例談拋物線中三角形面積最值問(wèn)題的解法

陳巧巧

三角形面積的最值問(wèn)題一般比較簡(jiǎn)單，但拋物線中的三角形面積最值問(wèn)題卻較為復(fù)雜，這類三角形的面積常與動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，因而此類問(wèn)題的難度一般較大.解題時(shí)需靈活運(yùn)用平面幾何知識(shí)、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、基本不等式、三角形的性質(zhì)和面積公式、拋物線的定義和性質(zhì)等知識(shí).那么，如何解答此類問(wèn)題呢？一般可運(yùn)用構(gòu)造法和分割法來(lái)求解.下面我們結(jié)合實(shí)例來(lái)進(jìn)行探討.

一、構(gòu)造法

構(gòu)造法是指通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出三角形的底或高，以能直接利用三角形的面積公式求得問(wèn)題的答案.通常，可過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作 x 軸或 y 軸的垂線，使其與三角形的一條邊相交，從而確定三角形的底或高，這樣就可以根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算了.

例1.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（-3，-4），線段 OB 繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與 x 軸的正半軸重合，點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A，如果點(diǎn) P 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在 x 軸的上方，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB 的面積最大？

解析：由于點(diǎn) P 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以我們無(wú)法確定△PAB 的形狀，也就無(wú)法確定三角形的高和底，不能直接利用三角形的面積公式來(lái)求解，需要構(gòu)造出三角形的高和底.可過(guò)點(diǎn) P 作 PE 垂直 x軸交 AB 于點(diǎn) E，則，此時(shí)△APE 的底為 PE，高為 A 到 PE 的距離;△BPE 的底為 PE，高為 B 到 PE 的距離，而 A 、B 到 PE 的距離之和為 A 、B 的橫坐標(biāo)之差.當(dāng)|PE|最大時(shí)，△PAB 的面積最大.借助兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)便可順利求得△PAB 面積的最值.

解：

一般地，當(dāng)三角形底邊的長(zhǎng)為定值時(shí)，三角形的高與面積成正比，高越大其面積越大，只要求得高的最大值，便可求得面積的最大值.

二、分割法

當(dāng)求三角形的面積遇到困難時(shí)，我們可以運(yùn)用分割法，將三角形分割為兩個(gè)或者兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單幾何圖形，借助簡(jiǎn)單幾何圖形的面積公式求得三角形的面積.當(dāng)求拋物線中三角形面積的最值時(shí)，我們也可以將三角形分割為幾個(gè)小三角形、平行四邊形、梯形等，然后分別利用三角形、平行四邊形、梯形面積公式求出各圖形的面積，最后綜合所得的結(jié)果即可求得三角形面積的表達(dá)式，借助函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式來(lái)求得最值.

例2.

解：

由于點(diǎn) P 是該拋物線上位于直線 AC 上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以我們無(wú)法確定△APC 的形狀，可以采用分割法來(lái)求解.將△APC 分割成兩個(gè)小三角形△APE 、△AGC 和一個(gè)直角梯形形 PHGC ，從而把三角形分割成幾個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)單幾何圖形，運(yùn)用三角形的面積公式和梯形的面積公式便可快速求得△APC 面積的表達(dá)式，將其視為關(guān)于 x 的二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)就能求得△APC 面積的最大值.

總之，同學(xué)們?cè)诮獯饞佄锞€中三角形面積最值問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)三角形的特點(diǎn)和已知條件合理添加輔助線，構(gòu)造出三角形的底或高，也可以將三角形分割為幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形，借助簡(jiǎn)單幾何圖形的面積公式來(lái)求解.在求得三角形面積的表達(dá)式后，可借助函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式來(lái)求得最值.

（作者單位：江蘇省鹽城中學(xué)）