如何求教列的前n項(xiàng)和

馬麗

數(shù)列求和問題是數(shù)列中的重要題型.在解題的過程中，我們經(jīng)常會遇到一些非等差、非等比數(shù)列的求和問題，其求解的辦法多種多樣.為了幫助同學(xué)們熟練掌握求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，筆者對下面三種方法進(jìn)行了探討.

一、倒序相加法

如果一個數(shù)列中與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，我們就可以采用倒序相加法來求和.把正序的和式與倒序的和式中的對應(yīng)項(xiàng)相加，便能得到n個與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和;求出首末兩項(xiàng)之和，便可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和. 例1.若函數(shù)f（x）=的值.

分析：通過對已知函數(shù)式的觀察與分析，可以發(fā)現(xiàn)f （x）+f（2 -x）= -4，可采用倒序相加法來求解，將求和問題轉(zhuǎn)化為求首項(xiàng)和尾項(xiàng)的和.

解：

二、分段求和法

分段求和法是指將數(shù)列中具有相同特性的項(xiàng)放在一起，把數(shù)列分為幾段，然后分段進(jìn)行求和的方法.運(yùn)用分段求和法解題的關(guān)鍵在于，仔細(xì)觀察和分析數(shù)列的通項(xiàng)，把握其特性和規(guī)律，將其進(jìn)行合理的分段.

例2.求數(shù)列{n（n+1）（2n+1）}的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)

通過對通項(xiàng)的觀察與分析，可知該數(shù)列的和可以分為三段：

.于是運(yùn)用分段求和法，將數(shù)列的每一項(xiàng)拆開，分段進(jìn)行求和，再綜合所得的結(jié)果即可求得原數(shù)列的前n項(xiàng)和.

三、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）裂為兩項(xiàng)之差的形式，然后將其重新組合，使之能消去中間的一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的的方法.運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的關(guān)鍵是將數(shù)列的通項(xiàng)合理變形.常見的裂項(xiàng)方式有

、

我們由已知條件能快速求得

的通項(xiàng)6n=

可將其裂為兩項(xiàng)之差的形式：通過裂項(xiàng)相消，便可將中間的一些項(xiàng)消去，這樣便只剩下首尾兩項(xiàng)，化簡該式即可得到答案.

由此可見，倒序相加法、分段求和法和裂項(xiàng)相消法的適用范圍各不相同，同學(xué)們在解題的過程中要注意合理選擇.無論運(yùn)用哪種方法求和，我們都要首先仔細(xì)觀察和分析數(shù)列的通項(xiàng)，合理進(jìn)行拆分、組合、裂項(xiàng)，這樣才能快速找到與之相對應(yīng)的解題方法.

（作者單位：安徽省阜南實(shí)驗(yàn)中學(xué)）