指向高階思維能力提升的“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)實(shí)踐

◎趙 岷 (無(wú)錫市育紅小學(xué),江蘇 無(wú)錫 214000)

前 言

受應(yīng)試教育的影響，傳統(tǒng)教學(xué)局限于低階思維，課堂注重傳遞知識(shí)和培養(yǎng)技能，忽視培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)意義是在數(shù)量的精準(zhǔn)刻畫和圖形的形象直觀之間實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，促進(jìn)解決問(wèn)題.教師可以以數(shù)形結(jié)合為載體，改善學(xué)生的思維方式，培育學(xué)生高階思維能力.

一、以“數(shù)形結(jié)合”培養(yǎng)分析性思維能力

(一)依托數(shù)意 提升抽象思維

數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的計(jì)算是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中最基礎(chǔ)的部分，是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容.由于小學(xué)生在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)常常需要借助直觀形象的材料進(jìn)行思考.教師在教學(xué)認(rèn)數(shù)和計(jì)算等有關(guān)知識(shí)時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生用圖形的結(jié)構(gòu)把數(shù)之間的關(guān)系清晰地表達(dá)出來(lái),繼而借助圖形進(jìn)行分析、比較、歸納，提升學(xué)生的抽象綜合能力.

比如，在“小數(shù)的近似數(shù)”教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)四舍五入法得到1.496億千米≈1.5億千米，1.496億千米≈1.50億千米后，因?yàn)?.5=1.50.那么“1.50比1.5更精準(zhǔn)”，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)很難理解.此時(shí)，借助圖形的形象直觀，可以幫助學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)在含義.在學(xué)生畫出數(shù)軸后，讓學(xué)生小組合作，討論思考1.5可能是哪些三位數(shù)近似的結(jié)果.1.50可能是哪些三位數(shù)近似的結(jié)果.在學(xué)生自主找出它們的取值范圍后，及時(shí)用弧線標(biāo)注.如圖1屏幕上同時(shí)呈現(xiàn)兩個(gè)數(shù)軸，進(jìn)行分析比對(duì)，學(xué)生對(duì)“1.50比1.5更精準(zhǔn)”的內(nèi)在含義就非常清晰了.

圖1

數(shù)軸是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中數(shù)形緊密結(jié)合的形象體現(xiàn)，用具體的“形”(點(diǎn))表示一個(gè)個(gè)抽象的“數(shù)”，在數(shù)形之間搭起了一座橋梁.學(xué)生通過(guò)自主查找有形的區(qū)域，使原本一些模糊的感性認(rèn)識(shí)變得清晰具體，讓抽象概念變得具體可視.

(二)理解算理 拓展推理思維

計(jì)算滲透在學(xué)生小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，是一項(xiàng)必不可缺的技能.計(jì)算教學(xué)要遵從學(xué)生已有的知識(shí)內(nèi)容和操作經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)相關(guān)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在操作實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律，在合作交流中領(lǐng)悟運(yùn)算方法，在實(shí)踐活動(dòng)中明晰運(yùn)算道理.這就要求教師清晰引導(dǎo)，步步有依據(jù)，環(huán)環(huán)合邏輯.

圖2

二、以“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)實(shí)踐性思維能力

教學(xué)設(shè)計(jì)要在學(xué)生的日常生活環(huán)境中，尋找與數(shù)學(xué)有關(guān)的信息，把現(xiàn)實(shí)情境中的條件、問(wèn)題以及它們之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成合適的圖形，再借助圖形直觀地進(jìn)行分析、推理，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的思路.

(一)借助形象 改造問(wèn)題情境

在具體教學(xué)實(shí)踐中，遇到復(fù)雜的、陌生的、不熟悉的題目，在不改變問(wèn)題結(jié)果的情況下，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化改造部分問(wèn)題情境，通過(guò)觀察圖形、化繁為簡(jiǎn)、化難為易，可以清晰地分析數(shù)量關(guān)系，最終促進(jìn)解決問(wèn)題.這種做法能夠有效地提升學(xué)生的實(shí)踐性思維能力.

