關(guān)于魏爾斯特拉斯在數(shù)學(xué)分析中的兩個(gè)重要貢獻(xiàn)

高 義

(北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏銀川 750021)

0 引言

魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)是世界上著名的領(lǐng)軍數(shù)學(xué)家之一，由于在柯西(Cauchy，1789-1857)、阿貝爾(Abel，1802—1829)等開創(chuàng)的數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格化潮流中，以ε-δ語言系統(tǒng)建立了實(shí)分析和復(fù)分析的基礎(chǔ)，被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”[1].他在冪級數(shù)理論、實(shí)分析、復(fù)變函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、無窮乘積、變分學(xué)、雙線型與二次型、整函數(shù)、橢圓函數(shù)論等諸多領(lǐng)域中做出了偉大的貢獻(xiàn).在大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》教材中，魏爾斯特拉斯的名字多次出現(xiàn)，令人印象深刻，如魏爾斯特拉斯致密性定理，即有界數(shù)列必有收斂子列；關(guān)于函數(shù)一致收斂的魏爾斯特拉斯判別方法；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理；處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的例子；魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理等.魏爾斯特拉斯值得世人無比敬仰的另一個(gè)原因是他的鍥而不舍的精神，他40歲之前無人知曉，從大學(xué)畢業(yè)就在鄉(xiāng)村中學(xué)教書，只是一個(gè)默默無聞的中學(xué)老師，盡管教學(xué)任務(wù)多么繁重，條件多么艱苦，他從沒有放棄對數(shù)學(xué)的研究，其數(shù)學(xué)成果終于在他40歲之后獲得世人的矚目[2].魏爾斯特拉斯不僅在數(shù)學(xué)研究上做出了影響深遠(yuǎn)的工作，而且在教學(xué)上也成績斐然，并培養(yǎng)了大批的著名數(shù)學(xué)家，如耳熟能詳?shù)目峦吡蟹蛩箍▼I(Kovalevskaya，1850-1891)、閔可夫斯基(Minkowski，1864-1909)、斯托爾茨(Stolz，1842-1905)、施瓦茨(Schwarz，1843-1921)、赫爾德(H?lder，1859-1937)、米塔-列夫勒(Mittag-Leffler，1846-1927)等[1-3].

魏爾斯特拉斯構(gòu)造的處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)[3,4]無疑顛覆了人們對函數(shù)的認(rèn)識觀，直到現(xiàn)在對于很多不從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和研究的人也感到不可思議.魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理[5,6]更是奠定了逼近論的基礎(chǔ)，其意義超越了連續(xù)函數(shù)可以由多項(xiàng)式函數(shù)逼近的這一重要發(fā)現(xiàn)的本身，使人們進(jìn)一步認(rèn)識到可以通過簡單的可計(jì)算函數(shù)逼近或表征復(fù)雜的函數(shù).然而，對于這兩個(gè)非常重要的工作，由于證明稍有難度和教材篇幅的限制，國內(nèi)鮮有教材在大學(xué)本科階段對其進(jìn)行詳盡的介紹和證明.若不稍加引導(dǎo)的話，學(xué)生對這兩個(gè)工作往往不能夠引起足夠的重視.事實(shí)上，這兩個(gè)工作對于具有一定數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的同學(xué)是不難理解的.本文主要介紹魏爾斯特拉斯在數(shù)學(xué)分析中的這兩個(gè)重要工作.首先，對魏爾斯特拉斯構(gòu)造的第一個(gè)處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)給出了文獻(xiàn)[4]中的證明方法；其次介紹魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理，給出魏爾斯特拉斯第二逼近定理的一種構(gòu)造性證明方法，進(jìn)而借助文獻(xiàn)[6]的方法闡明了魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理的等價(jià)關(guān)系.論文對了解魏爾斯特拉斯在分析學(xué)上的貢獻(xiàn)有一定借鑒意義，同時(shí)對逼近論初學(xué)者有一定參考價(jià)值.

1 處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)

在微積分誕生初期乃至誕生后的兩個(gè)世紀(jì)里，人們曾直觀地認(rèn)為連續(xù)函數(shù)在其定義域中不可導(dǎo)的點(diǎn)至多是可數(shù)集，很難想象處處連續(xù)處處不可導(dǎo)函數(shù)的存在性.然而，直到1872年，魏爾斯特拉斯構(gòu)造出了一個(gè)處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)，才徹底改變了人們對連續(xù)函數(shù)的認(rèn)識，引起了數(shù)學(xué)界的極大震動[3,4].此后，大量的處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)被構(gòu)造出來，稱之為魏爾斯特拉斯函數(shù).進(jìn)一步，人們從集合的觀點(diǎn)分析，魏爾斯特拉斯函數(shù)所構(gòu)成的集合是第二綱集[7-9]，這意味著這樣的函數(shù)不僅存在而且有很多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于我們常見的初等函數(shù)，對這些函數(shù)的性質(zhì)特別是幾何意義的研究也直接推動了分形幾何的創(chuàng)立[10-12].另外，魏爾斯特拉斯函數(shù)也廣泛應(yīng)用于隨機(jī)過程的研究，如對布朗運(yùn)動軌跡的刻畫.本節(jié)主要介紹歷史上第一個(gè)被發(fā)表的魏爾斯特拉斯函數(shù)，并給出文獻(xiàn)[4]中對該函數(shù)處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的證明方法.

