本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)提升學(xué)生創(chuàng)新能力探究

路鋒杰

【摘要】知識(shí)的本原性是數(shù)學(xué)概念的根源或構(gòu)成的最根本屬性，對(duì)本原性的思考凸顯為一種刨根問(wèn)底的探尋精神，始終把理解知識(shí)的本質(zhì)作為首要問(wèn)題.從課堂教學(xué)的角度可以理解為以變式教學(xué)為載體，深化知識(shí)本原性的觀念、思想和方法.本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)，可以強(qiáng)化學(xué)生的雙基，內(nèi)化知識(shí)，提高課堂的教學(xué)效果，落實(shí)新課標(biāo)的核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】本原性問(wèn)題;變式教學(xué);創(chuàng)新能力

【基金項(xiàng)目】本文為甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度一般課題“本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的行動(dòng)研究”階段性研究成果，課題立項(xiàng)號(hào)GS[2020]GHB1992.

本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)是指在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)變更高中數(shù)學(xué)概念非本質(zhì)的特征、改變問(wèn)題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問(wèn)題的形式或內(nèi)容，有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探究變的規(guī)律的一種教學(xué)方式.本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)是通過(guò)一個(gè)問(wèn)題的變式達(dá)到解決一類問(wèn)題的目的，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)雙基，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)習(xí)的能力都具有很好的積極作用.

一、挖掘知識(shí)概念本質(zhì)，強(qiáng)化雙基

新課標(biāo)倡導(dǎo)教師不僅要教會(huì)學(xué)生概念，還要讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)體會(huì)透過(guò)現(xiàn)象觀察本質(zhì)，真正理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).課堂中，教師應(yīng)通過(guò)變式教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)從不變的本質(zhì)中探究變的規(guī)律，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，最后回歸教材，強(qiáng)化雙基，構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂.學(xué)習(xí)“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系”這節(jié)課時(shí)，教師應(yīng)先講清楚函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生理清兩者內(nèi)在的邏輯關(guān)系，再改變題目中的已知條件或所求結(jié)論，激發(fā)學(xué)生的思維，創(chuàng)設(shè)活躍的課堂氛圍，學(xué)生通過(guò)互動(dòng)交流，分享心得體會(huì)，強(qiáng)化雙基.

例1 若函數(shù)h（x）=ln x-12ax2-2x（a≠0）在[1，4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

教師分析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞減，只需令導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上恒小于等于零即可.學(xué)生按照教師的分析很快得到以下解答過(guò)程.

學(xué)生解答：因?yàn)閔（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，h′（x）=1x-ax-2≤0恒成立，即a≥1x2-2x恒成立.令G（x）=1x2-2x，所以G（x）max=-716（此時(shí)x=4），所以a≥-716.又因?yàn)閍≠0，所以a的取值范圍是-716，0∪（0，+∞）.

變式1 若函數(shù)h（x）=ln x-12ax2-2x（a≠0）在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

教師分析：本題是例1的變式，改變?cè)囶}的條件，屬于二級(jí)變式，鍛煉學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用，尤其是存在單調(diào)區(qū)間，學(xué)生容易出錯(cuò).教師通過(guò)這樣的變式教學(xué)體現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，使學(xué)生加深對(duì)概念的理解.

學(xué)生解答：因?yàn)閔（x）在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h′（x）≤0在[1，4]上有解，所以當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，a≥1x2-2x有解，而當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，令G（x）=1x2-2x，G（x）min=-1（此時(shí)x=1），所以a的取值范圍是[-1，0）∪（0，+∞）.

變式2 若函數(shù)h（x）=ln x-12ax2-2x（a≠0）在[1，4]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

教師分析：本題通過(guò)對(duì)例1的條件再次改變，讓學(xué)生更為清楚地理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓課堂更加“熱鬧”.學(xué)生在交流中理解知識(shí)的本質(zhì)，培養(yǎng)核心素養(yǎng).

學(xué)生解答：因?yàn)閔（x）在[1，4]上不單調(diào)，所以h′（x）=0在[1，4]上有解，即a=1x2-2x=1x-12-1在[1，4]上有解，令G（x）=1[]x2-2[]x，則-1≤G（x）≤-716.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1，-716.

教師點(diǎn)評(píng)：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的方法.

1.可導(dǎo)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.2.可導(dǎo)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍.

3.若已知f（x）在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍.

二、多維視角變式教學(xué)，落實(shí)新課標(biāo)的核心素養(yǎng)

變式教學(xué)實(shí)際上是根據(jù)高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容、授課對(duì)象和教學(xué)環(huán)境形成的一種綜合性教學(xué)方法.變式教學(xué)以本原性知識(shí)問(wèn)題為背景，通過(guò)題型有限的變式訓(xùn)練達(dá)成解決無(wú)限的舉一反三的目的，這種教學(xué)可以優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，構(gòu)建和諧的課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，從而落實(shí)新課標(biāo)的核心素養(yǎng).

例2 △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asinA+C2=bsin A，a=1且c=1，求△ABC的面積.

教師分析：本題主要考查三角函數(shù)與解三角形方面的知識(shí)，是一道非常經(jīng)典的試題，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)有很大的幫助.

學(xué)生解答：由題設(shè)及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.故∠B=60°.S△ABC=12acsin B=12×1×1×sin60°=34.

變式1 若本例中的條件a=1且c=1變?yōu)閎=1，求△ABC面積的最大值.

教師分析：改變上題中的條件，題目轉(zhuǎn)化為已知一角及一邊，求面積的最大值，利用正、余弦定理和基本不等式可以順利解答，培養(yǎng)了學(xué)生的基本運(yùn)算能力.