數(shù)列求和的有效教學探究

周楊睿

摘 ?要：隨著數(shù)學課程改革的不斷深入，數(shù)列教學及其方法研究引發(fā)廣大教學工作者的密切關注。本文從一道高考題引入，強調數(shù)列在高考中的重要地位，提出數(shù)學教育的目標在于提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。其次，對于數(shù)列求和的有效教學探究，從輕容量，重剖析;觀通項，定方法;明技巧，熟運算;穩(wěn)求和，須歸納四個方面展開闡述。數(shù)列是一本難念的經(jīng)，教師應念細這本經(jīng)、念深這本經(jīng)、念透這本經(jīng)。

關鍵詞：數(shù)列;有效教學;方法

這是2021年浙江省數(shù)學高考的第20題，考查數(shù)列的相關知識點。題目不長，但綜合性強。近年來，數(shù)列在高考中已成為一道隱形的門檻，將部分學生擋之門外。一直以來，學生談數(shù)列色變，原因有二：一是等差數(shù)列、等比數(shù)列性質多，易混淆;二是求一般數(shù)列、非特殊數(shù)列的通項公式以及前 項和的方法多樣，題型百變，使得學生茫茫然不知所措。

新課標強調數(shù)學教育的目標在于提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界。在新課程理念下，教師應對數(shù)列這部分內(nèi)容進行有效教學與設計，使得教學效果更優(yōu)，核心素養(yǎng)培育得以落實。

一、輕容量，重剖析

數(shù)列是一本難念的經(jīng)，對于念者來說難，對于聽者來說更是難。既然如此，何不賦予這本難念的經(jīng)一些輕松的元素，引入“引言”教學。一來降低本堂課的門檻，二來減輕知識點的容量，三來提升學習的樂趣?？上驅W生介紹數(shù)列的由來，通過對一些有趣又典型的相關數(shù)學史料的講解，達到拋磚引玉的效果。

在數(shù)列的知識性教學中，教師易陷入期望學生一口吃成胖子的沼澤，教學內(nèi)容的進展往往緊鑼密鼓：回顧舊知（復習數(shù)列的前 項和與通項公式的關系）——課時訓練——典例分析（分別涉及公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和法、倒序相加法）——總結提升（方法歸納）。教學過程環(huán)環(huán)相扣，教師教學行云流水，但苦在學生毫無喘息的間隙，囫圇吞棗，難知其味。教學時不能貪大圖全，奢望在45分鐘內(nèi)將整一章節(jié)的重點全盤拋出。假若每個知識點都是重難點，則會導致學生消化不良，造成教學浪費，難以達到有效教學。

數(shù)列無疑是本難念的經(jīng)，教師要念細這本經(jīng)、念深這本經(jīng)、念透這本經(jīng)。一節(jié)課若能就其中的一兩種方法，打破砂鍋，刨根問底，效果更好。教學內(nèi)容少一點，課堂節(jié)奏慢一點，給學生更多的自我思考與練習時間。典例分析是教學環(huán)節(jié)中必不可少的一步，美其名曰分析，但許多時候，教師還未等學生看清題目、看懂題目、看透題目，就如同小馬開講般妙語連珠。學生儼然成了丈二和尚，摸不著頭腦。教師將這歸咎于學生的反應速度，試想，該有怎樣敏捷的反應速度才配得上這一堂新授課。就像是容器，學生本身容量就淺，一味地往里加水，稍一過量，就滿的要溢出來。教學中，教師不能急于求成，更不能全盤托出，應當有選擇性地對重點、疑點、難點問題進行剖析，才能使加入的水穩(wěn)當?shù)卮媪粼谌萜髦小?/p>

二、觀通項，定方法

對于數(shù)列求和，確定求和方法是首要條件，學生往往就卡在這首要步驟，停滯不前。在教學本堂課時，教師應針對性地訓練學生的觀察能力。在給出數(shù)列的通項公式后，讓學生深入思考，識別該通項公式所屬類型，進而選擇相應的求和方法。

