構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

蔡飛

構(gòu)造法是高中數(shù)學(xué)常用的解題方法之一，是指根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題獲解的一種方法.運(yùn)用構(gòu)造法解題能有效降低學(xué)生理解問(wèn)題的難度，提高解題的效率.運(yùn)用此方法解題的關(guān)鍵是：（l）要有明確的方向，即為達(dá)到什么目的而構(gòu)造;（2）要弄清條件的本質(zhì)、特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行組合、構(gòu)造.在解題時(shí)，學(xué)生可根據(jù)題意構(gòu)造合適的函數(shù)式、圖形、數(shù)列、方程、不等式等模型.

例1.設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，且

有解，則x+y=（ ）.

解析：很多學(xué)生對(duì)三次方程并不了解，采用常規(guī)的方法解題較為困難，并且耗時(shí)較長(zhǎng).仔細(xì)觀察兩個(gè)方程，會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)相似，可嘗試運(yùn)用構(gòu)造法解答，即構(gòu)造函數(shù)f（t） =t3+ 1997t，分析f（t）=1和f（t）=-1時(shí)t的取值即可求得x +y的值.

解：設(shè)f（t）= t3+ 1997t，

f（-t）= （-t）3+ 1997（-t）= -（t3+ 1997t）=-f（t），

則f（t）為奇函數(shù)，

又f（x - 1）=1，所以f（l-x）=-1，

而f（y - l）=-l，所以f（l -x） =f（y -1）.

所以x-1=l-y，故x+y=2.

例2.奇函數(shù)f（x）定義在R上，且它的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），當(dāng)x<0時(shí)，f（x）符合2f（x）+xf'（x）

解析：由2f（x）+xf'（x）= X2f（x）可想到構(gòu)造函數(shù)g（x）= X2f（X），然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)便可獲得最終的結(jié)果.

解：設(shè)g（x） =X2f（X）

數(shù)列{an+1）是公比為2，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得（an+l= 2.2n-l=2n，

（an=2n-1.

例4.若o≤x≤4，求

的最小值.

解析：該式中含有兩個(gè)根式，我們采用常規(guī)方法很難得解，需要另辟蹊徑，深入挖掘兩個(gè)根式的幾何意義：由兩定點(diǎn)之間的距離，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，采用構(gòu)造法解題.

解：如圖所示，設(shè)AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，令A(yù)C=1，BD=2，P是AB中任意一點(diǎn)，設(shè)AP=x，則PC=

，PD=

，此時(shí)上述問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楫?dāng)P在何處時(shí)，PC+PD取最小值.

作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'D與AB相交于點(diǎn)P，此時(shí)△PAC’與△PBD是相似三角形，則

，解得x=

，此時(shí)PC+ PD=5，所以

的最小值為5.

由此可見(jiàn)，運(yùn)用構(gòu)造法解題不僅可以拓寬解題的思路，還能提升解題的效率.在運(yùn)用構(gòu)造法解題時(shí)，需要將已知條件與所求目標(biāo)關(guān)聯(lián)起來(lái)，積極展開(kāi)聯(lián)想，靈活運(yùn)用發(fā)散思維，方能尋找到合理的數(shù)學(xué)模型.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)）