提升概括能力 感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

鄒佳琦

[摘 要]概括是數(shù)學(xué)思維過程的基本框架之一，也是數(shù)學(xué)思維方式的“核心”。小學(xué)生正處于由形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的重要時(shí)期，教師應(yīng)當(dāng)挖掘教材中的思維材料，并借助建模、類比等方式，幫助學(xué)生提升概括能力，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]概括能力;數(shù)學(xué)本質(zhì);數(shù)學(xué)思維

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）32-0008-02

現(xiàn)代教育理論提出，數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)論形式和數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過程離不開對(duì)概念、結(jié)構(gòu)、關(guān)系以及各種經(jīng)驗(yàn)的概括。一些教學(xué)實(shí)踐也表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力決定了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉和獲取能力，繼而影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平。由此可見，概括是數(shù)學(xué)結(jié)論產(chǎn)生過程的核心，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備能力。在實(shí)際教學(xué)中，教師除了思考“教什么”和“怎樣教”，還應(yīng)當(dāng)注重提升學(xué)生的概括能力，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，以此挖掘和激活學(xué)生的思維。

一、深挖教材，催生概括意識(shí)

概括包含感性概括和理性概括兩種形式，感性概括往往在直觀的基礎(chǔ)上能夠自發(fā)進(jìn)行，而理性概括則需要學(xué)生對(duì)所獲得的感性經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行再加工和改造，是一種高級(jí)的概括形式。對(duì)于小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)概括需要架構(gòu)在感性認(rèn)識(shí)和實(shí)踐操作基礎(chǔ)之上。因此，在概念教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供典型豐富的材料并引導(dǎo)其觀察和分析，從而抽象概括出數(shù)學(xué)的本質(zhì)。作為概括過程中的載體，思維材料絕不是生搬硬套，而是應(yīng)當(dāng)在高觀點(diǎn)的視角下發(fā)掘教材、巧用教材，讓數(shù)學(xué)概念從模糊走向清晰。

【案例】如圖1，三個(gè)小朋友都想做一個(gè)平行四邊形，說法正確的有幾句？

學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的地方主要是第2句。對(duì)此，筆者訪談了一部分學(xué)生，得知有的學(xué)生沒有用三角形拼過平行四邊形，不知道要強(qiáng)調(diào)“完全一樣”;有的學(xué)生僅知道兩個(gè)一樣的直角三角形可以拼成平行四邊形;有的學(xué)生雖然知道要強(qiáng)調(diào)兩個(gè)三角形完全相同，但也只是機(jī)械地記住，對(duì)于概念中為什么強(qiáng)調(diào)完全相同似懂非懂。

問題的背后反映的是教育現(xiàn)實(shí)，說明教師可能并沒有讓學(xué)生經(jīng)歷完整的動(dòng)手操作的過程，即使給學(xué)生安排了動(dòng)手操作的活動(dòng)，也只是“就書論書”，對(duì)需要分析概括的過程一帶而過。 “平行四邊形的初步認(rèn)識(shí)”這節(jié)課，教材給學(xué)生提供了兩副三角尺，并提出“用兩塊完全一樣的三角尺拼平行四邊形”這一要求（如圖2）。

因此，很多教師在教學(xué)時(shí)通常都會(huì)按部就班，讓學(xué)生直接用兩塊一樣的三角尺拼出平行四邊形。這樣的教學(xué)無疑是填鴨模式，學(xué)生對(duì)三角形特點(diǎn)的感知僅僅浮于表面。

