序列(12+Q)(22+Q)…(n2+Q)中的完全平方數(shù)

張慶杰，牛傳擇

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

定理1存在某個(gè)與Q相關(guān)的正整數(shù)NQ，使得當(dāng)n≥NQ時(shí)，Sn不是完全平方數(shù)。

顯然，在得到NQ的值后，對(duì)n

1 主要引理和命題

Sn的完全平方性與其素因子的次數(shù)相關(guān)，在本節(jié)中，我們從Sn的素因子入手，給出相關(guān)引理和命題。

引理1設(shè)Q<3n2，若有理素?cái)?shù)p滿足p2|Sn，則p<2n。

證由于p2|Sn，存在以下兩種可能：

(2) 若p|k2+Q且p|j2+Q，其中1

(1)

(2)

易知，Sn>(n!)2，故有

(3)

引理3[14]若a為奇數(shù)且e∈*，則x2≡a(mod2e)有N個(gè)解，其中

(4)

證考慮同余方程

x2≡-Q(mod2j)。

(5)

(1)Q為奇數(shù)。由引理3，當(dāng)j=1時(shí)，(5)僅有一解；當(dāng)j=2及-Q≡1(mod4)時(shí)，(5)恰有2解；當(dāng)j≥3及-Q≡1(mod8)，(5)恰有4解；其它情況下，(5)無(wú)解。故由(1)可得

t2≡-Q1(mod2j-s)。

(6)

≤B(n,Q)。

命題得證。

x2≡-qeQq(modqj)。

(7)

因此，

命題得證。

2 定理的證明

在本節(jié)中，我們利用上述引理和命題，給出定理1的證明。

由(3)可得

(8)

結(jié)合引理4，由(8)得

(9)

由(4)知當(dāng)p>n時(shí)，αp≤2，所以根據(jù)引理5及(9)，可得

(10)

又由(2)得

所以

(11)

因此，當(dāng)n>1時(shí)，由(10)、(11)與引理6得

由命題1及命題2，當(dāng)Q為奇數(shù)，即s=0時(shí)，

(12)

當(dāng)Q為偶數(shù)，即s>0時(shí)，

(13)

當(dāng)n→∞時(shí)，(12)、(13)右端的極限分別為

(14)

(15)

3 Sn的完全平方性

在本節(jié)中，我們以Q=2,5為例，給出確定Sn完全平方性的方法。

接下來(lái)，討論n<2818163的情況。顯然，S1=3，S2=2×32，S8=24×39×112×17×19均不是完全平方數(shù)。

(1)a3=32+2=11，若ord11(Sn)≥2，則n≥11-3=8，易知Sn中第二次出現(xiàn)素因子11的項(xiàng)為a8，故當(dāng)3≤n≤7時(shí)，Sn不是完全平方數(shù)。

(2)a9=92+2=83, 若ord83(Sn)≥2，則n≥83-9=74，易知a74第二次出現(xiàn)素因子83，故當(dāng)9≤n≤73時(shí)，Sn不是完全平方數(shù)。

(3)a57=572+2=3251, 若ord3251(Sn)≥2，則n≥3251-57=3194，易知a3194第二次出現(xiàn)素因子3251，故當(dāng)57≤n≤3193時(shí)，Sn不是完全平方數(shù)。

(4)a1683=16832+2=2832491, 若ord2832491(Sn)≥2，則n≥2832491-1683=2830808，易知a2830808第二次出現(xiàn)素因子2832491，故當(dāng)1683≤n≤2830807時(shí)，Sn不是完全平方數(shù)。

綜上，Sn均不是完全平方數(shù)。

接下來(lái)，討論n<13553819的情況。顯然，S4=22×34×72為完全平方數(shù)，而S1=2×3，S2=2×33,S3=22×33×7，S5=23×35×5×72不是完全平方數(shù)。

(1)a6=62+5=41，若ord41(Sn)≥2，則n≥41-6=35，易知a35第二次出現(xiàn)素因子41，故當(dāng)6≤n≤34時(shí)，Sn不是完全平方數(shù)。

(2)a12=122+5=149, 若ord149(Sn)≥2，則n≥149-12=137，易知a137第二次出現(xiàn)素因子149，故當(dāng)12≤n≤136時(shí)，Sn不是完全平方數(shù)。

(3)a126=1262+5=15881, 若ord15881(Sn)≥2，則n≥15881-126=15755，易知a15755第二次出現(xiàn)素因子15881，故當(dāng)126≤n≤15754時(shí)，Sn不是完全平方數(shù)。

(4)a3744=37442+5=14017541, 若ord14017541(Sn)≥2，則n≥14017541-3744=14013797，易知a14013797第二次出現(xiàn)素因子14017541，故當(dāng)3744≤n≤14013796時(shí)，Sn不是完全平方數(shù)。

綜上，Sn為完全平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=4。

類似地，對(duì)于任意給定的正整數(shù)Q，均可確定Sn的完全平方性。利用以上方法，確定1≤Q≤100時(shí)Sn的完全平方性如下：若Q∈{1,11,23}，則Sn為完全平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=3；若Q∈{3,8,15,24,35,48,63,80,99}，則Sn為完全平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=1；若Q=5，則Sn為完全平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=4；若Q∈{x|1≤x≤100且x∈}{1,3,5,8,11,15,23,24,35,48,63,80,99}，則Sn均不是完全平方數(shù)。

我們猜想：當(dāng)Q≥24時(shí)，Sn是完全平方數(shù)的充要條件為Q+1為平方數(shù)且n=1。

4 結(jié)論

本文就Sn是否為完全平方數(shù)進(jìn)行了研究，將Cilleruelo[2]討論的Q=1和陳紅[6]討論的Q=23推廣至一般的正整數(shù)Q。首先利用反證法證明了定理1這個(gè)一般性結(jié)論，接下來(lái)以Q=2,5為例給出了確定Sn完全平方性的方法，利用此方法，對(duì)于任意給定的正整數(shù)Q，Sn的完全平方性均可確定。