微積分在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活中的應(yīng)用

朱愛軍

【摘要】抽象性是大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的主要特點(diǎn)，因此微積分教學(xué)也存在同樣的問(wèn)題.數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模型很難認(rèn)知和理解，將學(xué)習(xí)理論和實(shí)際相聯(lián)系更是難上加難.在課程學(xué)習(xí)的過(guò)程中，實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題更加抽象且難以理解.因此，教師要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)上理解微積分問(wèn)題，提升學(xué)生的建模學(xué)習(xí)能力.本文分析了大學(xué)數(shù)學(xué)課程中微積分學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上闡述了學(xué)習(xí)和生活中微積分的具體應(yīng)用.通過(guò)了解微積分的應(yīng)用途徑，讓學(xué)生更好地理解和運(yùn)用相關(guān)知識(shí).以下觀點(diǎn)僅供參考和借鑒.

【關(guān)鍵詞】大學(xué)數(shù)學(xué);微積分教學(xué);建模應(yīng)用

數(shù)學(xué)是重要的學(xué)習(xí)工具，對(duì)一個(gè)人的學(xué)習(xí)進(jìn)步和成長(zhǎng)有很大影響.微積分課程屬于大學(xué)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要組成部分，函數(shù)和積分應(yīng)用是其研究的方向.微積分是高校學(xué)生的必修課程，生活中很多地方都會(huì)應(yīng)用到微積分知識(shí).中學(xué)階段，學(xué)生接觸過(guò)簡(jiǎn)單的微積分知識(shí)和建模思想，但并未進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí).大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，微積分是比較基礎(chǔ)的知識(shí)，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是存在較大的難度，主要是因?yàn)橹R(shí)本身的抽象性，且學(xué)生缺乏理解抽象知識(shí)的能力.為了改變當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)微積分課程的教學(xué)現(xiàn)狀，教師應(yīng)不斷探索和發(fā)現(xiàn)新的微積分教學(xué)方式，讓學(xué)生在掌握抽象知識(shí)的過(guò)程中結(jié)合建模思想更好地理解和學(xué)習(xí).

一、微積分

在人類發(fā)展史上，微積分是數(shù)學(xué)領(lǐng)域不可忽視的重要部分.數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)對(duì)學(xué)生掌握其他課程內(nèi)容提供了一定的幫助.在現(xiàn)實(shí)生活中，借助數(shù)學(xué)知識(shí)也能更好地解決實(shí)際問(wèn)題.大學(xué)數(shù)學(xué)中，微積分是基礎(chǔ)理論學(xué)科之一，導(dǎo)數(shù)和變化率理論等內(nèi)容是其學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.知識(shí)源于生活，同時(shí)知識(shí)也讓我們的生活變得更美好.應(yīng)用微積分能解決最大化、最優(yōu)化等實(shí)際問(wèn)題.例如，在組織機(jī)械工作的過(guò)程中，這項(xiàng)知識(shí)的運(yùn)用確保了圖形設(shè)計(jì)的科學(xué)合理;在園藝施工的過(guò)程中，微積分知識(shí)的應(yīng)用體現(xiàn)在合理計(jì)算整體施工面積和計(jì)算不規(guī)則圖形面積上;在美術(shù)繪畫的過(guò)程中，微積分知識(shí)的應(yīng)用讓繪圖操作變得更加簡(jiǎn)單.除此之外，企業(yè)的經(jīng)營(yíng)管理工作也會(huì)運(yùn)用微積分知識(shí)[1]，其中最主要的應(yīng)用途徑為借助微積分知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，分析企業(yè)未來(lái)發(fā)展的經(jīng)濟(jì)形勢(shì).現(xiàn)實(shí)生活中，如果不存在實(shí)際問(wèn)題，也沒有數(shù)學(xué)家深入分析理論知識(shí)，就無(wú)法一步步形成當(dāng)前的微積分理論體系.在探索和研究學(xué)科知識(shí)和微積分理論的過(guò)程中，對(duì)一些問(wèn)題要根據(jù)具體情況進(jìn)行抽象化處理，才能將其妥善解決.對(duì)應(yīng)用的微積分知識(shí)理論展開分析和研究也是推動(dòng)社會(huì)發(fā)展和進(jìn)步的一個(gè)方式，正是學(xué)者們?cè)谠欣碚摰幕A(chǔ)上提出新的知識(shí)見解和問(wèn)題，才促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的不斷進(jìn)步和發(fā)展，才能不斷完善現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理論知識(shí)體系.