1.1 魏爾斯特拉斯函數(shù)

1872年，魏爾斯特拉斯構(gòu)造出如下的函數(shù)[3,4,7,13]:

(1)

1.2 魏爾斯特拉斯函數(shù)性質(zhì)的證明

定理1.1函數(shù)(1.1)在實(shí)軸上處處連續(xù)處處不可導(dǎo).

證明：這里的證明主要基于文獻(xiàn)[4]的方法.由于

|bncosanπx|≤bn

固定x∈(-∞,+∞)，對每個(gè)正整數(shù)m，令αm是一個(gè)最接近amx的整數(shù)，并且令

xm=amx-αm

(2)

(3)

(4)

因此，有

ym

考慮

(5)

首先估計(jì)第一項(xiàng)I，對于n=0,1,…,m-1，利用微分中值定理，得

(6)

其次，估計(jì)第二項(xiàng)J.因?yàn)閍是一個(gè)正奇整數(shù)，αm是一個(gè)整數(shù)，則有

cos(an+mymπ)=cos(anπ(αm-1))=(-1)αm-1

(7)

(-1)αmcos(amxπ)+1=(-1)αmcos((xm+αm)π)+1=cos(xmπ)+1≥1.

這樣，

(8)

因此

(9)

即

|I|<|J|

(10)

結(jié)合式(6)和(9)，則有

其中β>0.因此

由x∈(-∞,+∞)的任意性，知f(x)在(-∞,+∞)處處不可導(dǎo).

注1.1 最新的文獻(xiàn)[14]給出了上面類似的證明.

注1.2 文獻(xiàn)[3,15-17]討論的是關(guān)于荷蘭數(shù)學(xué)家Van der Waerden于1930年給出的處處連續(xù)處處不可導(dǎo)函數(shù)的例子的證明，該函數(shù)寫為:

(11)

2 魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理

設(shè)C[a,b]表示閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)全體，C2π表示以2π為周期的連續(xù)函數(shù)全體.1885年，魏爾斯特拉斯首先指出用多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)是可能的，后人稱之為Weierstrass逼近定理.

定理2.1[6]若f(x)∈C[a,b]，則對于任意給定的正數(shù)ε，都存在代數(shù)多項(xiàng)式p(x)，使得對于一切x∈[a,b]，滿足不等式

|f(x)-p(x)|<ε

(12)

定理2.2[6]若f(x)∈C2π，則對于任意給定的正數(shù)ε，都存在三角多項(xiàng)式t(x)，使得對于一切x∈(-∞,+∞)，滿足不等式

|f(x)-t(x)|<ε

(13)

定理2.1被稱為魏爾斯特拉斯第一逼近定理，定理2.2被稱為魏爾斯特拉斯第二逼近定理，這兩個(gè)定理在數(shù)學(xué)分析中具有非常重要的地位，著名逼近論專家A.F.Timan對魏爾斯特拉斯逼近定理曾這樣評價(jià)[4]:

The basis of the theory of approximation of functions of a real variable is a theorem discovered by Weierstrass which is of great importance in the development of the whole of mathematical analysis.

關(guān)于定理2.1和定理2.2的證明有很多文獻(xiàn)專門討論過，一般利用分析法和構(gòu)造法去證明，經(jīng)典的構(gòu)造法如借助伯恩斯坦(Bernstein)多項(xiàng)式證明定理2.1，借助費(fèi)耶(Fejér)和證明定理2.2，我們將結(jié)果寫作如下.

定義2.1[5]若f(x)∈C[0,1]，稱多項(xiàng)式

(14)

為f(x)的n次Bernstein多項(xiàng)式或Bernstein算子.

定理2.3[5]若f(x)∈C[0,1]，則Bernstein算子Bn(f;x)在[0,1]上一致收斂于f(x).

關(guān)于定理2.2的證明，有如下的構(gòu)造方法.

定義2.2[19]若f(x)∈C2π，稱積分

(15)

為Fejér和或Fejér算子.

定理2.4[19]若f(x)∈C2π，則Fejér算子σn(f;x)在全實(shí)軸上一致收斂于f(x).

本節(jié)主要在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，借助瓦勒·布然(Vallée Poussin)算子對定理2.2給出另一種構(gòu)造性證明.同時(shí)，討論了定理2.1和定理2.2之間的等價(jià)性.

