常微分方程組對中立型微分差分方程組的逼近

李愛平

（忻州師范學院五寨分院 數(shù)學系，山西 五寨 036200）

部分學者研究了常微分方程組對時滯微分方程的逼近問題[1-4]。這種方法使我們能夠將研究常微分方程的方法應用到時滯方程上，通過增加常微分方程逼近系統(tǒng)的維數(shù)來達到有限區(qū)間上的期望逼近精度[1-4]。

另一學者也對這類問題進行了研究[5]，方案中近似的中立型微分方程使用Pade近似的函數(shù)ex進行了討論，逼近精度只建立在足夠光滑的函數(shù)空間中[5]，因此，本研究主要針對連續(xù)函數(shù)和分段連續(xù)函數(shù)空間中具有哈爾意義的中立型微分-差分方程組的逼近問題。

1 問題陳述

設n和p為一定的自然數(shù)，設a和T為實數(shù)，設a

假設方程（1）滿足以下條件：

2 延遲元素的近似

考慮某輸入函數(shù)x（t）所產生的延遲的m個元素，并依次連接:

將它們與一個由常微分方程系統(tǒng)所描述的非周期元素序列聯(lián)系起來

注意，當x（t）是滿足Lipschitz約束條件的標量函數(shù)或導數(shù)在[a-τ,T]上以常數(shù)M為界時，方程（2）、（3）在文獻[2]中被研究，而且

文獻[3][4]中研究了x（t）∈C[α-τ,T]的情況，在這種情況下，有以下不等式成立：

研究在輸入函數(shù)x:[α-τ,T]→Rn在方程（2）（3）是連續(xù)或分段連續(xù)情況下延遲元近似的準確性。

首先，考慮輸入函數(shù)x（t），t∈[a-τ,T]是分段連續(xù)的情況，引入平滑函數(shù)

如果

使用函數(shù)x（t）的兩項和形式表示，得到

如果輸入函數(shù)x:[a-τ,T]→Rn，那么，通過類比，得到連續(xù)

在下面的陳述中總結了上面關于延遲元素近似的論點：

如果輸入函數(shù)x（t），t∈[a-τ,T]是連續(xù)的，則

3 中性型系統(tǒng)的近似方案

在下面的陳述中總結了上面關于延遲元素近似的論點：在1和2的假設下，初始函數(shù)?（t）為方程（1）的解在[a-τ,a]是連續(xù)存在并且是唯一的。然而，它只能在最簡單的情況下以解析的形式被發(fā)現(xiàn)，并且沒有有效的算法來近似地確定它。本研究考慮一種利用常微分方程序列柯西問題的解求其近似的方法。

在初始條件下

如果下列關系成立，則常微分方程組（8）近似中性型方程組（1）：

考慮中立型方程（1）初值問題解的封閉性問題和柯西問題（8）、（9）的解的封閉性問題，令

那么，如文獻[3][9]所示，可以證明以下不等式為真：

考慮性質2、不等式（10）和定理1，對于t∈[a,t]，得到

其中

則有如下結論：

定理2：假設方程（1）滿足條件（i）和（ii），對于m→∞和t∈[a,T]，中立型微分方程組（8），（9）的Cauchy問題的解近似于中立型（1）的微分方程組的初值問題的解。