用不同種類的三角形到用完全一樣的三角形來拼平行四邊形，需要學(xué)生經(jīng)歷辨析和概括的過程，因此，教師不妨給學(xué)生提供若干不同和相同的三角形進(jìn)行嘗試，讓他們選擇其中的任意兩個(gè)三角形去拼平行四邊形。在拼的過程中，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題：不同的三角形都拼不成功，只有相同的兩個(gè)三角形才能拼成平行四邊形。當(dāng)然，這只是學(xué)生在實(shí)踐操作中初步的感知，如何讓“完全相同”扎根于學(xué)生心中，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行具體的分析概括，從而歸納出一般性的結(jié)論。因此，在操作結(jié)束后，教師應(yīng)盡可能多地讓不同的學(xué)生展示所拼的平行四邊形，引導(dǎo)他們仔細(xì)觀察和思考“究竟什么樣的三角形才能拼成平行四邊形”，以此找出共同屬性，間接地感知平行四邊形的特點(diǎn)。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)深入挖掘教材并進(jìn)行加工和創(chuàng)造，使之成為有價(jià)值的思維材料，這樣才能帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探索，在概括中經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念抽絲剝繭的過程。在這樣的教學(xué)之下，學(xué)生才能看到知識(shí)本身的一個(gè)生動(dòng)的發(fā)生、發(fā)展過程，從而生長(zhǎng)出概括意識(shí)。

二、抽象建模，感悟概括之妙

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從某種意義上說就是一個(gè)由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，從具體到抽象的過程，教師要循序漸進(jìn)、有條理地組織學(xué)生學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，提煉出簡(jiǎn)潔的思考方式，抽象出數(shù)學(xué)模型。

【案例】小明有12枚郵票，小麗有30枚郵票，小麗給小明多少枚郵票，兩人一樣多？

教師可以先給學(xué)生提供“退”的機(jī)會(huì)，即可以從簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)入手，通過畫圖來找答案。在學(xué)生已經(jīng)有了思路以后，就可以引導(dǎo)學(xué)生列式計(jì)算，求出答案。最后，讓學(xué)生反思之前的探究過程，歸納和總結(jié)方法，抽象出數(shù)學(xué)模型，即這類題本質(zhì)上都可以概括成“小數(shù)+（? ?）=大數(shù)-（? ?）”這樣一種簡(jiǎn)約的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

在上述教學(xué)過程中，教師依據(jù)學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生自主建模，讓學(xué)生在稍復(fù)雜的問題中篩去非本質(zhì)的部分，概括出問題的本質(zhì)所在，學(xué)習(xí)力于此悄然生長(zhǎng)。

相對(duì)于數(shù)學(xué)習(xí)題，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)亦是如此，換句話說，數(shù)學(xué)建模也是培養(yǎng)學(xué)生概括能力的好途徑。

【案例】蔡宏圣老師所執(zhí)教的“認(rèn)識(shí)方程”片段

師：同學(xué)們看到課題一定在思考方程到底有什么特征。我告訴各位，第一個(gè)算式150=100+50不是方程，第二個(gè)算式x+700=800是方程，第三個(gè)算式x+700>800不是方程。現(xiàn)在請(qǐng)各位同學(xué)倒推出方程有什么特征。

生1：必須有一個(gè)未知數(shù)。

師：把誰(shuí)和誰(shuí)合在一起才發(fā)現(xiàn)方程一定要有未知數(shù)？

生2：把第一個(gè)算式和第二個(gè)算式合起來就會(huì)發(fā)現(xiàn)方程必須要有未知數(shù)，因?yàn)榈谝粋€(gè)算式?jīng)]有未知數(shù)不是方程，說明了方程必須要有未知數(shù)。

生3：從第二個(gè)算式和第三個(gè)算式中發(fā)現(xiàn)方程中必須要有“=”。

師：那為什么第一個(gè)算式和第三個(gè)算式不是方程？

生4：雖然第一個(gè)算式有等號(hào)，但沒有未知數(shù)，所以不是方程。雖然第三個(gè)算式有未知數(shù)，但沒有等號(hào)，所以不是方程。

