一道選擇壓軸題的多解與溯源

安徽省蕪湖市第一中學(xué)(241000) 劉海濤 王 杰

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出:“高考要求學(xué)生能夠觸類(lèi)旁通、融會(huì)貫通,既包括同一層面、橫向的交互融合,也包括不同層面之間、縱向的融會(huì)貫通”[1]. 在教學(xué)過(guò)程中,對(duì)于一些典型問(wèn)題,如果我們能夠從不同角度思考,尋求不同的解法,以一題多解的方式尋求知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)體系,加深對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí),定會(huì)拓寬解題視野,發(fā)散解題思維,提升學(xué)習(xí)興趣,提高解題能力[2]. 本文是筆者對(duì)一道高三調(diào)研題的研究,現(xiàn)與讀者分享交流.

1 試題呈現(xiàn)與分析

題目已知定義在自然數(shù)集N 上的函數(shù)f(x) 滿足f(x+1)=則f(0)+f(2021)的最大值為( ).

分析本題雖為小題,但綜合性強(qiáng)、解法靈活,主要考查了函數(shù)的遞推關(guān)系式,函數(shù)的周期性求值,二次函數(shù)的性質(zhì),均值不等式、構(gòu)造函數(shù)求最值等知識(shí),考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,構(gòu)建函數(shù)的建模思想,構(gòu)造圖形的數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),總之本題內(nèi)涵豐富,值得探究.

2 解法探究

方法1由題設(shè)可得[f(x+1)-]2=f(x)-f2(x),即[f(x+1)-]2,由此可得

評(píng)注此法是參考答案所給,解題思路是依據(jù)題設(shè)中所提供的條件信息“定義在自然數(shù)集N 上的函數(shù)f(x), 滿足f(x+1) =對(duì)這個(gè)遞推的等式運(yùn)用演繹推理的思維模式,將其巧妙地轉(zhuǎn)化為[f(x+2)-然后再借助題設(shè)推得f(x+2) =f(x), 從而求出f(0)+f(2021) =f(0)+明確目標(biāo)是以f(0)∈[0,1] 變量的函數(shù), 最后構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)g(t) =t+借助導(dǎo)數(shù)求最大值, 使得問(wèn)題順利獲解. 另外, 根據(jù)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的有界性,在求出函數(shù)g(t)的極值點(diǎn)為t=后,可以利用求出最大值,省去單調(diào)性的討論.

方法2由題設(shè)可得f2(x+1) =+f(x)-f2(x)+則f2(x+1)=f(x+1)+f(x)-f2(x)-即[f(x+1)-f2(x+1)]+[f(x)-f2(x)]=設(shè)h(x) =f(x)- f2(x), 有h(x+1) +h(x) =由此得h(x+2)+h(x+1)=則h(x)=h(x+2),所以h(0)+h(2021)=h(0)+h(1)=即f(0)-f2(0)+f(2021)-f2(2021)=即f(0)+f(2021)=f2(0)+f2(2021)+又f2(0) +f2(2021) ≥[f(0)+f(2021)]2(當(dāng)且僅當(dāng)f(0) =f(2021) =f(1), 即f(0) =時(shí)取等號(hào)), 所以f(0) +f(2021) ≥則f(0) +f(2021) ≤ 1 +故當(dāng)f(0) =時(shí)f(0)+f(2021)取最大值為1+答案為B.

評(píng)注由題設(shè)得到[f(x+1)-f2(x+1)]+構(gòu)造函數(shù)h(x) =f(x)-f2(x), 有h(x+1)+h(x) =研究函數(shù)h(x)的遞推關(guān)系式得到其周期性,進(jìn)而得到f(0)+f(2021)=f2(0)+f2(2021)+最后利用基本不等式求得最值.

方法3同法1,得到≤f(x) ≤1),且f(x+2) =f(x),則f(0)+f(2021) =f(0) +f(1), 注意到問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(f(0),f(1)) 為圓弧≤x,y≤ 1) 上的動(dòng)點(diǎn), 設(shè)f(0) =f(1) =則f(0) +f(2021) =即時(shí)(f(0)+f(2021))max= 1+故答案為B.

評(píng)注在法1 的基礎(chǔ)上,注意到結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)構(gòu), 不難想到該題的幾何背景是在圓弧≤x,y≤ 1)上構(gòu)造點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*), 由此得到函數(shù)列{f(n-1)}的遞推關(guān)系式(f(n-1)-)2+研究發(fā)現(xiàn){f(n-1)}是周期為2 的數(shù)列. 另外, 還可以利用≤即(f(0)+f(1)-1)2≤得到(f(0)+f(2021))max=1+

3 問(wèn)題的本源探究

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō):“解題就像采蘑菇一樣,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí),它的周?chē)赡苡幸粋€(gè)蘑菇圈.”[3]通過(guò)上述解法探究,不難發(fā)現(xiàn)該題是建立在圓弧上的點(diǎn)列問(wèn)題,解答完本題后,筆者有如下探究:

探究1問(wèn)題背景為圓弧≤x,y≤1)上的點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*),若將圓弧一般化,{f(n-1)}是否為周期數(shù)列?

