求數(shù)列通項(xiàng)公式的兩個(gè)技巧

李俊

在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些不能直接利用公式來求解的數(shù)列通項(xiàng)公式問題.這類問題的題型變化多樣，解題的思路也有很多種.同學(xué)們想要快速解答這類問題，就要熟練掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的一些常用方法.這里給大家介紹兩種常用的方法：累加法和累乘法.

一、累加

有些問題中會(huì)出現(xiàn)形如an+1-an=f（n）或an-an-1=f（n）的遞推式，此時(shí)我們可以采用累加法來求數(shù)列的通項(xiàng)公式.在解題時(shí)，需將n =1，2，3，…，n時(shí)的式子一一羅列，然后累加，通過化簡便可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例1.已知數(shù)列{an}滿足2an+1=2an+3n+l，且a1=l，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：由題意可得，

所以

將上述式子相加可得：

整理得：

解答本題主要運(yùn)用了累加法，將n-1個(gè)式子累加，便將問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列和問題，只需運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算，就可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.在解題時(shí)，同學(xué)們要注意關(guān)注首尾兩項(xiàng)與n之間的關(guān)系.

二、累乘

累乘法適用于解答遞推式形如

或

問題.在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，我們同樣需將n=1，2，3，…，n時(shí)的式子一一羅列，然后累乘，將左邊的式子與左邊的式子相乘，右邊的式子與右邊的式子相乘，通過化簡就能求得an的表達(dá)式.同學(xué)們要注意先確定好首項(xiàng)，這樣才能確保得到正確的結(jié)果.

例2.若數(shù)列{an}滿足

且a1=l，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：由題意可得

將上述式子累乘可得

本題較為簡單，我們直接列出n-1個(gè)式子，將它們累乘，便可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.因?yàn)檫f推式中含有an+l，所以這里只能將n-1個(gè)式子累乘.

例3.已知數(shù)列{an}中，a1=l，an+1=2nan，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.

解：由題意可得，

則

將上述式子累乘可得an=

所以an=

在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，若 ，且f （n）的前n項(xiàng)積可求，可以直接利用累乘法求解.

這兩種方法及其解題過程都較為相似，區(qū)別在于一種是通過累加，另外一種是通過累乘來求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.在解題時(shí)，同學(xué)們要注意觀察數(shù)列的遞推式，形成合理變形，構(gòu)造an-an-1=f（n）或

的形式，然后運(yùn)用累加或者累乘法進(jìn)行求解.

（作者單位：云南省紅河州第一中學(xué)）