四類排列組合問(wèn)題及其解法

陳憶新

排列組合問(wèn)題在各類考試中常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn).此類型問(wèn)題的題型多變，解法一般較為靈活，因而很多同學(xué)在解答此類問(wèn)題時(shí)往往難以得到正確的答案.筆者總結(jié)了以下四類常見的排列組合問(wèn)題，并深入探討了其解法，以期能為同學(xué)們的解題提供一些幫助.

一、相鄰問(wèn)題

有些題目要求幾個(gè)元素相鄰，此類問(wèn)題稱為相鄰問(wèn)題.在解答這類問(wèn)題時(shí)，我們可以將這幾個(gè)要求相鄰的元素捆綁起來(lái)看作一個(gè)整體，當(dāng)成一個(gè)“大元素”進(jìn)行排列.在排順序時(shí)，可先排“大元素”外部元素的順序，然后再排“大元素”內(nèi)部元素的順序，最后運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理求出最后的結(jié)果即可.

例1.某小區(qū)有排成一排的7個(gè)車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為（ ）.

A.16 B.18 C.24 D.32

題目只要求剩余的4個(gè)車位連在一起，對(duì)剩余的4個(gè)車位的排列順序沒(méi)有要求，所以我們只需將剩余的4個(gè)車位捆綁在一起，與其他元素一起排列即可.

二、不相鄰問(wèn)題

所謂不相鄰問(wèn)題，就是要求幾個(gè)元素不能排在一起的問(wèn)題，我們可以運(yùn)用插空法來(lái)解題，首先將沒(méi)有要求的元素先安排好，再將要求不相鄰的元素插入已排好的元素的空隙中和首尾兩端，最后運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理求解即可.

例2.某學(xué)校為了慶祝元旦，安排了2個(gè)朗誦節(jié)目、3個(gè)小品、3個(gè)歌唱類節(jié)目，要求歌唱類節(jié)目不排在最前面，并且任何2個(gè)歌唱節(jié)目不排在一起，那么有幾種不同的排法？

解答不相鄰問(wèn)題的關(guān)鍵是區(qū)分有相鄰要求和沒(méi)有相鄰要求的元素，并找出沒(méi)有相鄰要求的元素之間的空隙的個(gè)數(shù).

三、分排問(wèn)題

所謂分排問(wèn)題是指要求將元素分成幾排進(jìn)行排列的問(wèn)題.解答此類問(wèn)題，我們一般用直排法.若把 n 個(gè)元素分成 m 排進(jìn)行排列，可以將前一排的最后一個(gè)元素和后一排的第一個(gè)元素連接起來(lái)，當(dāng)作所有元素排成一排或者一列的問(wèn)題來(lái)處理，有種排法.

例3.小紅一家8口人，其中4位男性、4位女性.應(yīng)攝影師要求站成兩排拍全家福，每排 4 人，并且2位個(gè)子矮的女性站在前排，另外2位女性站在后排，請(qǐng)問(wèn)一共有多少種排法？

解析：可先讓小紅家的8口人站成一列，然后優(yōu)先安排特殊元素：4 位女性.在前排的四個(gè)位置中安排 2位個(gè)子矮的女性，有種排法，再將另外2位女性安排在后排的四個(gè)位置中，有種排法.剩下的4位男性有種排法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得一共有種排法.

在解答分排問(wèn)題時(shí)，若遇到有特殊要求的元素，需優(yōu)先處理這些元素，然后將所有的元素看成排成一排或一列來(lái)進(jìn)行排列，最后依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理將所有排法數(shù)相乘就可得到正確的答案.

四、定序問(wèn)題

所謂定序問(wèn)題就是指要求某些元素要保持固定的順序進(jìn)行排列的問(wèn)題.對(duì)于此類問(wèn)題，我們可以使用消序法來(lái)解答，即根據(jù)題目的不同要求，先將所有元素進(jìn)行全排列，然后求有固定順序的排列情況的數(shù)目，就可得到我們所需的答案.

例 4.小馬、小紅、小于、小楊、小李 5 個(gè)人站成一列，要求小紅必須站在小馬的后面，請(qǐng)問(wèn)有多少種不同的排法？

解析：小紅站在小馬的后面和小紅站在小馬的前面的排列數(shù)目相等，因此可先將5人進(jìn)行全排列，有種排法，但符合題意的排法只有一半，即有種排法.綜上所述，小紅必須站在小馬的后面的排法一共有 60 種.

排列組合問(wèn)題中的元素較多，且要求各不相同，對(duì)同學(xué)們的邏輯思維能力要求較高，但是解答此類問(wèn)題也是有法可循的.在解題時(shí)，我們只要先分析題目中對(duì)元素的要求，如相鄰、不相鄰、分排、定序等，然后選擇與之相應(yīng)的方法，如捆綁法、插空法、直排法、消序法，就能順利解題.

（作者單位：福建省泉州第十七中學(xué)）