Mavpd混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步控制

王東曉，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院,河南 鄭州 450046)

最近20年來,混沌系統(tǒng)的滑模同步問題日益成為研究熱點(diǎn)[1-12]，孫寧，等(2010)[13]研究了一類不確定混沌系統(tǒng)的滑模投影同步問題，實(shí)現(xiàn)了主從系統(tǒng)的滑模投影同步.余名哲，張友安(2014)[14]研究了不確定混沌系統(tǒng)的滑模適應(yīng)同步問題，能夠使驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到快速同步.仲啟龍，等(2015)[15]研究了一類分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步問題，張燕蘭(2014)[16]研究了分?jǐn)?shù)階Rayleigh-Duffling-like系統(tǒng)的追蹤投影同步.文獻(xiàn)[17]研究了一類不確定系統(tǒng)的滑模終端控制問題.文獻(xiàn)[18]研究了一個(gè)新混沌系統(tǒng)的滑?？刂茊栴}，利用比例積分滑模方法研究了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[19]研究了比例積分追蹤制導(dǎo)方法，為了保證追蹤誤差穩(wěn)態(tài)值維持在較小的范圍，采用了比例積分控制.而Mavpd混沌系統(tǒng)包含豐富的密匙參數(shù)，因此引起了控制界的廣泛關(guān)注，例如：文獻(xiàn)[20]研究了一類具有二次項(xiàng)的Mavpd混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析問題，討論了該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，特征值和Lyapunov指數(shù).本文在上述研究的基礎(chǔ)上，研究了Mavpd混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步問題，基于比例積分滑?？刂蒲芯糠椒ㄔO(shè)計(jì)了滑模面和控制器，給出了系統(tǒng)取得同步的充分性條件.研究結(jié)果表明：選取適當(dāng)?shù)目刂破髋c滑模函數(shù)，Mavpd系統(tǒng)的誤差穩(wěn)態(tài)值能夠維持在較小的范圍內(nèi).

1 主要結(jié)果

Mavpd系統(tǒng)如下[20]

(1)

當(dāng)參數(shù)取值λ=100,μ=0.1,γ=1.6,β=200時(shí)，系統(tǒng)(1)呈混沌態(tài).以該系統(tǒng)為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

(2)

定義系統(tǒng)誤差e1=x2-x1,e2=y2-y1,e3=z2-z1，兩式相減得誤差系統(tǒng)為

(3)

滑模控制的基本思想是選取適當(dāng)?shù)幕：瘮?shù)和控制器，使系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡能夠在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面，并沿滑模面運(yùn)動到指定狀態(tài)，選取比例積分滑模函數(shù)

(4)

(5)

為使誤差系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡能夠在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面，選取控制器，其中η為大于零的常數(shù).

u(t)=-(k-γ)e2(t)-ηsgn(s(t))

(6)

假設(shè)1|e1-e3|

所以s(t)可積且有界，根據(jù)引理1可知，因此不在滑模面上的點(diǎn)被驅(qū)動到滑膜面上.

由

再由假設(shè)2有，|x1x2|-

很容易得到s→0,e1→0,e2→0時(shí)e3→0，從而定理得證.

以下考慮整數(shù)階Mavpd系統(tǒng)為主系統(tǒng)，亦可以實(shí)現(xiàn)積分滑模同步.

(7)

從系統(tǒng)為

(8)

(9)

假設(shè)3Δf(y)+d(t)=g(t), |g(t)|<ρ<η.

假設(shè)4|g(t)|<δ|e2|.

所以s(t)可積且有界，根據(jù)引理1可知s(t)→0，將等效控制器帶入式(3)得到理想滑模方程

(10)

根據(jù)假設(shè)1，4得到

當(dāng)M+δ

2 數(shù)值仿真

為了說明該方法的有效性，無妨利用MATLAB，采用預(yù)估校正算法進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)參數(shù)取值λ=100,μ=0.1,γ=1.6,β=200,k=3,η=2,δ=1.5,M=1.2,ρ=1.5,N=0.5，主從系統(tǒng)初始值設(shè)置為(x1(0),y1(0),z1(0))=(2,1,3), (x2(0),y2(0),z2(0))=(1,2,2)，不確定項(xiàng)Δf(x2,y2,z2)=0.2sin(x2y2z2),外擾d(t)=0.02/(1+5t)，定理1，2中的系統(tǒng)誤差曲線如圖1，2所示，從圖中可以看出，初始時(shí)刻系統(tǒng)誤差曲線相距甚遠(yuǎn)，隨時(shí)間推移，系統(tǒng)誤差曲線在有限時(shí)間內(nèi)趨于原點(diǎn)，且漸趨一致.

圖1 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線Figure 1 The system errors of theorem 1

圖2 定理2中的系統(tǒng)誤差曲線Figure 2 The system errors of theorem 2

3 結(jié) 論

基于比例積分滑?？刂蒲芯糠椒ㄑ芯苛薓avpd混沌系統(tǒng)的滑模同步問題，設(shè)計(jì)了滑模面和控制器，給出了系統(tǒng)取得同步的充分性條件，并給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理和證明過程，研究表明：選取適當(dāng)?shù)目刂破髋c滑模函數(shù)，Mavpd系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得積分滑模同步.最后數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的可行性與有效性.