2020年高考全國Ⅲ卷理科第20題的解答與拓展

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué) 528315)

一、題目呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ，求△APQ的面積.

由于問題(1)較為簡單，本文不作討論，下面對問題(2)進(jìn)行解答與探究拓展.

二、解法探究

分析由已知可得點(diǎn)B是定點(diǎn)，可考慮設(shè)P(x0,y0)，Q(6,n)，通過參數(shù)將題目的條件進(jìn)行翻譯與轉(zhuǎn)化.

分析由題意，點(diǎn)P由直線BP與橢圓C確定，點(diǎn)Q由直線BQ與直線x=6確定，結(jié)合已知條件，利用直線BP的斜率k作為參數(shù)將題目的條件進(jìn)行翻譯與轉(zhuǎn)化.

整理,得(1+16k2)x2-160k2x+(400k2-25)=0.

以下同解法1.

分析由條件|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，可知由點(diǎn)P的坐標(biāo)可以確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)，反之亦然.由于點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為6，故可用點(diǎn)Q的坐標(biāo)來確定點(diǎn)P的坐標(biāo).仍然用斜率作為參數(shù)將題目的條件進(jìn)行翻譯與轉(zhuǎn)化.

以下同解法1.

分析由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P,Q在x軸上方.如圖1，過點(diǎn)P作x軸垂線，垂足為點(diǎn)M，設(shè)x=6與x軸交于點(diǎn)N，由△PMB≌△BNQ，可求得點(diǎn)P坐標(biāo)以及直線AQ的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式，即可求得C的面積.

解法4(平面幾何角度)由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P,Q在x軸上方.因?yàn)辄c(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，過點(diǎn)P作x軸垂線，垂足為點(diǎn)M，設(shè)x=6與x軸交于點(diǎn)N，如圖1.

由于|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB=∠QNB=90°，又因∠PBM+∠QBN=90°，∠BQN+∠QBN=90°，故∠PBM=∠BQN，所以△PMB≌△BNQ.

所以|PM|=|BN|=6-5=1.

①當(dāng)點(diǎn)P為(3,1)時，故|MB|=5-3=2.

因?yàn)椤鱌MB≌△BNQ，所以|MB|=|NQ|=2，可得點(diǎn)Q為(6,2)，如圖2.

②當(dāng)點(diǎn)P為(-3，1)時，故|MB|=5+3=8.因?yàn)椤鱌MB≌△BNQ，所以|MB|=|NQ|=8,可得點(diǎn)Q為(6，8)，如圖3.

三、試題推廣

將考題一般化，可以得到如下結(jié)論：

證明由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P,Q在x軸上方,設(shè)P(xP,yP)，Q(k,yQ).因?yàn)辄c(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=k上，且|BP|=t|BQ|，BP⊥BQ，過點(diǎn)P作x軸垂線，垂足為點(diǎn)M，設(shè)x=k與x軸交于點(diǎn)N，如圖4.

由于|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB=∠QNB=90°，又因?yàn)椤螾BM+∠QBN=90°，∠BQN+∠QBN=90°，故∠PBM=∠BQN，所以△PMB∽△BNQ.

整理,得yQx-(k+a)y+yQa=0，

即yQ(x+a)-(k+a)y=0.

四、類比拓展

經(jīng)探究，在雙曲線中也有類似的結(jié)論：

學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題，對于一道優(yōu)秀的試題，應(yīng)該在獲得解答的基礎(chǔ)上，多角度展開嘗試與聯(lián)想，借助題目，探索隱藏在題目背后的奧秘，力求擴(kuò)大戰(zhàn)果.從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想是解析幾何中數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段，只有養(yǎng)成多思善想、舉一反三，鉆研到底的學(xué)習(xí)習(xí)慣，才能在學(xué)習(xí)中獲得無窮的樂趣，使思維得到發(fā)展.