以行程問(wèn)題例:南北，東西兩條路相交成直角.A距交點(diǎn)3000米處,自南向北行走，B在交點(diǎn)，自西向東行走，5分鐘后，A，B離交點(diǎn)距離相等(A未到交點(diǎn));A，B兩人繼續(xù)前行,又經(jīng)過(guò)了35分鐘,A，B和交點(diǎn)的距離再次相等.問(wèn)A每分鐘行走多少米?

這道題直接讓學(xué)生解答，題目的表述容易給學(xué)生造成困擾，思路上不能清晰整理.遇到行程問(wèn)題，學(xué)生會(huì)重點(diǎn)關(guān)注參與行程的物體(一個(gè)物體、兩個(gè)物體、多個(gè)物體)，物體的運(yùn)動(dòng)方向(相向、相背、同向)，運(yùn)動(dòng)的軌跡(直線、環(huán)形)，以便尋找物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系.這道題雖然是兩個(gè)物體參與行程，令學(xué)生困惑的是兩個(gè)物體沒(méi)有在一條直線上運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)物體之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系中沒(méi)有清晰的提示，這和學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了極大差距.教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫路徑圖，改變問(wèn)題情境，幫助學(xué)生突破思維困惑點(diǎn).改變B的行走方向，假設(shè)第一次B不是“從交點(diǎn)向正東方向行走”，而是“從交點(diǎn)向正南方向行走”會(huì)出現(xiàn)什么情況？學(xué)生通過(guò)畫路徑圖，觀察交流后發(fā)現(xiàn)：如果B改變運(yùn)動(dòng)方向，結(jié)果就會(huì)和A相遇；同理，若B再次改變運(yùn)動(dòng)方向，假設(shè)B一開始就沒(méi)有“從交點(diǎn)向正東方向行走”，而是“B從交點(diǎn)向正北方向行走”，那么最終結(jié)果會(huì)出現(xiàn)什么情況？學(xué)生繼續(xù)畫圖分析結(jié)果：A就會(huì)追上B.

通過(guò)畫路徑圖，改變B的運(yùn)動(dòng)方向，改變部分問(wèn)題情境，把學(xué)生不熟悉的兩條運(yùn)動(dòng)軌跡的條件情境改造成學(xué)生熟悉的、運(yùn)動(dòng)軌跡在一條直線上的相遇問(wèn)題或追擊問(wèn)題情境，從而把原本陌生的問(wèn)題情境轉(zhuǎn)化成熟悉的情境.

(二)基于直觀 展示真實(shí)情形

合理營(yíng)造問(wèn)題情境,通過(guò)問(wèn)題串帶動(dòng)深度探究活動(dòng),在教學(xué)過(guò)程中靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖形思考，帶動(dòng)問(wèn)題探究,明確數(shù)量關(guān)系,[3]能成功完成知識(shí)的構(gòu)建,使學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、思考能力、探究能力都得到發(fā)展.

例如，園林公司需在小區(qū)門口60米長(zhǎng)的道路一邊種樹，要求兩個(gè)樹苗之間留3米間距,道路兩端都要種樹，一共需要種樹多少棵?教師幫助學(xué)生構(gòu)建種樹情境，用手指表示樹苗，指縫表示間隔，研究樹苗和間隔的關(guān)系.基于對(duì)自身手指的理解,學(xué)生很快得出結(jié)論:樹苗總數(shù)比間隔數(shù)多1，間隔數(shù)比樹苗總數(shù)少1.如果教學(xué)止于此，那學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解是淺層的，還需經(jīng)歷問(wèn)題的深度探究過(guò)程.教師應(yīng)適時(shí)改變題目中關(guān)鍵詞語(yǔ)，將“兩端植樹”改做“一端植樹”“兩端都不植樹”“兩側(cè)植樹”.隨著題目條件的改動(dòng)，圖形需要做出相應(yīng)的變化，學(xué)生的思維在探究中逐漸深刻.分析與探究實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)歷，展現(xiàn)問(wèn)題情境真實(shí)情形的做法，將算式直觀化.看到算式可以聯(lián)想到算式，看到算式也能為學(xué)生提供解決此類問(wèn)題的抓手，培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐性思維能力.

