培育學(xué)生高階思維的有效路徑：分眾教學(xué)

孔德宇

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)課堂的核心任務(wù)是培育學(xué)生的高級(jí)思維.如何很好地完成這一核心任務(wù)是一線教師一直關(guān)注的話題.筆者認(rèn)為，分眾教學(xué)能有效實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo).筆者以數(shù)學(xué)概念課“分式”為例，詳細(xì)闡述了這一觀點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】高階思維;分眾教學(xué);概念課

【基金項(xiàng)目】本文系無(wú)錫市教育科研“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題《農(nóng)村初中基于學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的分眾教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究》（課題編號(hào)A/B/2016/002）及作者江陰市教師專項(xiàng)2020年度課題《初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中學(xué)生高階思維培育的研究》的階段性研究成果.

數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)上是思維的教學(xué)，如何提升學(xué)生的思維能力是課堂教學(xué)的核心話題.筆者以數(shù)學(xué)概念課“分式”（蘇科版）的教學(xué)為例，闡述個(gè)人觀點(diǎn)，以饗各位讀者，不到之處還請(qǐng)批評(píng)指正.

一、教材說(shuō)明及分析

蘇科版教材八年級(jí)下冊(cè)“分式”是繼有理數(shù)、整式運(yùn)算、一次方程（組）、一次函數(shù)之后的內(nèi)容.前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是線性的呈現(xiàn)，依據(jù)數(shù)→式→方程→函數(shù)的脈絡(luò)展開(kāi)研究，對(duì)分式的研究應(yīng)與前面的路徑一致，該部分內(nèi)容為今后學(xué)習(xí)方式方程、反比例函數(shù)等做了鋪墊.

二、教學(xué)過(guò)程及說(shuō)明

1.激活經(jīng)驗(yàn)

請(qǐng)同學(xué)回顧初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與式的一般過(guò)程.

說(shuō)明：①讓學(xué)生體會(huì)：由小學(xué)里的算術(shù)數(shù)引進(jìn)負(fù)數(shù)，走到初中的有理數(shù)，完成代數(shù)的第一次飛躍;由初中里的將數(shù)用字母表示到初中里的式，從特殊到一般，完成代數(shù)的第二次飛躍.②數(shù)與式的體系的擴(kuò)充是代數(shù)學(xué)習(xí)的一條主線之一，學(xué)生已經(jīng)有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生通過(guò)對(duì)已有數(shù)、式體系的回顧和整理，明確了數(shù)學(xué)研究的一般性研究方法.③數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般都經(jīng)歷概念的引入—概念屬性的歸納—概念的明確表示—概念的辨析—概念的鞏固應(yīng)用等過(guò)程，這些過(guò)程對(duì)學(xué)生的思維提出了不同的要求.而在分式概念的引入過(guò)程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)行不同程度的參與，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入分析，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的差異性與一致性，嘗試將同類對(duì)象的共同特征準(zhǔn)確表征，提升學(xué)生的高階思維.④根據(jù)學(xué)生認(rèn)知能力的差異性，實(shí)行分眾學(xué)習(xí)的方式，將認(rèn)知能力相近的學(xué)生組成合作小組，進(jìn)行對(duì)數(shù)與式體系的擴(kuò)充，確保各個(gè)層次的學(xué)生能得到不同的提升，通過(guò)學(xué)生的展示交流和老師的總結(jié)提煉，形成數(shù)與式研究的主線.

2.創(chuàng)設(shè)情境，獲得概念

問(wèn)題1

（1）某工廠x小時(shí)完成100套零件，那么平均每小時(shí)完成套零件;

（2）某人a小時(shí)行駛100千米，那么平均每小時(shí)行駛千米;

（3）A，B兩地之間的路程是s千米，甲、乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，甲的速度是每小時(shí)x千米，乙的速度是每小時(shí)y千米，那么經(jīng)過(guò)小時(shí)兩人相遇;

……

分析上述代數(shù)式的特點(diǎn)，比較結(jié)果與整式有什么區(qū)別.