師：那第二個(gè)算式為什么是方程？

生5：因?yàn)樗扔形粗獢?shù)，又有等號(hào)。

師：怎么判斷一道算式是不是方程？

生6：不但要有等號(hào)，還要有未知數(shù)。

由上述片段可見，學(xué)生雖然沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過方程，但他們并非一張白紙， 他們有朦朧的感覺，該片段的教學(xué)目的在于激發(fā)和提升學(xué)生的這種感覺和體驗(yàn)。其實(shí)，方程概念的建立對(duì)于學(xué)生來說并不是一件輕而易舉的事情，有部分原因是學(xué)生在建立方程概念的過程中，未曾經(jīng)歷一個(gè)充分的抽象與概括的過程。而蔡老師的處理方法可謂與眾不同，讓人眼前一亮。對(duì)于三個(gè)算式，直接開門見山，單刀直入，明確哪個(gè)是方程，哪個(gè)不是。學(xué)生在蔡老師的激發(fā)和引導(dǎo)下用數(shù)學(xué)的眼光觀察和比較三道算式，對(duì)方程的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象，發(fā)現(xiàn)并概括出“未知數(shù)”和“等號(hào)”這兩個(gè)元素對(duì)于方程來說缺一不可，從而在腦海中建立方程最基本的模型，為方程概念“含有未知數(shù)的等式”做好了鋪墊，豐富了對(duì)方程的體驗(yàn)。更重要的是，學(xué)生在建立方程模型，感悟方程本質(zhì)屬性的同時(shí)，也提升了抽象概括能力。

三、類比推理，提升概括能力

數(shù)學(xué)中的概念、屬性、數(shù)量關(guān)系、經(jīng)驗(yàn)歸納及思想方法間或多或少存在一些相似的屬性，若將其類比就可溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)生概括能力的發(fā)展和思維品質(zhì)的提升。

【案例】“角的度量”的教學(xué)中，在學(xué)生掌握了在量角器上尋找相同度數(shù)的不同角之后，執(zhí)教老師又精心設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了測(cè)量長(zhǎng)度，誰(shuí)能來說說測(cè)量長(zhǎng)度和測(cè)量角度有什么一樣的地方？

生1：它們都可以從0刻度開始測(cè)量，測(cè)量到幾就是幾。

生2：也可以直接用大刻度減去小刻度，它們的差就是所測(cè)角的度數(shù)。

生3：它們都可以一度一度或一厘米一厘米這樣數(shù)出來，就是數(shù)一共有多少個(gè)1度或1厘米。

師：測(cè)量就是一個(gè)個(gè)單位量累積起來的過程。除此以外，你們還在哪里見過測(cè)量？

生4：面積。當(dāng)時(shí)是用1平方厘米的小正方形為單位量的，求圖形的面積就是看圖形里面有多少個(gè)1平方厘米。

師：是的，大家很善于聯(lián)系，測(cè)量角度、長(zhǎng)度、面積，包括今后需要學(xué)習(xí)的體積測(cè)量，其實(shí)都是一個(gè)個(gè)單位量累積的過程。

該環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生先比較、分析長(zhǎng)度測(cè)量和角度測(cè)量之間的相同點(diǎn)，再類比面積測(cè)量和體積測(cè)量，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“盡管測(cè)量的內(nèi)容都不一樣，但本質(zhì)都是不變的，即測(cè)量實(shí)際上就是單位量累積的過程”。這里借助類比，幫助學(xué)生打通了不同知識(shí)內(nèi)容間的關(guān)聯(lián)，將測(cè)量的知識(shí)串成一條知識(shí)鏈，深入抵達(dá)測(cè)量的本質(zhì)。

總的來說，從思維材料中概括出數(shù)學(xué)結(jié)論，不僅可以發(fā)展學(xué)生的思維，更重要的是能將形形色色的數(shù)學(xué)問題由復(fù)雜化為簡(jiǎn)單，由陌生化為熟悉，由抽象化為形象，讓學(xué)生在陌生的“風(fēng)景”之間也能尋找到熟悉感，從而概括出共通的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)態(tài)的真正提升。

（責(zé)編 金 鈴）