上半凹函數(shù)和下半凸函數(shù)的一階粘性導(dǎo)數(shù)的存在性

汪元倫，胡小平，任秋道

(綿陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川綿陽(yáng) 621000)

0 引言

凹凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，凹凸函數(shù)及其推廣的擬凹、擬凸函數(shù)已被廣泛應(yīng)用到最優(yōu)化、不動(dòng)點(diǎn)等許多領(lǐng)域，特別是在不可微最優(yōu)化的研究中，凹凸函數(shù)是作為最重要的不可微函數(shù)類進(jìn)行研究的[1].文[1]中討論了擬凹、嚴(yán)格擬凹和強(qiáng)擬凹函數(shù)的特征和性質(zhì).在此基礎(chǔ)上針對(duì)幾乎處處可微的函數(shù)，弱化了常規(guī)的凹函數(shù)和凸函數(shù)概念，給出了上半凹函數(shù)和下半凸函數(shù)的概念.粘性上(下)導(dǎo)數(shù)來源于從八十年代初建立起來的偏微分方程粘性解理論.然后討論了上半凹函數(shù)、下半凸函數(shù)和一階粘性上(下)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

1 相關(guān)定義

設(shè)u(x):Ω→R,x0∈Ω?Rn,u(x)在Ω上是幾乎處處可微的.

定義1 設(shè)函數(shù)u(x)是幾乎處處可微的，若?λ>0，?α>0使得u(x)-λ|x|α+1是凹函數(shù)，就稱函數(shù)u(x)是上半凹函數(shù).

定義2 設(shè)函數(shù)u(x)是幾乎處處可微的，若?λ>0，?α>0使得u(x)+λ|x|α+1是凸函數(shù)，就稱函數(shù)u(x)是下半凸函數(shù).

定義3[2]集合J+u(x0)={p∈Rn:u(x)≤u(x0)+p·(x-x0)+o(|x-x0|)}稱為函.

定義4[2]集合J-u(x0)={q∈Rn:u(x)≥u(x0)+q·(x-x0)+o(|x-x0|)}稱為函

數(shù)u(x)在點(diǎn)x0的一階下導(dǎo)集，其中的元素稱為一階下導(dǎo)數(shù).

2 兩個(gè)相關(guān)結(jié)論

命題1 如果u(x)是上半凹函數(shù)，D表示一階導(dǎo)數(shù)，則?x0∈Ω,使得.

p∈J+u(x0)={Du(x0)}，p=Du(x0)

證明因?yàn)閡(x)是上半凹函數(shù)，那么?λ>0，?α>0使得u(x)-λ|x|α+1是凹函數(shù)，由u(x)是幾乎處處可微的可知，取xn→x0，注意到{Du(xn)}有界，取{Du(xn)}的任意收斂子列，仍記為{Du(xn)}，Du(xn)→p(n→∞).由u(x)-λ|x|α+1是凹函數(shù)可知，在點(diǎn)列xn上有

u(x)-λ|x|α+1≤u(xn)-λ|xn|α+1+D(u(xn)-λ|xn|α+1)·(x-xn)

即

故

u(x)≤u(xn)+Du(xn)·(x-xn)+λ|x-xn|α+1

令n→∞，有

u(x)≤u(x0)+p·(x-x0)+λ|x-x0|α+1，

即

u(x)≤u(x0)+p·(x-x0)+o(|x-x0|)，

其中o(|x-x0|)是|x-x0|的高階無(wú)窮小.

所以

p∈J+u(x0)={Du(x0)}，p=Du(x0)

故命題1得證.

命題2如果u(x)是下半凸函數(shù)，D表示一階導(dǎo)數(shù)，則存在x0∈Ω，使得

q∈J-u(x0)={Du(x0)}，q=Du(x0)

證明因?yàn)閡(x)是下半凸函數(shù)，那么?μ>0，?α>0,使得u(x)+μ|x|α+1是凸函數(shù)，由u(x)是幾乎處處可微的可知，取xn→x0，注意到{Du(xn)}有界，取{Du(xn)}的任意收斂子列，仍記為{Du(xn)}，Du(xn)→q(n→∞).由u(x)+μ|x|α+1是凸函數(shù)可知，在點(diǎn)列xn上有

u(x)+μ|x|α+1≥u(xn)+μ|xn|α+1+D(u(xn)+μ|xn|α+1)·(x-xn)

即

故

u(x)≥u(xn)+Du(xn)·(x-xn)+μ|x-xn|α+1

令n→∞，有

u(x)≥u(x0)+q·(x-x0)+μ|x-x0|α+1

即

u(x)≥u(x0)+q·(x-x0)+o(|x-x0|)

其中o(|x-x0|)是|x-x0|的高階無(wú)窮小.

所以

q∈J-u(x0)={Du(x0)}，q=Du(x0)

故命題2得證.