新課標(biāo)下立體幾何教學(xué)方向探索
——以2021年全國(guó)甲卷為例

安徽 查道麗

2021年安徽省高考理科數(shù)學(xué)使用全國(guó)甲卷.與往年相比，2021年高考全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)試題的試卷結(jié)構(gòu)保持不變，考查內(nèi)容基本一致，體現(xiàn)了高考的穩(wěn)定性與延續(xù)性；注重基礎(chǔ)知識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、應(yīng)用、創(chuàng)新等能力.突出對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的重視和“回歸教材”等特點(diǎn).題目看上去簡(jiǎn)單，實(shí)則不容易，對(duì)教學(xué)有很大的研究和參考價(jià)值.

一、概述

立體幾何模塊的考查在整張?jiān)嚲碇姓加?7分的分值，試題以“一大三小”的形式呈現(xiàn).小題均是選擇題，考查三視圖、空間線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系三棱錐外接球.大題是第19題分兩小題設(shè)問(wèn)，第(1)問(wèn)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，第(2)問(wèn)求二面角的正弦值最值問(wèn)題.比較6年(2016-2021年)，2021年以前立體幾何分值保持22分，2021年分值增長(zhǎng)到27分.6年來(lái)解答題第(1)問(wèn)考查均是證明問(wèn)題，第5次考查垂直證明，6年中沒(méi)有考查平行證明問(wèn)題，并且2021年考查垂直，首次考查線(xiàn)線(xiàn)垂直,前5年解答題第(2)問(wèn)考查都是二面角，2021年也不例外，理科考查風(fēng)格基本沒(méi)變.

二、真題分析

立體幾何為數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一，一般情況下得滿(mǎn)分有一定的難度.做這類(lèi)題不確定的因素較多、難度較大、綜合性較強(qiáng)，超出考生的想象.下面對(duì)此次高考立體幾何部分試題一一分析.

【例1】(2021·全國(guó)甲卷理·6) 在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

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【分析】本題考查三視圖，根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀(guān)圖，學(xué)生在作圖時(shí)，根據(jù)正視圖可能會(huì)還原出兩個(gè)直觀(guān)圖，結(jié)合直觀(guān)圖分清視圖方向進(jìn)行判斷.考查立體幾何必備知識(shí)的基礎(chǔ)性.

解：如圖，答案選D.

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A.346 B.373 C.446 D.473

【分析】挖掘題目信息，找出隱含信息(AA′∥BB′∥CC′,AA′⊥平面A′B′C′)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，作圖，結(jié)合解三角形來(lái)求解.不僅要關(guān)注條件是什么，也要關(guān)注問(wèn)題是什么，只有雙管齊下，才會(huì)事半功倍.

過(guò)C作CD∥C′B′交BB′于點(diǎn)D,過(guò)D作DE∥A′B′交AA′于點(diǎn)E,連接CE,過(guò)B作BF∥DE交AA′于點(diǎn)F.

故AA′-CC′=AE=AF+100=BF+100=A′B′+100.

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°

則AA′-CC′≈373.

【例3】(2021·全國(guó)甲卷理·11) 已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為

( )

【分析】為求三棱錐O-ABC的體積，只需求球O到底面ABC的距離，熟悉球心與截面圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.從題目條件出發(fā)，建立關(guān)系式得出結(jié)論.

【例4】(2021·全國(guó)甲卷理·19) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.

(1)證明：BF⊥DE；

(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

【分析】證明垂直就是要找出題目條件中所有的垂直關(guān)系，再結(jié)合判定定理證明即可；也可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)證明垂直、平行關(guān)系；求解二面角的平面角，直接方法是建立空間直角坐標(biāo)系，也可以通過(guò)幾何方法，作出二面角的平面角，結(jié)合解三角形來(lái)求解.

解法一：(1)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB,

因?yàn)锳1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，

又BB1∩BF=B，所以AB⊥平面BCC1B1.

本方法適用于普通的磚煙囪施工，投入的施工人員和設(shè)備較少，材料簡(jiǎn)單，具有施工成本低、速度快、安全方便等特點(diǎn)，有一定的應(yīng)用價(jià)值。

所以BA,BC,BB1兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA,BC,BB1所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

所以B(0，0，0)，A(2，0，0),C(0，2，0)，B1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，

E(1，1，0)，F(xiàn)(0，2，1).

由題設(shè)D(a，0，2)(0≤a≤2)．

所以BF⊥DE．

設(shè)平面BCC1B1與平面DEF的二面角的平面角為θ，

解法二：(1) 因?yàn)锽B1⊥平面ABC,

所以BB1⊥AB.

又AB∥A1B1,A1B1⊥BF,

所以BF⊥AB.

又BB1∩BF=B,

所以AB⊥平面BB1C1C.

又AB?平面ABC,

故平面ABC⊥平面BB1C1C.

設(shè)A1B1的中點(diǎn)為M，連接EM，過(guò)E作EN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接B1N易知ENMB1,則四邊形ENB1M是平行四邊形，EM∥NB1.

△BCF≌△B1BN,

所以∠FBC+∠B1NB=90°,

故FB⊥B1N,

所以FB⊥EM,

又EM∩A1B1=M,

所以FB⊥平面A1EB1,

因此FB⊥DE.