（一）公式法

等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式易辨認。利用已嚴格推導出的等差數(shù)列、等比數(shù)列前 項求和公式直接進行求和，關鍵在于公式的準確記憶，并能根據(jù)題目所給條件對于公式進行選擇。

注：根據(jù)函數(shù)圖象的對稱中心確定該函數(shù)橫坐標與縱坐標滿足的式子，抓住數(shù)列距首末兩項“等距離”的兩項之和為定值，計算前2019項和。此外，牢記數(shù)列的本質是特殊的函數(shù)，重視函數(shù)思想的應用。

三、明技巧，熟運算

數(shù)列求和方法的考查，是浙江省高考中每年都會考查的重點內(nèi)容，上文已經(jīng)對數(shù)列求和的重點方法進行總結。求和的過程中，技巧性較強，針對不同通項公式的數(shù)列，選擇相對應的求和方法。在學生尚未達到靈活運用的階段前，教師可將技巧刻板化，先使學生學會模仿，熟能生巧之后，可創(chuàng)造性發(fā)揮。在教學中，作為高頻考點的、且正確率低的錯位相減法和裂項相消法應作為教學的重點，前提是在等差數(shù)列和等比數(shù)列求和的基礎之上進行，使學生真切地理解這些方法的本質——構造相同項，化繁為簡。對于錯位相減法，要使學生理解什么是錯位？錯位體現(xiàn)在哪一步驟？以及化簡的過程最易出現(xiàn)失誤。對于裂項相消法，抵消的規(guī)律是什么？抵消之后余下的項是什么？光聽不練是假把式，紙上得來終覺得淺顯。學生沒有獨立思考的時間，沒有動手練習的機會。由此造成的是每一種求和方法的應用都只是過眼、過耳但不過腦、不過心。課堂教學之外，要在課外練習中針對這些技巧性強、計算復雜的步驟進行反復訓練。明確一點，解題能力是訓練出來的，解題技巧是積累出來的。

筆者曾對所任教的班級進行統(tǒng)計，對于利用錯位相減法求數(shù)列 的前 項和這道測試題，全班共42位同學，22位同學正確，余下的未做對的20位同學的解答步驟究其錯因，全部在于化簡過程出現(xiàn)失誤?？梢娫谡莆涨蠛图记傻幕A之上，計算以及化簡能力的練習是多么重要。

四、穩(wěn)求和，須歸納

“沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方?！?/p>

——[美]G.波利亞

數(shù)學與解題[2]緊密聯(lián)系，在實際的課堂教學中，每一節(jié)課都伴隨著解題，解題鍛煉學生的思維，解題能力的高低也是表現(xiàn)學生數(shù)學能力高低的一種形式，因此對于解題方法的研究與掌握顯得格外重要。

無論小學、初中還是高中階段，題海戰(zhàn)術都是一種有效的戰(zhàn)術，但一味地做題，不對解題方法與策略進行總結和反思，那就成了死做題，事倍功半而不是巧做題，事半功倍。這就要求教師應對數(shù)列求和的重點及難點進行剖析和歸納。剛入門的高一學生，歸納總結能力較弱，需借助我們數(shù)學教師的力量。什么樣的題型對應什么樣的方法，什么樣的方法能夠解決什么樣的題型，教師首先該成竹在胸，面對學生傳授知識經(jīng)驗，進一步使學生了然于心。否則，博觀不能夠約取，厚積不能夠薄發(fā)。

對于數(shù)列求和，不妨做這樣的總結：

數(shù)列求其和，方法誠可貴。

技巧銘于心，厚積而薄發(fā)。

參考文獻：

[1]姚宏遠.提高學生解決數(shù)列問題能力的方法研究[D].西安：西北大學，2017.

[2]崔錦.高中數(shù)列教學及解題研究[D].昆明：云南師范大學，2016.