帶奇異系數(shù)的McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程解的存在性

李鈺靜，馬 麗，2*

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158；2.海南師范大學(xué) 海南省數(shù)學(xué)研究中心，海南 ?？?571158）

設(shè)(Ω,F,P)是完備概率空間，(Ft)t≥0是其上滿(mǎn)足通常條件的適應(yīng)流。P(Rd)是可測(cè)空間(Rd,B(Rd))上所有概率測(cè)度組成的集合，且賦予弱收斂拓?fù)?。考慮Rd上分布依賴(lài)的隨機(jī)微分方程（也稱(chēng)作McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程）：

McKean-Vlasov 隨機(jī)微分方程是系數(shù)依賴(lài)于分布的隨機(jī)微分方程，也被稱(chēng)為分布依賴(lài)的隨機(jī)微分方程或者平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程。該模型首先由Vlasov在文獻(xiàn)[1]中提出，對(duì)于粒子間存在“弱相互作用”的多粒子系統(tǒng)，粒子間的相互作用可以有效地用平均場(chǎng)來(lái)刻畫(huà)。文獻(xiàn)[2]提出了用McKean-Vlasov 隨機(jī)微分方程來(lái)刻畫(huà)Boltzmann方程。文獻(xiàn)[3]得到McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程解的分布剛好是一類(lèi)Fokker-Planck偏微分方程的廣義解。文獻(xiàn)[4]通過(guò)非線(xiàn)性Fokker-Planck 方程廣義解的唯一性得到相應(yīng)的McKean-Vlasov 隨機(jī)微分方程弱解的唯一性。反之，通過(guò)研究McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程解的性質(zhì)可以研究Fokker-Planck偏微分方程的廣義解。本文將研究McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程（1）弱解的存在性。

關(guān)于McKean-Vlasov 隨機(jī)微分方程解的存在唯一性，目前的文獻(xiàn)基本上是在擴(kuò)散系數(shù)σσT滿(mǎn)足一致橢圓（即非退化）條件下研究的。文獻(xiàn)[3]在擴(kuò)散系數(shù)一致非退化、有界、H?lder 連續(xù)、飄移系數(shù)可積的條件下，利用Zvonkin變換，通過(guò)偏微分方程解的正則性得到了強(qiáng)解和弱解的存在性，再由逐軌道唯一性得到強(qiáng)解和弱解唯一性。文獻(xiàn)[5]考慮了有共同噪聲的分布依賴(lài)的隨機(jī)微分方程，在系數(shù)有界連續(xù)和初值p階矩存在的條件下得到了弱解的存在唯一性。文獻(xiàn)[6]研究了由α平穩(wěn)過(guò)程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，當(dāng)漂移系數(shù)有界可測(cè)且關(guān)于測(cè)度利普希茨連續(xù)、關(guān)于第一個(gè)分量H?lder連續(xù)時(shí)，得到了弱解的唯一性，再由逐軌道唯一性得到了強(qiáng)解的存在唯一性。當(dāng)系數(shù)不依賴(lài)于分布時(shí)，文獻(xiàn)[7]在隨機(jī)微分方程的擴(kuò)散系數(shù)一致橢圓和H?lder連續(xù)的條件下，利用Zvonkin變換方法，通過(guò)偏微分方程解的存在唯一性及最大正則估計(jì)，得到隨機(jī)微分方程解的存在性，再由逐軌道唯一性得到解唯一性。

當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)σσT不滿(mǎn)足一致橢圓條件時(shí)，目前沒(méi)有文獻(xiàn)研究方程（1）解的存在唯一性。當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)和漂移系數(shù)不依賴(lài)于分布時(shí)，文獻(xiàn)[8]給出在非一致橢圓條件下，偏微分方程利普希茨弱解的某些正則性仍成立，然后由Prokhorov定理和Skorokhod表示定理得到弱解的存在性。

因此，本文考慮一般情況下偏微分方程解的正則性從而得到McKean-Vlasov隨機(jī)微分方程解的存在性。本文對(duì)系數(shù)的要求如下：

（H1）擴(kuò)散系數(shù)退化對(duì)每個(gè)t,x,μ→σ(t,x,μ)是弱連續(xù)的，對(duì)所有t≥0,x,y∈Rd,μ∈P(Rd)，存在c0≥1，γ∈(0,1]使得

其中||?||HS表示矩陣希爾伯特-史密特范數(shù)。

漂移系數(shù)b滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件之一。

（H2）對(duì)每個(gè)(t,x,μ) →b(t,x,μ)是弱連續(xù)，對(duì)一些(p,q) ∈J1，κ0> 0，

由文獻(xiàn)[3]知（H3）可以推出（H2）。

下面給出本文的主要結(jié)果。

本文內(nèi)容安排如下：第1節(jié)介紹符號(hào)和引理；第2節(jié)介紹二階拋物方程解的正則性；第3節(jié)給出定理1的證明。本文推廣了文獻(xiàn)[3]和[7]的結(jié)果。

1 符號(hào)和定義

則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程X滿(mǎn)足Krylov估計(jì)的X的集合。

2 二階拋物方程在(T)空間中解的正則估計(jì)

考慮R+×Rd上的二階拋物偏微分方程

定義

由式（11）兩邊同時(shí)乘上ζz(x)可得

由ηz(s)的定義和（Ha）條件知ηz(s) ≥ε> 0，并由文獻(xiàn)[12]定理13.3.10得對(duì)任意α∈[0,2)，存在常數(shù)C=C(α,d,p,c,T,λ) > 0，使得對(duì)所有z∈Rd，

因此，由文獻(xiàn)[11]引理4.1和文獻(xiàn)[12]推論13.3.11得，對(duì)任意α∈[0,2)，存在常數(shù)N> 0，有

證明的方法與文獻(xiàn)[7]定理3.1的類(lèi)似，詳見(jiàn)附錄。

3 主要結(jié)果及其證明

在證明定理1之前，需要以下引理。

由鏈?zhǔn)椒▌t易得

然后由文獻(xiàn)[14]引理2.7和式（32）得式（27）。

下面給出定理1的證明。

4 附錄

當(dāng)q

證畢。

定理2.2證明 由標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)方法[17]知，只需證明先驗(yàn)估計(jì)式（25）即可。下面將分為三步進(jìn)行證明。