2.1 定理2.2的證明

首先，我們引進(jìn)Vallée Poussin算子.

定義2.3[5,6]若f(x)∈C2π，稱積分

(16)

為Vallée Poussin算子.

顯然，該算子為C2π到其自身的正線性算子，關(guān)于正線性算子的定義參見文獻(xiàn)[6].利用變量代換，算子Vn(f;x)亦可寫為:

(17)

注意到

(18)

則不難得到關(guān)于Vn(f;x)的如下性質(zhì).

引理2.1 設(shè)Vn(f;x)為Vallée Poussin算子，則

(1)Vn(1;x)=1；

(19)

(20)

(21)

為證明定理2.2，還需要引進(jìn)柯羅夫金(Korovkin)定理.

定理2.5[20]設(shè)Ln(f;x)是C2π上的正線性算子序列，下列三條件滿足：

Ln(1;x)=1+αn(x)，Ln(cost;x)=cosx+βn(x)，Ln(sint;x)=sinx+γn(x)，

其中αn(x),βn(x),γn(x)在全實(shí)軸上一致收斂于零，那么對于任一f(x)∈C2π，Ln(f;x)在全實(shí)軸上也一致收斂于f(x).

定理2.6 若f(x)∈C2π，則Vallée Poussin算子Vn(f;x)在全實(shí)軸上一致收斂于f(x).

證明：由引理2.1知，Vn(1;x)，Vn(cost;x)，Vn(sint;x)在全實(shí)軸上分別一致收斂于1，cosx，sinx，于是由Korovkin定理知Vn(f;x)在全實(shí)軸上也一致收斂于f(x).

注2.1Vallée Poussin算子可以充當(dāng)定理2.2所要求的三角多項(xiàng)式.

2.2 定理2.1和定理2.2的等價(jià)性

一個(gè)自然的問題是，定理2.1和定理2.2有什么本質(zhì)的聯(lián)系？事實(shí)上，二者是等價(jià)的，等價(jià)性的證明參見文獻(xiàn)[5,6].

定理2.7 魏爾斯特拉斯第一和第二逼近定理是等價(jià)的.

證明：這里的證明主要基于文獻(xiàn)[6]的方法.首先說明由定理2.1可以推出定理2.2.設(shè)f(x)∈C2π是個(gè)偶函數(shù)，則g(t)=f(arccost)是[-1,1]上的連續(xù)函數(shù)，此處arccost取主值.對任意給定的ε>0，由定理2.1，存在多項(xiàng)式p(t)滿足

|g(t)-p(t)|<ε，t∈[-1,1]

于是

|f(x)-p(cosx)|<ε，x∈[0,π]

由于f(x)與p(cosx)都是周期為2π的偶函數(shù)，所以上式在整個(gè)實(shí)軸上成立，而且p(cosx)是一個(gè)三角多項(xiàng)式，這說明定理2.2對偶函數(shù)成立.

對于一般的情形，令

h1(x)=f(x)+f(-x)，h2(x)=(f(x)-f(-x))sinx

(22)

容易看出h1(x)與h2(x)都是周期為2π的偶函數(shù).根據(jù)已經(jīng)證明的部分，對任意給定的ε>0，有三角多項(xiàng)式t1(x)與t2(x)，使得對于一切x∈(-∞,+∞)，適合

|hi(x)-ti(x)|<ε，i=1,2

所以

|h1(x)sin2x-t1(x)sin2x|<ε

(23)

|h2(x)sinx-t2(x)sinx|<ε

(24)

于是，有

|2f(x)sin2x-t3(x)|<2ε

(25)

(26)

因?yàn)樯鲜绞窃谌珜?shí)軸上成立，所以

(27)

結(jié)合式(25)和(27)，有

(28)

|f(x)-t(x)|<ε

成立.

其次，證明由定理2.2可以推出定理2.1.設(shè)f∈C[-1,1]，則f(cost)是周期為2π的連續(xù)函數(shù)，由定理2.2，存在三角多項(xiàng)式T(x)使得

|f(cost)-T(t)|<ε， -∞

以-t代換變量t，有

|f(cost)-T(-t)|<ε

于是有

(29)

于是

(30)

即有

(31)

最后，說明在一般的閉區(qū)間[a,b]上定理2.1也成立.這里，只要利用一個(gè)變換即可:

這樣，若f(t)∈C[-1,1]，則f(x)∈C[a,b].

3 結(jié)論

本文主要討論了魏爾斯特拉斯在數(shù)學(xué)分析中的兩個(gè)偉大貢獻(xiàn)，一個(gè)是關(guān)于處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的構(gòu)造，另一個(gè)是魏爾斯特拉斯基本逼近定理.論文對逼近論初學(xué)者有一定參考價(jià)值.