說(shuō)明：①教學(xué)中，通過(guò)問(wèn)題情境，得出下列式子：100x，100a，sx+y等，讓學(xué)生尋找這些代數(shù)式的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，采用類比教學(xué)的方法，讓學(xué)生觀察分?jǐn)?shù)與分式的區(qū)別，重點(diǎn)體現(xiàn)在分母是否含有字母這一關(guān)鍵點(diǎn)，從而歸納出分式的基本概念.②讓學(xué)生體會(huì)到類比是研究數(shù)學(xué)的一種基本方法，是從已知知識(shí)體系引入未知知識(shí)體系的重要方法.教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生充分討論，尋找式子的聯(lián)系與區(qū)別，引出分式的概念.③從整式到分式，是學(xué)生知識(shí)體系的一個(gè)提升，也是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一個(gè)提升.在此處，教師可通過(guò)概念課教學(xué)展現(xiàn)知識(shí)的生成性、延續(xù)性，體現(xiàn)知識(shí)體系的生長(zhǎng)性，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性.

3.深入研究，明晰概念

例1 下列式子中，哪些是整式，哪些是分式？

（1）-3ab;（2）sa;（3）pm-n;（4）x2-y23;（5）35+y;（6）0;（7）3aπ;（8）x-660.

說(shuō)明：①讓學(xué)生運(yùn)用分式的概念辨析上述代數(shù)式是不是分式，使學(xué)生進(jìn)一步了解概念的外延與內(nèi)涵，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解.②對(duì)不同的學(xué)生提出不同的要求，對(duì)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生只要求能識(shí)別上述代數(shù)式是不是分式，但對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，應(yīng)該引導(dǎo)他們自己寫一些代數(shù)式.③為了提升學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展，在該環(huán)節(jié)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生寫出不一樣的、結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的分式，從而思維能力較好的學(xué)生從依葫蘆畫瓢的思維狀態(tài)提升到信手拈來(lái)的狀態(tài).

例2 分式ab-1可表示不同的實(shí)際意義，請(qǐng)舉例說(shuō)明.

說(shuō)明：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又高于生活，在實(shí)際生活中，本例中的模型隨處可見(jiàn)，譬如經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，商品的單價(jià)等于商品的總價(jià)除以商品的數(shù)量;行程問(wèn)題中，速度等于路程除以時(shí)間;工程問(wèn)題中，工作效率等于工作總量除以工作時(shí)間等.

4.拓展延伸，強(qiáng)化概念

問(wèn)題2 將x取一個(gè)你喜歡的值，并求代數(shù)式x-1x+1的值.

說(shuō)明：①求代數(shù)式的值是研究代數(shù)式的重要環(huán)節(jié)，能體現(xiàn)代數(shù)式的一般意義，即代數(shù)式中字母取不同的值，則代數(shù)式的值不一定相等.運(yùn)用字母表示數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象與簡(jiǎn)化，而代數(shù)式則是對(duì)實(shí)際問(wèn)題特定數(shù)量關(guān)系的表達(dá)，對(duì)代數(shù)式中字母取具體的值就是將代數(shù)式具體化的過(guò)程，體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想.該環(huán)節(jié)能幫助學(xué)生具體理解數(shù)量之間的關(guān)系，特別是在對(duì)x取不同值的時(shí)候，讓學(xué)生體會(huì)用代數(shù)式表達(dá)相同數(shù)量關(guān)系的重要性、簡(jiǎn)潔性、抽象性.②教師在處理該環(huán)節(jié)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生取不同類型的數(shù)，確保研究對(duì)象多樣性的同時(shí)，更好地體現(xiàn)代數(shù)式中數(shù)量關(guān)系的普適性.③教師在引導(dǎo)學(xué)生取不同值的時(shí)候，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式的值為零;當(dāng)x=-1時(shí)，代數(shù)式無(wú)意義等.此時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，歸納代數(shù)有無(wú)意義或值為零的一般性規(guī)律，并給出下列題組促進(jìn)學(xué)生對(duì)上述知識(shí)的理解與運(yùn)用.

例3 （1）對(duì)于分式x-22x-3：①當(dāng)x時(shí)，分式無(wú)意義;②當(dāng)x時(shí)，分式有意義;③當(dāng)x時(shí)，分式的值為零.

（2）對(duì)于分式x2-4x-2：①當(dāng)x時(shí)，分式無(wú)意義;②當(dāng)x時(shí)，分式有意義;③當(dāng)x時(shí)，分式的值為零.