(2)分別延長(zhǎng)EF,A1C1相交于點(diǎn)G，連接DG并與B1C1交于點(diǎn)H，連接HF，過(guò)B1作HF的垂線(xiàn)交于FH延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)I，連接DI.

因?yàn)镕H?平面DEF，F(xiàn)H?平面BB1C1C,

所以平面DEF∩平面BB1C1C=FH.

由(1)證明知AB⊥平面BB1C1C，則A1B1⊥平面BB1C1C，所以DB1⊥平面BB1C1C，因此DB1⊥FH.

因?yàn)锽1I⊥FH，B1I∩B1D=B1，

所以FH⊥平面B1DI，

又FH⊥DI，

所以銳角∠DIB1是平面DEF與平面BB1C1C的夾角.

易知△B1IH∽△FC1H，

易知△GC1H∽△GKD,

對(duì)于此題，綜合法與坐標(biāo)法相比，復(fù)雜且不直觀(guān)，但從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)角度，綜合法能夠鍛煉學(xué)生的直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力以及興趣的培養(yǎng)都具有積極意義.

三、教學(xué)反思

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其對(duì)平面幾何、立體幾何，從“形”入手，直觀(guān)助思；從“數(shù)”突破，驗(yàn)證直覺(jué).本卷考查錐體、球體以及線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面關(guān)系，兩面所成角等知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法.考生的思維障礙在于根據(jù)題意作出圖形助思.顯然，圖形更有利于考生思考、解決問(wèn)題.求空間角包括求兩條異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角和面面角，求解的基本路徑是：“找(作)—說(shuō)—求”.“找”是關(guān)鍵，沒(méi)有現(xiàn)成的就需要“作”，作線(xiàn)線(xiàn)角重點(diǎn)是“平移直線(xiàn)”；作線(xiàn)面角重點(diǎn)是“線(xiàn)面垂直”；作面面角重點(diǎn)也是“線(xiàn)面垂直”.

按照題目問(wèn)題狀態(tài)，可以分為“題給圖形”和“自構(gòu)圖形”兩種基本類(lèi)型.學(xué)生的主要問(wèn)題是：一是沒(méi)有想到數(shù)形結(jié)合；二是構(gòu)圖馬虎，不能達(dá)到“助思”效果；三是構(gòu)圖不夠“常態(tài)”，產(chǎn)生誤導(dǎo).

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)的核心思想方法之一.從“形”入手、用數(shù)形結(jié)合的思想方法，是解答選擇、填空題的重要策略；而由“數(shù)”聯(lián)想到“形”，是一種創(chuàng)造、創(chuàng)新，對(duì)學(xué)生本身是一個(gè)“坎”.建議高三復(fù)習(xí)時(shí)選用恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的思想立意；同時(shí)，結(jié)合距離、斜率等數(shù)式的幾何意義，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生思“形”，增長(zhǎng)數(shù)形結(jié)合、由“數(shù)”思“形”的見(jiàn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

符合高考命題理念，從原來(lái)的“知識(shí)立意”“能力立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”轉(zhuǎn)變.

我們?cè)诮虒W(xué)中特別注意以下四點(diǎn)：

(一)在教學(xué)中一定要充分備課、備好課，盡力讓學(xué)生理解教材的概念、性質(zhì)、定理等，要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)題的訓(xùn)練，理解和訓(xùn)練一定要雙管齊下，只有熟練知識(shí)點(diǎn)才可能實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通.以本試卷立體幾何為例，雖然要求學(xué)生具備一定的空間想象能力，但是如果沒(méi)有解三角形的知識(shí)作儲(chǔ)備，立體幾何很難做出來(lái).

(二)我們?cè)谛率谡n中一定要充分備課、備好課，積極發(fā)揮學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性.每章節(jié)的結(jié)束，讓學(xué)生自己及時(shí)總結(jié)歸納知識(shí)、方法以及數(shù)學(xué)思想， 反思自己的得與失，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性，這對(duì)于學(xué)習(xí)很有幫助.本卷的立體幾何，如果能熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，做滿(mǎn)分并不是可望不可及.

(三)我們一定要充分備課、備好課，重視試卷分析課，提高審題質(zhì)量.好的試卷分析課能夠幫助學(xué)生從解題沒(méi)思路快速成長(zhǎng)為做題有思路；在有思路的情況下影響得分的主要是表述規(guī)范、隱含條件運(yùn)用以及與其他知識(shí)點(diǎn)交匯考查綜合應(yīng)用能力等問(wèn)題，在分析試卷時(shí)，我們需要平時(shí)就要求學(xué)生認(rèn)真審題，規(guī)范答題，養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣.

(四)“超低空、地毯式、拉網(wǎng)式”的復(fù)習(xí)策略.一定要回歸課本，做到知識(shí)、方法、思想全覆蓋.在內(nèi)容上，要及時(shí)總結(jié)歸納知識(shí)和方法；在對(duì)課后習(xí)題處理上，要取其課本上的精華；嚴(yán)格要求自己，做到遍地撒網(wǎng).雖然理科歷年來(lái)考證明平行位置關(guān)系的問(wèn)題少，且解答題考的是二面角和線(xiàn)面角，線(xiàn)線(xiàn)角沒(méi)出現(xiàn)在解答題，但選擇填空題歷年來(lái)有考，雖今年不考，不代表以后不考，我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)一定要全面.