huì)用到分?jǐn)?shù)？（多數(shù)學(xué)生會(huì)提到分物體）

在日常生活中，除了分物體和測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)，也可以出現(xiàn)在計(jì)算中，比如在計(jì)算除法時(shí)，分?jǐn)?shù)也可以表示除法的商，如1÷7=？（這時(shí)候很多學(xué)生還是習(xí)慣用小數(shù)來(lái)表示，會(huì)有很少一部分學(xué)生能用17表示結(jié)果）7÷9=？（79，體會(huì)分?jǐn)?shù)表示除法結(jié)果的優(yōu)勢(shì)）

（從數(shù)學(xué)的外部需要與數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展需要兩個(gè)角度，解釋了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的不同背景，幫助學(xué)生理解兩種不同的意義，并從中體會(huì)分?jǐn)?shù)表示結(jié)果的優(yōu)勢(shì)。）

分?jǐn)?shù)教學(xué)中，由于學(xué)生在剛接觸分?jǐn)?shù)時(shí)，都采用“份數(shù)”的定義引入，通過(guò)分一分、畫(huà)一畫(huà)等多種形式的強(qiáng)化，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)表示“部分與整體的關(guān)系”是非常深刻的。這樣對(duì)理解分?jǐn)?shù)表示“商”是有負(fù)遷移作用的。因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過(guò)“異中求同”“同中求異”來(lái)幫助學(xué)生區(qū)分兩種不同的意義，應(yīng)該說(shuō)更側(cè)重于分?jǐn)?shù)表示“商”的教學(xué)，是有利于更好地理解分?jǐn)?shù)兩種不同的意義的。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳志健.例談分?jǐn)?shù)意義習(xí)題習(xí)得性教學(xué)誤區(qū)[J].教學(xué)與管理，2019（26）：34-35.

作者簡(jiǎn)介：

郭益東，浙江省杭州市，浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)光明小學(xué)。