分析若點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*)在圓弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a≤x,y≤a+r)上, 則 (f(n-1)-a)2+ (f(n)-a)2=r2, 得(f(n)-a)2+(f(n+1)-a)2=r2,則(f(n-1)-a)2=(f(n+1)-a)2, 又f(n-1) ≥a,f(n+1) ≥a, 則f(n-1) =f(n+1), 所以{f(n-1)}是周期為2 的數(shù)列.

圖1

圖2

如圖3,圓弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a-r≤x,y≤a)也有上述的三個(gè)特征,于是有如下探究:

圖3

探究2若點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*) 在圓弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a-r≤x,y≤a)上,{f(n-1)}是否為周期數(shù)列,若是,周期是否為2?

分析若點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*) 在圓弧(x-a)2+ (y-a)2=r2(a - r≤x,y≤a) 上, 則 (f(n-1)-a)2+ (f(n)-a)2=r2, 得(f(n)-a)2+(f(n+1)-a)2=r2,則(f(n-1)-a)2=(f(n+1)-a)2, 又f(n-1) ≤a,f(n+1) ≤a, 則f(n-1) =f(n+1), 所以{f(n-1)}是周期數(shù)列, 周期為2.

綜上,得到如下結(jié)論:

命題1若點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*) 在圓弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a-r≤x,y≤a或a≤x,y≤a+r)上,{f(n-1)}是周期為2 的數(shù)列.

根據(jù)上述探究,再將圓弧推廣到更一般的曲線,有如下探究:

探究3已知曲線C為關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng), 且曲線C上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間滿足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 若點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*)在曲線C上,{f(n-1)}是否為周期數(shù)列,若是,周期是否為2?

分析若點(diǎn)(f(n-1),f(n))在曲線C上,由曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),得點(diǎn)(f(n),f(n-1))也在曲線C上,又點(diǎn)(f(n),f(n+1))在曲線C上,由曲線C上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間滿足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,得f(n-1) =f(n+1),所以{f(n-1)}是周期數(shù)列,周期為2.

由此,得到如下結(jié)論:

命題2已知曲線C為關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng), 且曲線y=x上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間滿足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,若點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*)在曲線C上, 則{f(n-1)}是周期為2 的數(shù)列.

4 反思總結(jié)

4.1 多角度思考問(wèn)題,尋求一題多解

在日常的解題教學(xué)中, 我們不能僅止步于問(wèn)題的解決,而應(yīng)該教會(huì)學(xué)生從不同的角度去分析問(wèn)題,尋求不同的解法,通過(guò)一題多解發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,體會(huì)知識(shí)間的轉(zhuǎn)化與化歸,構(gòu)建知識(shí)間的網(wǎng)絡(luò)體系. 本題中,從不同角度去理解函數(shù)f(x)的遞推關(guān)系式f(x+1)=采用不同的方式(構(gòu)造方程、函數(shù)、圖形)處理,得到以上不同解法,思維方式的不同帶來(lái)解答形式的不同,給考生極大的思考與解答空間,在運(yùn)算量和解答時(shí)間上出現(xiàn)差別,區(qū)分出不同層次的考生,具有很好的信度與區(qū)分度.

4.2 探究問(wèn)題本源,以求多解歸一

我們尋求一題多解,但不能滿足于一題多解,對(duì)一些典型問(wèn)題進(jìn)行探究,探究出問(wèn)題的本源,并做出一般化的推廣,也反映出教師本身的業(yè)務(wù)能力與素養(yǎng). 本題通過(guò)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*)在圓弧≤x,y≤1), 想到將圓弧作一般化推廣, 得到圓弧(x-a)2+ (y-a)2=r2(a≤x,y≤a+r), 結(jié)論依然成立, 注意到這兩段圓弧的共同點(diǎn)后, 類(lèi)比到圓弧(x-a)2+(y-a)2=r2(a-r≤x,y≤a), 結(jié)論也依然成立, 于是得到命題1, 最后想到將圓弧推廣到更一般的曲線, 探究發(fā)現(xiàn)只要曲線滿足關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng), 且點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間滿足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 結(jié)論依舊成立, 最終得到問(wèn)題的本源, 在滿足這一特點(diǎn)的曲線上構(gòu)造點(diǎn)列{(f(n-1),f(n))}(n ∈N*),均可得到{f(n-1)}是周期為2 的數(shù)列.

作為一線教師,我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行深入探究(逆向探究、引申探究、類(lèi)比探究等),發(fā)揮題目的最大價(jià)值,將問(wèn)題拓展到一般化情況,讓學(xué)生能“做一題,通一類(lèi)”,避免題海戰(zhàn)術(shù),減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān),提高學(xué)習(xí)效率,實(shí)現(xiàn)“一題多解,多解歸一”. 這樣,我們?cè)趯W(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí),掌握基本技能的同時(shí),可以有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創(chuàng)新性,達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的解題水平和能力,提高自身的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[4].