如何利用平面幾何知識(shí)解答解析幾何問(wèn)題

孫召考

解析幾何是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.在解答解析幾何問(wèn)題時(shí)，我們常采用“純代數(shù)”的方法，如建立方程組、利用韋達(dá)定理等進(jìn)行求解，但其計(jì)算量較大，解題過(guò)程復(fù)雜，很多同學(xué)在解題巾經(jīng)常出現(xiàn)半途而廢的現(xiàn)象.而運(yùn)用幾何方法，借助平面幾何知識(shí)來(lái)解答解析幾何問(wèn)題，能有效減少運(yùn)算量，大大提升解題的效率.

一、利用與三角形有關(guān)的性質(zhì)、定理求解

利用與三角形有關(guān)的性質(zhì)、定理來(lái)解答解析幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于，結(jié)合問(wèn)題中的條件繪制對(duì)應(yīng)的圖形，構(gòu)造三角形，然后靈活運(yùn)用與三角形有關(guān)的性質(zhì)、定理，如直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的中線即為三角形的高線，等邊三角形的五心合一，三角形的內(nèi)角平分線定理，等等，來(lái)建立等量關(guān)系，使問(wèn)題得解.

例1.如圖1，F(xiàn)l. F2分別為橢圓C：

的左右焦點(diǎn)，過(guò)F2作x軸的垂線L，L與圓（x-1）2 +y2= 4a2交于點(diǎn)4，與橢圓C交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AF1交圓F：于點(diǎn)B，連接BF2交橢圓v于點(diǎn)E.已知DF1=

，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

解：如圖l，連接EF1.由橢圓的定義以及方程可知EF， +EF2 =2a =4，

由圓的方程可知BF2= 2a=4，

我們通過(guò)觀察與分析可以發(fā)現(xiàn)，圖1巾暗含兩對(duì)等腰三角形△BF2A和△BEF1，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠BF1E=∠BAF2，從而得出EF1∥AF2，進(jìn)而求得點(diǎn)E的坐標(biāo).

例2.橢圓C：

的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.若點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸以外的任一點(diǎn)，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍.

解：在△PF1F2中，PM平分∠F1PF2，

由三角形內(nèi)角平分線定理得

又點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，

所以a-c<|PF1|

即

解得

解答本題，主要運(yùn)用三角形內(nèi)角平分線定理：若AABC中∠A的平分線為AD，則

.我們由PM平分∠F1PF2，得到三邊關(guān)系式，求得|PF1|，然后根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的范圍，求得m值.

二、利用與圓有關(guān)的性質(zhì)、定理求解

在解題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些與圓有關(guān)的問(wèn)題，此時(shí)我們可以利用與圓有關(guān)的性質(zhì)或定理，如直徑所對(duì)的角為直角、弦心距與半徑之間的關(guān)系、垂徑定理、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理等來(lái)解題.

例3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線L：y=2x在一象限內(nèi)的點(diǎn)，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線L交于另一點(diǎn)D，若

，求點(diǎn)A的橫坐標(biāo).

解：由AB-CD =0可得∠BAO=

，設(shè)直線L的傾斜角為θ，

則tan0=2且∠ABx=

故kAB=

則直線AB的方程為y=-l3x+15，

將其與直線L：y=2x聯(lián)立得x=3，

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

由于AB為圓的直徑，根據(jù)條件AB-CD：0以及圓的性質(zhì)：直徑所對(duì)的角為直角可知△ABD是等腰直角三角形，便能快速建立直線AB的傾斜角與直線2的傾斜角之間的關(guān)系：

，利用斜率公式即可求出直線AB的斜率和方程，聯(lián)立直線AB和直線L的方程便能求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo).

可見，運(yùn)用平面幾何知識(shí)來(lái)解答解析幾何問(wèn)題，能有效提升解題的效率.在解題時(shí)，我們首先要結(jié)合題意繪制對(duì)應(yīng)的圖形，然后根據(jù)曲線的幾何性質(zhì)添加輔助線，構(gòu)造圓、等腰三角形、平行四邊形、梯形等，利用與圓、等腰三角形、平行四邊形、梯形等的相關(guān)性質(zhì)、定理來(lái)解題.

（作者單位：江蘇省沭陽(yáng)縣建陵高級(jí)中學(xué)）