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    突破概率統(tǒng)計 領(lǐng)略變式命題

    2021-11-24 09:40:38
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關(guān)鍵詞:中位數(shù)正態(tài)分布變式

    張 慶

    (江蘇省徐州市侯集高級中學(xué) 221300)

    變式教學(xué)是一種常見的教學(xué)手段,能夠凸顯問題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)問題的本源,并對所給問題進行深入思考和探索,在平時的復(fù)習(xí)之中,這種模式能夠舉一反三,做到會一題,通一類的目的,本文主要從概率統(tǒng)計的實際例題出發(fā),給出了相關(guān)變式.

    一、概率母題分析,緊扣例題延伸

    例1 (2021年八省聯(lián)考適應(yīng)性考試)某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果見表1所示.

    表1

    (1)已知此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ,210),μ近似為這1000人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表),請利用正態(tài)分布的知識求P(36

    (2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.

    (ⅰ)得分不低于μ的可以獲贈2次隨機話費,得分低于μ的可以獲贈1次隨機話費;

    (ⅱ)每次贈送的隨機話費和相應(yīng)的概率見表2.

    表2

    現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查,記X為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

    解析(1)由題意,得μ=(35×25+45×150+55×200+65×250+75×225+85×100+95×50)/1000=65.

    點評正態(tài)分布小題的考查主要集中在正態(tài)曲線的性質(zhì),大題主要結(jié)合概率或統(tǒng)計圖表進行綜合命題,難度中等.解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化,然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率,在此過程中依然會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想.

    變式1 若P(Z<30a+50)=P(Z>20a+30),求實數(shù)a的值.

    解析隨機變量Z服從正態(tài)分布N(65,210),P(Z<30a+50)=P(Z>20a+30),所以30a+50與20a+30關(guān)于x=65對稱,所以30a+50+20a+30=130,所以a=1.

    變式思路根據(jù)母題信息可知,Z服從正態(tài)分布N(65,210),再此基礎(chǔ)上可繼續(xù)延伸,從而設(shè)計出求實數(shù)的值.

    變式2 記Y表示這1000人的得分位于區(qū)間(36,79.5)的人數(shù).已知Y服從二項分布B(n,p),利用(1)的結(jié)果,求E(X).

    解析由(1)可知,一人的得分位于區(qū)間(36,79.5)的概率為0.8186,依題意知Y~B(1000,0.8186),所以E(Y)=1000×0.8186=818.6.

    變式思路在第(1)問的基礎(chǔ)上,設(shè)計不同的分布類型,巧妙設(shè)計二項分布問題.

    二、拓展例題模式,設(shè)計同類問題

    例2(2021年廣東潮州一模)某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評,該公司隨機調(diào)查了100顆芯片,并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為[9,10),[10,11),[11,12),[12,13),[13,14)五個小組(所調(diào)查的芯片得分均在[9,14)內(nèi)),得到如圖1所示的頻率分布直方圖,其中a-b=0.18.

    圖1

    (1)求這100顆芯片測評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替).

    (2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試,該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測.若3個工程手機的評分都達到11萬分,則認(rèn)定該芯片合格;若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分,則認(rèn)定該芯片不合格;若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分,則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測,二測時,2個工程手機的評分都達到11萬分,則認(rèn)定該芯片合格;2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分,手機公司將認(rèn)定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立,并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元,每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格,將不再進行后續(xù)測試,現(xiàn)手機公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費為10萬元,試問預(yù)算經(jīng)費是否足夠測試完這100顆芯片?請說明理由.

    (2)由題意可知,手機公司抽取一顆芯片置于一個工程機中進行檢測評分達到11萬分的概率p=1-0.05-0.25=0.7.設(shè)每顆芯片的測試費用為X元,則X的可能取值為600,900,1200,1500.

    點評概率與樣本分布作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體多與頻率分布直方圖或頻率分布直方表進行結(jié)合命題,常??疾槠骄鶖?shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的相關(guān)計算、正態(tài)分布、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,有時還會與函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容進行交匯考查,命題背景較為新穎.

    變式1 根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計這100顆芯片測評分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù));

    解析由頻率分布直方圖可估計這100顆芯片測評分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為20克,第一組數(shù)據(jù)的頻率為0.05×1=0.05,第二組數(shù)據(jù)的頻率為0.25×1=0.25,第三組數(shù)據(jù)的頻率為0.35×1=0.35,所以中位數(shù)在第三組內(nèi).設(shè)中位數(shù)為11+x,則x×0.35=0.5-0.05-0.25=0.2.所以x≈0.57.所以中位數(shù)為11.57,

    變式思路第(1)問設(shè)計出了求解中位數(shù)的內(nèi)容,因此可根據(jù)本題進行深入變式,對于同類的問題還有眾數(shù)和中位數(shù),因此可聯(lián)系到求解測評分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和中位數(shù).

    變式2從這100顆芯片中隨機抽取3個,其中測評分?jǐn)?shù)在[10,11]內(nèi)的芯片個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(以直方圖中的頻率作為概率).

    變式思路本題以芯片為背景,考查了離散型隨機變量的分布區(qū)列和數(shù)學(xué)期望,因此設(shè)想設(shè)計不同的概率統(tǒng)計分布,故此題設(shè)置了二項分布,考查了二項分布的分布列和數(shù)學(xué)期望.

    三、掌握變式方式,靈活運用教學(xué)

    變式練習(xí)的好處在于可以深入對問題進行探究,拓展知識層面,能夠較好地使學(xué)生形成概率統(tǒng)計思想和數(shù)據(jù)統(tǒng)計的核心素養(yǎng).在平時的教學(xué)中,若能夠通過變式的手段,將變式方案融匯到教學(xué)中,將會促進課堂的教學(xué)氛圍更加活躍.

    變式教學(xué)若充當(dāng)例題進行講解時,可以以題帶面,充分挖掘題目背景,設(shè)計本章節(jié)的不同類型的試題,這樣能夠?qū)栴}進行廣泛探索,讓學(xué)生學(xué)習(xí)舒適的同時更能夠掌握所學(xué)知識.

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