函數(shù)凸性條件“弱化”的可能性探索

◎張逸輝 潘霄 徐蓮花 王利梅 (.對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)，北京 0009;.中國(guó)航天系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院，北京 00048)

《數(shù)學(xué)分析》教材(文獻(xiàn)[2])給出了凸函數(shù)的如下代數(shù)定義:

定義1 設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1,x2和任意實(shí)數(shù)λ∈(0，1)總有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), (*)

則稱f為I上的凸函數(shù)；反之，如果總有

f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，

則稱f為I上的凹函數(shù).

若將上述兩個(gè)不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)分別稱為嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù).

則y=f(x)是否仍為I上的凸函數(shù).

不妨稱滿足不等式(**)的函數(shù)為中值凸函數(shù).定義在開(kāi)(閉)區(qū)間上的函數(shù)，其凸性和中值凸性有以下幾個(gè)等價(jià)關(guān)系.

定理1(文獻(xiàn)[3]，P101) 設(shè)y=f(x)為區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則y=f(x)為[a,b]上的凸函數(shù)的充要條件是y=f(x)為[a,b]上的中值凸函數(shù).

證明:根據(jù)凸函數(shù)和中值凸函數(shù)的定義，只需證明充分性.

首先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)n，以及任意的x1,x2∈[a,b],對(duì)一切λ∈En，都有不等式(*)成立.

f(λmx1+(1-λm)x2)

≤λmf(x1)+(1-λm)f(x2)，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式(*)對(duì)λ∈Ek+1成立.

因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以對(duì)任意的x1,x2∈[a,b]，有

=λf(x1)+(1-λ)f(x2).

綜上，f(x)為[a,b]上的凸函數(shù).證畢.

定理2 區(qū)間(a,b)上的有界中值凸函數(shù)處處連續(xù).

定理2的證明見(jiàn)[文獻(xiàn)1，P288].

定理3 區(qū)間(a,b)上的可測(cè)中值凸函數(shù)處處連續(xù).

定理3的證明見(jiàn)[文獻(xiàn)4,P122].

注:由定理1、定理2和定理3可知，若f(x)為開(kāi)區(qū)間(a,b)上的有界或可測(cè)函數(shù)，則f(x)為凸函數(shù)的充要條件是其為中值凸函數(shù).

通過(guò)考察下例，我們可以看到定義在離散點(diǎn)集上的中值凸函數(shù)，即使有界，也不一定為凸函數(shù).

其中Z+代表正整數(shù)集.

若取x1,x2均為第一類(或第二類)的x，則顯然有

這個(gè)反例的構(gòu)造，靈感源于狄利克雷函數(shù).同樣地，反例的圖像也不能畫(huà)出.在這里，高等數(shù)學(xué)的抽象性得以體現(xiàn).