從一道高考題談試題命制

山東 孫 浩

圓錐曲線問題是歷年高考的主力軍，也是高三復(fù)習(xí)備考的重頭戲.但是在高三復(fù)習(xí)備考中卻體現(xiàn)為用時(shí)多、收效低的特點(diǎn)，學(xué)生在歷次考試中都作答不理想，試題得分率極低.下面筆者基于多年參與統(tǒng)考試題命制工作，從試題命制的角度談?wù)効捶?，期望能給讀者以啟迪.

1.高考試題為命制試題提供優(yōu)秀藍(lán)本

命制試題經(jīng)常會(huì)參考往年全國卷及各省市的高考試題，高考試題出題嚴(yán)謹(jǐn)，無論是考查的知識(shí)點(diǎn)、考查能力，還是命題角度都能給命制試題提供好的思路和想法，因此在命制試題時(shí)經(jīng)常以高考試題為藍(lán)本進(jìn)行改編命制.

(1)求橢圓E的方程；

(2)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于C,D兩點(diǎn).

∴Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y0).

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)，

∴若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q(0，2).

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).

其判別式Δ=16k2+8(2k2+1)>0，

∴kQA=-kQB,

∴∠PQA=∠PQB.

過點(diǎn)A,B向y軸分別作垂線AM,BN，垂足分別為M,N，則Rt△QMA∽R(shí)t△QNB，

又Rt△PMA∽ Rt△PNB,

從這道高考試題的分析和解答過程可以看出，本題設(shè)置了求橢圓方程和兩直線的斜率關(guān)系兩個(gè)落腳點(diǎn)，試題命制圍繞這兩個(gè)落腳點(diǎn)而展開.下面談?wù)勔罁?jù)這兩個(gè)落腳點(diǎn)如何進(jìn)行試題命制的.

2.以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為落腳點(diǎn)進(jìn)行試題命制

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程含有a,b兩個(gè)量，這兩個(gè)量與c,e有直接關(guān)系，因此在試題命制中，一般是圍繞a,b,c,e四個(gè)量來建構(gòu)兩個(gè)方程，思考這幾個(gè)量與哪些知識(shí)點(diǎn)有關(guān)聯(lián)，如何建立聯(lián)系，圍繞其中一個(gè)或幾個(gè)量進(jìn)行問題設(shè)計(jì)、建構(gòu)關(guān)系式，從而達(dá)到考查有關(guān)知識(shí)和能力的目的.

(1)求橢圓C的方程；

(2)略.

【詳解】(1)由題意可得,

∴a=2.

(1)求橢圓C的方程；(2)略.

解得c=1或c=2(舍去)，

∴b2=1，

通過上面兩道試題的命制，發(fā)現(xiàn)以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為落腳點(diǎn)的試題命制，先確立要求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是什么，然后根據(jù)a,b,c,e的具體值，從這些值中選取兩個(gè)，圍繞這兩個(gè)值結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)來設(shè)計(jì)問題，完成試題的命制.

3.以斜率為落腳點(diǎn)來命制考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系試題

試題命制就是尋找一個(gè)問題有什么不同的說法，把這個(gè)問題延伸拓展一下，向前走幾步或者向后退一退，尋找合適的說法進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，把舊問題轉(zhuǎn)化為新問題、新情境，實(shí)現(xiàn)新瓶裝老酒，靈活考查知識(shí)、能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1 直接以斜率之間的關(guān)系來命制試題

命制試題時(shí)，考慮學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的程度，有時(shí)需要降低試題難度，直接給出斜率之間的關(guān)系，來考查學(xué)生的知識(shí)熟練度.

(1)略；

(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線TA與TB的斜率互為相反數(shù)？

【分析】(2)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，先假設(shè)存在定點(diǎn)并設(shè)為T(x0,0)，用坐標(biāo)直接表示出kTA,kTB，然后借助韋達(dá)定理就能求出滿足條件的x0.

【題目1(2)改編題1】(2)在y軸上是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得直線QA與QB的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

題目1經(jīng)過這樣改編，就成為一道直接考查兩直線斜率關(guān)系的基礎(chǔ)題.這種追根逐源，透過現(xiàn)象看本質(zhì)的命題辦法，在命制試題時(shí)經(jīng)常使用.

3.2 以角度關(guān)系為切入點(diǎn)來命制試題

直線的傾斜角與斜率有著密切的聯(lián)系，斜率問題向前走一步可以轉(zhuǎn)化為角的問題來呈現(xiàn)，進(jìn)而考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.

3.2.1直接給出角度關(guān)系

【題目1(2)改編題2】(2)在軸上是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得∠PQA=∠PQB？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.2.2 用線段比值設(shè)置問題，暗含角度關(guān)系

如果兩個(gè)三角形相似，則對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段成比例.因此，在命制試題時(shí)，可以以線段成比例為視角，通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w與轉(zhuǎn)化把問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)角相等，在問題中經(jīng)常以構(gòu)建直角三角形實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化與溝通.

題目1第(2)問就是用線段比值的視角來命制的斜率問題.

3.2.3 借助面積比轉(zhuǎn)化為角度問題

3.3 以直線過定點(diǎn)為切入點(diǎn)來命制試題

直線過定點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)連線的斜率相等，因此在命制試題時(shí)，可以用直線過定點(diǎn)來變相考查斜率問題.

(1)略；

(2)過點(diǎn)A(-4,0)的直線l與橢圓C1交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E.當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線EN是否經(jīng)過一定點(diǎn)？請(qǐng)判斷并證明你的結(jié)論.

【分析】(2)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l與橢圓C1交于M,N兩點(diǎn)，則M,N兩點(diǎn)為橢圓C1的左、右頂點(diǎn)，因此點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E是點(diǎn)M本身，所以直線EN與x軸重合，由此可得直線EN若經(jīng)過一定點(diǎn)，定點(diǎn)一定在x軸上，可設(shè)為T(x0,0).由題意可知，kTM=-kTE，然后根據(jù)kTE=kTN，結(jié)合韋達(dá)定理求出x0的值.

4.結(jié)束語

以考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為落腳點(diǎn)命制試題時(shí)，圍繞a,b,c,e四個(gè)關(guān)鍵基本量如何建構(gòu)兩個(gè)方程上下功夫，通過建構(gòu)不同的方程來考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)和基本方法的掌握程度，不斷變換考查角度，靈活設(shè)置問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).命制此類試題可以從以下幾個(gè)方面思考如何設(shè)置問題，建立方程式:

①從考查橢圓定義的角度來命制試題；

②從考查橢圓性質(zhì)的角度來命制試題；

③從考查點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系的角度來命制試題；

④從考查直線與橢圓的位置關(guān)系的角度來命制試題；

⑤從與其他曲線相結(jié)合的角度來命制試題.

以斜率為落腳點(diǎn)來命制考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系命制試題時(shí)，可以直接考、間接考、變換考，把斜率、傾斜角、線段成比例和三角形面積等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，不斷變化命題角度，靈活設(shè)置問題考查學(xué)生知識(shí)的遷移度和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).