運用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)單調(diào)性問題的步驟

何發(fā)科

對于簡單的函數(shù)單調(diào)性問題，我們一般直接分析函數(shù)的解析式和圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，便能快速求得問題的答案.對于較為復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問題，如函數(shù)中含有高次式、指數(shù)式、對數(shù)式，我們常借助導(dǎo)數(shù)法來解題.而運用導(dǎo)數(shù)法來解答較為復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問題，能將復(fù)雜問題簡單化，提高解題的效率.

運用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)單調(diào)性問題，一般有以下幾個步驟：

1.根據(jù)已知條件，明確函數(shù) y = f （x） 的定義域;

2.對函數(shù) f （x） 求導(dǎo)，求出其導(dǎo)函數(shù) y'= f'（x） ;

3.解不等式 f'（x） < 0 或 f'（x） > 0 . f'（x） < 0 的解集為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;f'（x） > 0 的解集為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

4.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)系式，求得問題的答案.

值得注意的是，運用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)單調(diào)性問題，一定要先考慮函數(shù)的定義域，否則可能得到錯解.

例 1 .

解：

該函數(shù)式為4次式，需采用導(dǎo)數(shù)法來求解，先對函數(shù)求導(dǎo)，然后討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.

例 2.

解：

該函數(shù)的解析式中含有參數(shù).在運用導(dǎo)數(shù)法求解時，要先運用求根公式求出導(dǎo)函數(shù)的零點，再用零點將函數(shù)的定義域劃分為三個區(qū)間段，分別討論每個區(qū)間段上函數(shù)的單調(diào)性即可解題.

例 3.

解：

該函數(shù)式中含有對數(shù)式，我們需運用導(dǎo)數(shù)法來解題，先對函數(shù)求導(dǎo)，使在 （-1，+∞） 上 f'（x） ≤0，便可確保函數(shù)在區(qū)間在 （-1，+∞） 上單調(diào)遞減.解不等式即可解題.

可見，導(dǎo)數(shù)法是解答復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性問題的重要工具.在運用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)單調(diào)性問題時，同學(xué)們要明確導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，運用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)單調(diào)性問題的步驟，靈活運用導(dǎo)數(shù)來解題.

（作者單位：甘肅省隴南市宕昌縣第一中學(xué)）