二、大學(xué)教學(xué)中微積分的應(yīng)用

大學(xué)課程中，很多專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)都需要應(yīng)用微積分理論.微積分在大學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是比較廣泛的.課程學(xué)習(xí)過(guò)程中，微積分知識(shí)的應(yīng)用途徑眾多，具體情況如下.

（一）數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)知識(shí)是為了解答生活和學(xué)習(xí)中的問(wèn)題而存在的.實(shí)際生活中，一些抽象化的問(wèn)題，可以通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方式處理和解決，這也是建立模型的根本目的.通過(guò)數(shù)學(xué)建模，很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到了合理解決.在我們的日常生活中，采用數(shù)學(xué)建模的方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要的應(yīng)用意義.在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用過(guò)程中，借助微積分知識(shí)建立了多個(gè)數(shù)學(xué)模型，這些模型的研究和應(yīng)用為學(xué)科知識(shí)研究做出了突出貢獻(xiàn).歷史學(xué)中也存在應(yīng)用數(shù)學(xué)模型展開知識(shí)研究的典型案例，譬如著名科學(xué)家牛頓，借助自身研究的微積分提出了萬(wàn)有引力定律.其他領(lǐng)域的多個(gè)典型案例也說(shuō)明了數(shù)學(xué)建模過(guò)程中微積分知識(shí)所發(fā)揮的重要作用[2].

（二）運(yùn)用微積分解答等式證明問(wèn)題

研究等式證明問(wèn)題與數(shù)量變量有關(guān)，因此在研究的過(guò)程中需要應(yīng)用微積分知識(shí)中的無(wú)限切割思想，來(lái)簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理步驟.在等式證明的過(guò)程中，判斷函數(shù)的增減性、判定極值等皆與微積分知識(shí)的運(yùn)用相關(guān).相關(guān)知識(shí)的合理應(yīng)用降低了普通等式證明的技巧和難度，因此這項(xiàng)知識(shí)的運(yùn)用更加有效[3].

（三）運(yùn)用微積分作圖和表達(dá)函數(shù)形態(tài)變化

學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的過(guò)程中，可以通過(guò)記憶函數(shù)圖像的方式加深對(duì)知識(shí)的理解.函數(shù)圖像的直觀性特點(diǎn)明顯，多采用手繪的方式.但這種作圖的方式比較粗糙，不能細(xì)致地展現(xiàn)出函數(shù)的特點(diǎn)和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因此通過(guò)這種方式展現(xiàn)函數(shù)是存在一定缺陷的.微積分和導(dǎo)數(shù)概念相似，并且導(dǎo)數(shù)也是微積分的一個(gè)重要組成部分.因此，使用導(dǎo)數(shù)理論能夠反映出函數(shù)的增減區(qū)域和計(jì)算極值，并且這種反映函數(shù)圖像的方式是比較準(zhǔn)確的.由此也可以看出，在了解函數(shù)變化形態(tài)和作圖的過(guò)程中，微積分應(yīng)用的指導(dǎo)價(jià)值巨大.

三、實(shí)際生活中微積分的應(yīng)用

實(shí)際生活中，微積分的應(yīng)用途徑也是十分廣泛的.很多微積分知識(shí)的應(yīng)用是我們?cè)谏钪袥]有關(guān)注到的，但卻依然發(fā)揮了重要作用.下面對(duì)微積分在生活中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)要分析.

（一）應(yīng)用于企業(yè)投資決策活動(dòng)

針對(duì)常規(guī)的經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用初等數(shù)學(xué)知識(shí)就能輕松解答.但在企業(yè)的投資決策活動(dòng)中，初等數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用范圍是有限的.對(duì)于一些實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，初等數(shù)學(xué)知識(shí)是無(wú)法有效解決的，很難指導(dǎo)人們做出正確且有效的決策，比如每年將固定的資金存入銀行，且存入方式不變，計(jì)算N年后的現(xiàn)金總值.化一計(jì)算過(guò)程中，就需要應(yīng)用微積分理論.首先投資問(wèn)題要先考慮時(shí)間成本，因此投資決策存在不可知性[4].運(yùn)用微積分理論求解相關(guān)問(wèn)題，保證了投資活動(dòng)的科學(xué)性和經(jīng)濟(jì)性，在一定程度上降低了投資活動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，增加了企業(yè)的投資收益.

