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    創(chuàng)新性優(yōu)秀原創(chuàng)試題選登

    2021-11-09 01:48:56山東叢以權(quán)廣東黑龍江李偉勝
    關(guān)鍵詞:直角雙曲線道題

    山東 叢以權(quán) 廣東 龍 宇 黑龍江 李偉勝

    1.【研發(fā)題】

    為紀(jì)念中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年,加深青少年對(duì)黨的歷史、黨的知識(shí)、黨的理論和路線方針的認(rèn)識(shí),激發(fā)愛黨愛國(guó)熱情,堅(jiān)定走新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義道路的信心,某校舉辦了黨史知識(shí)競(jìng)賽.競(jìng)賽規(guī)則是:兩人一組,每一輪競(jìng)賽中,小組兩人分別各答3道題,若答對(duì)題目總數(shù)不少于5道題,則獲得一個(gè)積分.已知甲、乙兩名同學(xué)一組,甲同學(xué)和乙同學(xué)每道題答對(duì)的概率分別是p1和p2,且每道題答對(duì)與否互不影響.

    【考查目標(biāo)】

    本題主要考查二項(xiàng)分布與導(dǎo)數(shù)的綜合,要求學(xué)生能從生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索層面的問題情境中提煉出數(shù)學(xué)問題,并解決問題,考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力,落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

    【名師指導(dǎo)】

    (1)利用所給數(shù)據(jù)和互斥事件的概率求值;(2)根據(jù)(1)形成p1p2=t的函數(shù)p(t),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求出函數(shù)的最大值,再由np≥5即可求出所求.

    【解題思路】

    (1)設(shè)同學(xué)甲和同學(xué)乙答對(duì)的題目個(gè)數(shù)分別為a1和a2,所以所求的概率

    P=P(a1=2,a2=3)+P(a1=3,a2=2)+P(a1=3,a2=3)

    (2)他們?cè)谝惠喐?jìng)賽中獲得一個(gè)積分的概率

    P=P(a1=2,a2=3)+P(a1=3,a2=2)+P(a1=3,a2=3)

    甲、乙兩同學(xué)在n輪競(jìng)賽中獲得的積分?jǐn)?shù)X滿足X~B(n,p),

    所以若甲、乙同學(xué)想至少獲得5個(gè)積分,理論上至少要進(jìn)行15輪競(jìng)賽.

    2.【研發(fā)題】

    (1)若n=2,求分?jǐn)?shù)X的分布列;

    【考查目標(biāo)】

    本題考查隨機(jī)變量的分布列及確定目標(biāo)下的概率等相關(guān)知識(shí),同時(shí)考查了數(shù)列的遞推性質(zhì),數(shù)學(xué)歸納法的思想以及“非線性規(guī)劃”等一系列知識(shí).考查了運(yùn)算求解能力,數(shù)據(jù)分析以及數(shù)學(xué)建模等能力,落實(shí)了數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    【名師指導(dǎo)】

    (1)先確定n的取值,然后確定X的取值,求出其概率,進(jìn)而求得分布列;(2)設(shè)G(m)≥G(1)求出p與q的關(guān)系,再利用“線性規(guī)劃”的思想考慮如下:根據(jù)兩個(gè)條件,可得點(diǎn)(p,q)的可行域:結(jié)合q的取值范圍求證.

    【解題思路】

    (1)當(dāng)n=1時(shí),X的取值可能為0,1,2,

    當(dāng)n=2時(shí),X的取值可能為0,1,2,3,4,

    X01234P(1-13p-23q)22p3(1-13p-23q)4q3(1-13p-23q)49pq49q2

    不妨設(shè)當(dāng)k≤m時(shí),G(k)≥G(1)成立,現(xiàn)考慮k=m+1時(shí)的情況;

    對(duì)于G(m+1),其值為G(m+1)=G(m)G(1)+G(m-1)G(2);

    令G(m+1)=G(m)G(1)+G(m-1)G(2)≥G(1),根據(jù)假設(shè)G(m)≥G(1),G(m-1)≥G(1),

    圖1

    圖2

    3.【研發(fā)題】

    (1)求雙曲線E的方程;

    問題:是否存在過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線E的右支相交于A,B兩點(diǎn),________,使得∠AMB為直角?

    【考查目標(biāo)】

    本題以圓錐曲線為背景,考查直線與雙曲線位置關(guān)系的問題,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    【名師指導(dǎo)】

    【解題思路】

    (2)方案①:令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),

    若直線AB與x軸不垂直,設(shè)直線AB的方程為y=kx-3k(k≠0),

    可得 (5-4k2)x2+24k2x-4(9k2+5)=0,Δ>0

    由題意可知A,B兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上,

    因?yàn)椤螦MB為直角,所以AM⊥BM,

    =0,

    方案②:令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),

    若直線AB與x軸不垂直,設(shè)直線AB的方程為y=kx-3k(k≠0),

    可得(5-4k2)x2+24k2x-4(9k2+5)=0,Δ>0,

    由題意可知A,B兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上,

    因?yàn)椤螦MB為直角,所以AM⊥BM,

    方案③:令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),

    所以直線AB的方程為x=3.

    若直線AB與x軸不垂直,設(shè)直線AB的方程為y=kx-3k(k≠0),

    可得(5-4k2)x2+24k2x-4(9k2+5)=0.

    由題意可知A,B兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上,

    因?yàn)椤螦MB為直角,所以AM⊥BM,

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