概率論中的幾個典型反例的進一步研究

王蓉華， 顧蓓青， 徐曉嶺

(1.上海師范大學 數(shù)理學院，上海 200234； 2.上海對外經(jīng)貿(mào)大學 商務信息學院，上海 201620)

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概率論中的幾個典型反例的進一步研究

王蓉華1， 顧蓓青2， 徐曉嶺2

(1.上海師范大學 數(shù)理學院，上海 200234； 2.上海對外經(jīng)貿(mào)大學 商務信息學院，上海 201620)

摘要：針對概率論中的幾個典型反例作了進一步分析研究，并以此說明了正態(tài)分布和的分布不一定服從正態(tài)分布，以及兩個正態(tài)隨機變量無論是否相關都不能得出其聯(lián)合分布服從正態(tài)分布.同時，還指出了在構造二維聯(lián)合分布方面的反例時，應驗證所構造的聯(lián)合密度函數(shù)是否滿足非負性與規(guī)范性.

關鍵詞：正態(tài)分布；反例；聯(lián)合分布；邊際分布；相關；獨立

0引言

隨機變量的聯(lián)合分布唯一決定邊際分布，反之卻不一定成立.針對連續(xù)型隨機變量，通常用如下兩個例子來說明這個問題.

例1[1]設隨機變量X,Y的聯(lián)合分布密度為

例2[2]設隨機變量X,Y的聯(lián)合分布密度為

再者，獨立正態(tài)隨機變量的和還是正態(tài)分布，即若隨機變量X與Y都服從正態(tài)分布，且X與Y相互獨立，則X+Y仍然服從正態(tài)分布.但如果X與Y不獨立時，上述結論卻不一定成立，即有正態(tài)隨機變量的和不一定服從正態(tài)分布.通常用如下例子來說明上述問題：設隨機變量X～N(0,1)，如果令Y=-2X，此時Y～N(0,4)，ρX,Y=-1，則Z=X+Y=-X～N(0,1)；如果令Y=-X，此時Y～N(0,1)，ρX,Y=-1，Z=X+Y=0不是隨機變量.

下面主要結合例1和例2研究隨機變量X,Y的相關系數(shù)及X+Y的分布.

1反例的進一步研究

為說明問題，給出如下3個引理，即

例3設隨機變量X,Y的聯(lián)合分布密度為

這說明雖然X,Y都服從N(0,1)，但其和Z=X+Y卻不服從正態(tài)分布.

證明1)見文獻[1].

2)由于X～N(0,1),Y～N(0,1)，則E(X)=E(Y)=0，Var(X)=Var(Y)=1,而

由引理2可得

3)Z的密度函數(shù)為

同時，由引理3可得

所以

例4設隨機變量X,Y的聯(lián)合分布密度為

則:1)X～N(0,1),Y～N(0,1)，(X,Y)的聯(lián)合分布卻并不服從二維正態(tài)分布；2)X與Y是相關的；3)令Z=X+Y，Z的密度函數(shù)為

這說明雖然X,Y都服從N(0,1)，但其和Z=X+Y卻不服從正態(tài)分布.

證明1)見文獻[2].

2)由于X～N(0,1),Y～N(0,1)，則E(X)=E(Y)=0，Var(X)=Var(Y)=1,而

3)Z的密度函數(shù)為

很顯然，fZ(z)不可能是一個正態(tài)分布，故雖然X,Y都服從N(0,1)，但其和Z=X+Y卻并不服從正態(tài)分布.

從上兩例可以看到：當兩個正態(tài)隨機變量X,Y相關時(ρ≠0)，不能得出其聯(lián)合分布(X,Y)服從正態(tài)分布,那么，當兩個正態(tài)隨機變量X,Y不相關時(ρ=0)，其聯(lián)合分布(X,Y)是否為正態(tài)分布呢？

另外，例4還可以推廣至更為一般的情形，即X1,X2,…,Xn的聯(lián)合密度為

此不是n維正態(tài)分布，但有Xi～N(0,1),i=1,2,…,n.

例5設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)為

其中，

X,Y的邊際分布為

如果取ρ2=-ρ1，則ρ=0，也就是說X,Y不相關，而其聯(lián)合分布不是二維正態(tài)分布.

其中，φ1(x,y)+φ2(x,y)都是二元正態(tài)分布的密度函數(shù)，即

由例5可以看到二維隨機變量(X,Y)的邊際分布雖都服從正態(tài)分布，但只要不滿足獨立性，即便它們之間不相關，仍不能得出其聯(lián)合分布(X,Y)服從一個二維正態(tài)分布.同時，也說明了只有在(X,Y)服從二維正態(tài)分布的條件下,才能保障X與Y不相關與獨立等價.

構造二維聯(lián)合分布方面的反例時，人們往往容易忽略對所構造的f(x,y)是否為聯(lián)合密度函數(shù)的驗證，即f(x,y)是否滿足非負性與規(guī)范性.

例6[4]在文獻[4]中構造的二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下

并求得其邊際分布均服從正態(tài)分布，同時由于f(x,y)本身并非為二維正態(tài)分布的密度函數(shù)，且f(x,y)≠fX(x)fY(y)，并以此說明邊際分布不一定能決定聯(lián)合分布，且正態(tài)隨機變量其獨立性與不相關并不等價.

雖然f(x,y)滿足規(guī)范性，即

但很顯然，f(x,y)≥0不一定成立.因此，f(x,y)不滿足密度函數(shù)的非負性條件，它不是密度函數(shù),也就是說，不能用該例來說明上述問題.

參考文獻

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[3]《實用積分表》編委會.實用積分表[M]. 北京：中國科學技術出版社，2006：212-286.

[4]周概容，張建華.概率論和數(shù)理統(tǒng)計焦點概念性質分析[M].北京：北京航天大學出版社，2005：75-92.

Further Studies on Several Typical Counterexamples in Probability Theory

WANG Ronghua1, GU Beiqing2, XU Xiaoling2

(1.College of Mathematical Sciences, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China; 2.CollegeofBusinessInformation,ShanghaiUniversityofInternationalBusinessandEconomics,Shanghai201620,China)

Abstract:Further analyses and studies on several typical counterexamples in probability theory show that the sum of random variables with normal distributions doesn’t always conform to the normal distribution. Besides, whether two normal random variables are correlative or not, it can not be concluded that their joint distribution is the normal distribution. Furthermore, when the counterexamples of two-dimensional joint distribution are constructed, it should be validated that the joint density distribution satisfied the nonnegative and standard property.

Key words:normal distribution; counterexample; joint distribution; marginal distribution; correlation; independence

收稿日期：2016-03-02

基金項目：上海師范大學骨干教師教學激勵計劃教研團隊建設項目

作者簡介：王蓉華(1972—)，女，上海人，上海師范大學數(shù)理學院副教授，博士，主要研究方向：應用統(tǒng)計.

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.001

中圖分類號：O211

文獻標志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)02-0001-05