（二）應(yīng)用于物理學(xué)知識(shí)研究

物理學(xué)知識(shí)研究中，涉及變力的問(wèn)題無(wú)法直接運(yùn)用公式解答.在研究的過(guò)程中，先運(yùn)用微積分知識(shí)進(jìn)行無(wú)限細(xì)分位移，就能夠用公式求解了.求解與直接勻速運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，也會(huì)運(yùn)用微積分知識(shí).物理學(xué)中，通常用“位移=平均速度×?xí)r間”表示位移和速度之間的關(guān)系.但在現(xiàn)實(shí)生活中，物體的速度不是永恒不變的，因此理論上的絕對(duì)勻速是不存在的.在這樣的情況下求解位移就需要運(yùn)用微積分知識(shí)，將時(shí)間進(jìn)行細(xì)化處理.細(xì)化的單位中，物體速度變化越來(lái)越小，將在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行勻速處理，再通過(guò)公式求出每個(gè)位移的和，最終求總位移的問(wèn)題就迎刃而解了.當(dāng)然，物理學(xué)研究中微積分的運(yùn)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止于此，微積分與許多研究領(lǐng)域都有很大的關(guān)聯(lián)[5].

（三）應(yīng)用于解決排隊(duì)等待問(wèn)題

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，數(shù)列極限定理是重要定理之一.解答相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，先根據(jù)要求畫出3條相互垂直的空間直線代表垂直平面.這三個(gè)相互垂直的平面按照順序記為yn，a，zn.如果a平面是固定的，那么yn和zn與a平面就是無(wú)限接近的.在這樣的情況下，在yn和zn兩個(gè)平面放入一個(gè)任意的平面xn，保證其與a無(wú)限接近.根據(jù)上述定理的要求，可以將日常生活中的案例與之對(duì)號(hào)入座，例如車站排隊(duì)購(gòu)票的問(wèn)題：在排隊(duì)購(gòu)票的過(guò)程中，這些人需要按照順序排隊(duì)購(gòu)票，排在隊(duì)伍中間的人，會(huì)考慮需要多長(zhǎng)的時(shí)間才能輪到自己購(gòu)票.這就是定理中的直觀感受，其中xn就是參與排隊(duì)買票的人，而yn，zn就是后面排隊(duì)的人，而購(gòu)票窗口就是事先規(guī)定的[6].

（四）應(yīng)用于歷史學(xué)研究

歷史學(xué)中涉及重要事件的時(shí)間線較多，因此在研究的過(guò)程中要引起重視.在研究的過(guò)程中，人們通常很難記全歷史上的全部事件，這時(shí)使用微積分的方式記憶會(huì)更加簡(jiǎn)便[7].首先用一條橫線表示時(shí)間的起點(diǎn)和終點(diǎn)，運(yùn)用無(wú)限分割的思想?yún)^(qū)分年代.然后在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)標(biāo)注出重大歷史事件或標(biāo)志性事件.學(xué)習(xí)的過(guò)程中可以分段學(xué)習(xí)，重點(diǎn)掌握每個(gè)部分的核心內(nèi)容，了解每一部分的具體構(gòu)成.雖然微積分知識(shí)的運(yùn)用不能讓學(xué)習(xí)的人永久記憶歷史事件，但這種學(xué)習(xí)方式可以培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的學(xué)習(xí)思維.在有限的時(shí)間內(nèi)，學(xué)生能通過(guò)這種思維方式快速掌握歷史事件的發(fā)展框架和重要知識(shí)點(diǎn)，提高了課堂學(xué)習(xí)的效率和質(zhì)量.在科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展的背景下，微積分的應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用作用越來(lái)越突出，并且取得了一定的成就.

四、結(jié)束語(yǔ)

由上文可知，微積分在大學(xué)數(shù)學(xué)課程和人們生活中的應(yīng)用十分廣泛，并且影響深刻.微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的.微積分學(xué)極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)極大地推動(dòng)了多個(gè)學(xué)科及應(yīng)用科學(xué)的發(fā)展.這些學(xué)科中微積分知識(shí)的應(yīng)用途徑增加，尤其是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為其發(fā)展提供了良好條件.為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)微積分知識(shí)的學(xué)習(xí)和研究，讓學(xué)生對(duì)這項(xiàng)知識(shí)的學(xué)習(xí)了解更加透徹.教師在教學(xué)的過(guò)程中，首先要明確微積分知識(shí)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從知識(shí)的關(guān)聯(lián)處出發(fā)，加深學(xué)生的理解.其次，要從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)，引入生活中的實(shí)際案例，從而得到關(guān)于微積分的理論.學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的過(guò)程中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣得到提升，也增強(qiáng)了聯(lián)系理論和實(shí)際生活的能力[8]，在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能夠做到舉一反三.此外，在解決各項(xiàng)問(wèn)題和提升大學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)能力的同時(shí)，彰顯微積分知識(shí)的實(shí)質(zhì)性價(jià)值.

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