聚焦概率統(tǒng)計(jì)常考問題 感知高考命題變化趨勢

黃光洲

(福建省上杭縣第一中學(xué) 364200)

概率統(tǒng)計(jì)與實(shí)際生產(chǎn)生活高度關(guān)聯(lián)，在相關(guān)命題模式中，此類問題一般都會(huì)設(shè)計(jì)成以實(shí)際背景為命題素材的概率統(tǒng)計(jì)問題，每年此類試題的命制都有所創(chuàng)新，下面我們主要以2021年的高考試題為問題導(dǎo)向，對?？嫉拿}模式進(jìn)行歸納.

一、注重基本知識(shí)考查,檢測學(xué)生基本技能

例1 (2021年全國甲卷)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)見表1：

表1

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

表2

(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表，可得

≈10.256>6.635.

所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

點(diǎn)評獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵在于正確列出列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算公式正確計(jì)算，此類問題凸顯出了概率統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容，是當(dāng)下概率統(tǒng)計(jì)命題的主流方向.

二、緊扣時(shí)代背景素材,顯示數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值

例2 (2021年全國乙卷)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有( ).

A.60種 B.120種 C.240種 D.480種

點(diǎn)評以2022年北京冬奧會(huì)為背景，選取了熱點(diǎn)素材，緊跟時(shí)代背景，在檢查概率的基礎(chǔ)知識(shí)上，融入了新的熱點(diǎn)素材.

三、知識(shí)交匯融合，提升素養(yǎng)文化

例3 (2021年新高考Ⅱ卷21題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代.該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，p(X=i)=pi(i=0，1，2，3).

(1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=1，當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1；

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

解析(1)由題意，P0=0.4,P1=0.3,P2=0.2,P3=0.1,故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

(2)由題意可知，p0+p1+p2+p3=1,則E(X)=p1+2p2+3p3.

所以p0+p1x+p2x2+p3x3=x.

變形為p0-(1-p1)x+p2x2+p3x3=0.

故p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0.

即p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0.

即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p0]=0.

注意到f(0)=-p0<0,f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1,

當(dāng)E(x)≤1時(shí)，f(1)≤0,f(x)的正實(shí)根x0≥1，原方程的最小正實(shí)根p=1;

當(dāng)E(X)>1時(shí)，f(1)>0,f(x)的正實(shí)根x0<1,原方程的最小正實(shí)根p=x0<1.

(3)當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望小于等于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕；

當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望大于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能.

點(diǎn)評本題主要考查了概率與函數(shù)方程的綜合,考查離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,能夠較好地考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和創(chuàng)新意識(shí)，這類考題在近年來考查頻繁、難度一般較大.