三、以“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力

創(chuàng)造性思維就是利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、思維把表面看來(lái)互不相關(guān)的事情連接在一起，用以創(chuàng)造性地解決新問(wèn)題.創(chuàng)造思維能力的養(yǎng)成需要經(jīng)過(guò)創(chuàng)造、設(shè)計(jì)、想象、假設(shè)、發(fā)明、展示、預(yù)測(cè)等思維活動(dòng).在教學(xué)中教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用多元構(gòu)形、聯(lián)系對(duì)比等方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

(一)多元構(gòu)形 輔助創(chuàng)造思維

創(chuàng)造性思維能力就是對(duì)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)觀察，能夠準(zhǔn)確把握問(wèn)題的具體特征，轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的圖形，從而分析、理解，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.

通過(guò)畫圖，問(wèn)題直觀形象，避免了煩瑣的計(jì)算，而且結(jié)果準(zhǔn)確易得.多元構(gòu)“形”深刻體現(xiàn)了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生借助正方形的“形”把加法轉(zhuǎn)化成減法，借助圓和線段圖的“形”體會(huì)隨著加數(shù)的增加，結(jié)果越來(lái)越接近整個(gè)圖形(單位“1”)的極限思想.學(xué)生在課堂中能夠基于原有知識(shí)，用不同的圖形構(gòu)建單位“1”，并進(jìn)行深入探究，都得到了不同的結(jié)果，在匯報(bào)小組結(jié)果的過(guò)程中進(jìn)行交流、分析、評(píng)價(jià)，讓學(xué)生的創(chuàng)造性思維得到發(fā)展.

(二)聯(lián)系對(duì)比 培育創(chuàng)新思維

解決幾何圖形的問(wèn)題離不開數(shù)和算式,有時(shí)僅憑直觀觀察看不出特征和規(guī)律,需要借助運(yùn)算的過(guò)程和結(jié)果,進(jìn)行觀察、分析,發(fā)現(xiàn)本質(zhì)規(guī)律.教師在課堂上要重視方法的傳遞和提升.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法不是教師講清楚、講明白，關(guān)鍵需要學(xué)生通過(guò)觀察、操作、思考、討論、探究一系列的學(xué)習(xí)活動(dòng)，自己領(lǐng)悟出來(lái).

如圖3，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是6厘米.

(1)圓的半徑是多少厘米？

(2)兩個(gè)正方形里圓的面積各是多少？各占正方形面積的百分之幾？

(3)如果像這樣在正方形里畫9個(gè)相同的盡量大的圓，這9個(gè)圓面積的和占正方形面積的百分之幾？你發(fā)現(xiàn)了什么？

圖3

此題通過(guò)數(shù)據(jù)計(jì)算，學(xué)生可以很快得出結(jié)論：在同一個(gè)正方形里，無(wú)論畫幾個(gè)圓，圓的面積之和都占正方形面積的78.5%.如果僅僅停留在數(shù)據(jù)證明、圖形觀察階段，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，圓的個(gè)數(shù)只能是1，4，9…等完全平方數(shù).教師引導(dǎo)啟發(fā)：“請(qǐng)小組內(nèi)每個(gè)同學(xué)剪一個(gè)正方形，一起合作拼一拼，看看有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生們首先按照書上的圖形動(dòng)手操作，用四個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形.由于有上圖的知識(shí)，學(xué)生可以進(jìn)行合情推理，4個(gè)圓的面積和、9個(gè)圓的面積和，與大正方形的面積比都具有78.5%的關(guān)系.教師繼續(xù)追問(wèn)：“圓的個(gè)數(shù)一定是n2個(gè)嗎？”學(xué)生把重點(diǎn)放在圓的個(gè)數(shù)上再次開始探究.很快學(xué)生得出結(jié)論:解決這類問(wèn)題，采用分割法，只要能依據(jù)圓把正方形分成若干個(gè)小正方形，那么小圓的面積和就是小正方形面積和的78.5%.這樣正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)就不一定是n2個(gè).

圖4

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題過(guò)程中具體直觀的“形”與概括抽象的“數(shù)”相互作用、相互轉(zhuǎn)化的體現(xiàn)，這種結(jié)合可以促進(jìn)小學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)同發(fā)展.數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合，有助于培育學(xué)生分析性思維能力、實(shí)踐性思維能力、創(chuàng)新性思維能力，從而促進(jìn)提升高階思維能力.