數(shù)學(xué)知識建構(gòu)之“數(shù)的運算”

江蘇省南京市秦淮區(qū)第一中心小學(xué) 李玉榮

六年級下冊數(shù)學(xué)的總復(fù)習(xí)，是對小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作全面的梳理、反饋、提高，既是對小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的檢驗與總結(jié)，又是對教與學(xué)不足的進一步彌補，還是對今后學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的鋪墊、夯實，有著重要的意義。

“數(shù)的運算”是小學(xué)數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域板塊之一，既是重點，也是部分學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。這里“數(shù)”的領(lǐng)域主要是指整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)。“數(shù)的運算”也常在平時的練習(xí)與檢測中困惑著學(xué)生、教師和家長：時而出錯、達成率不高；又常被視作“輕微”的小問題忽略，僥幸寄希望于下次計算中“注意或細心”。然而，這看似算不上的“問題”，并非通過一兩次“點撥”或“注意”即可杜絕的，即便引領(lǐng)學(xué)生通過錯題的積累、歸類、反饋，也常常難以百分百達成。

在教與學(xué)的實踐探究中，教師可從以下幾個方面關(guān)注、嘗試、引領(lǐng)學(xué)生自主梳理，進一步實現(xiàn)“數(shù)的運算”的建構(gòu)、深化。

一、數(shù)的意義

數(shù)是對數(shù)量的抽象。整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)都與生活密切相關(guān)，從生活角度、實際情境中感悟并理解其意義，易產(chǎn)生興趣、加深印象。

整數(shù)是用來表示物體具體數(shù)量的，如0、1、2等，這樣的數(shù)屬于整數(shù)。當整數(shù)不能表示事物的數(shù)量時，我們需要用小數(shù)來表示。如把某物體平均分成10份，取這樣的7份表示0.7，這樣的一位小數(shù)也表示一個數(shù)的十分之幾；把某物體平均分成100份，取這樣的17份表示0.17，這樣的兩位小數(shù)也表示一個數(shù)的百分之幾；以此類推，小數(shù)的意義就不難理解了。

在小數(shù)的基礎(chǔ)上，我們也可以用分數(shù)來表示事物的數(shù)量。如把1塊圓形蛋糕平均分給3個小朋友，1個小朋友分得的量，需要用分數(shù)表示，即把單位“1”（整數(shù)“1”、1個物體、1個長度、1個整體等的統(tǒng)稱）平均分成若干份（不一定是10、100份），表示這樣的一份或幾份的數(shù)即為分數(shù)。

分數(shù)可以看作小數(shù)解決問題的補充與延伸，尤其解決了平均分中除不盡的問題。學(xué)生可以結(jié)合具體情境感悟分數(shù)。然而，整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)三者并非獨立存在，而是有一定關(guān)聯(lián)，還可以相互轉(zhuǎn)化，如3=3.0=。

二、算的意義

算的重點在于理解算理、掌握算法。先從“四則運算”來看，即加法、減法、乘法、除法，即整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加、減、乘、除四種運算。通常，減法可以視作加法的逆運算，除法可以視作乘法的逆運算。

加法意義是運算的起點，將兩個或兩個以上的數(shù)或數(shù)量合并成一個數(shù)或數(shù)量的運算。

既然減法為加法的逆運算，就不難推出減法的意義，即已知兩個數(shù)或數(shù)量的和與其中一個加數(shù)（或數(shù)量），求另一個加數(shù)（或數(shù)量）的運算。

乘法的意義中，整數(shù)乘法關(guān)聯(lián)著加法，表示相同加數(shù)和的簡便運算，如“8×5”可以表示5個8相加或8個5相加。小數(shù)乘法是求一個數(shù)的十分之幾、百分之幾，或幾倍是多少，如“5×0.4”或“5×1.4”。分數(shù)乘法中，分數(shù)與整數(shù)相乘（如）表示求幾個相同分數(shù)的和的簡便運算；一個數(shù)與分數(shù)相乘（如均可以表述：求一個數(shù)的幾分之幾是多少。

根據(jù)除法是乘法的逆運算，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的除法意義均可以表述：已知2個數(shù)積與其中1個因數(shù)，求另1個因數(shù)的運算，也可以根據(jù)不同問題情境具體理解、闡述。

明確“算”的意義，可以幫助我們在解決實際問題時，提供列式的依據(jù)。如求一個數(shù)的幾分之幾是多少，可以列式“一個數(shù)”ד幾分之幾”進行解答；也為解方程、解比例時，提供了數(shù)量關(guān)系的依據(jù)。如可以把25%x看作減數(shù)，根據(jù)“減數(shù)=被減數(shù)- 差”進行解方程；再如

三、算的方法

（一）一步計算

一步計算（豎式計算）是運算基礎(chǔ)，關(guān)聯(lián)著兩、三步計算的達成率，十分重要！

首先，整、小數(shù)加、減法豎式計算中，要數(shù)位對齊（小數(shù)點對齊），即計數(shù)單位相同時才能加減：從個位算起、滿十進一（退一當十）?！皩R”還要體現(xiàn)于計算中步驟、結(jié)果的呈現(xiàn)，書寫規(guī)范、工整之美關(guān)乎正確率。

其次，分數(shù)加、減算法中，理解、轉(zhuǎn)化使分母相同，即分數(shù)單位相同，再進行計算；即需要把分母不同（異分母）利用分數(shù)基本性質(zhì)通分成分母相同，才能計算。

乘法中，整數(shù)乘法的每一步算理，將是小數(shù)乘法的基礎(chǔ)。豎式中，通常數(shù)位多的寫首行，數(shù)位少的寫第二行，末尾對齊（末尾有0可以先讓非0的數(shù)對齊，最后在積的末尾補上同個數(shù)0），從第二行數(shù)的個位起依次乘第一行從低位到高位的數(shù)，積寫在第二行所乘數(shù)位的下方，最后將乘的積相加，須弄清每一步相乘所得積的含義。

小數(shù)乘法，根據(jù)積的變化規(guī)律，遷移成整數(shù)乘法，不難掌握。分數(shù)乘法都可以統(tǒng)一為“分數(shù)×分數(shù)”的方法進行計算。

除法中以整數(shù)除法為基礎(chǔ)、重點。步驟要點：①從高位算起，有余數(shù)可以與低一位的數(shù)組合繼續(xù)除；②除到哪一位，商就寫在那一位上面（表示有多少個這樣的計數(shù)單位）。

小數(shù)除法可以遷移為整數(shù)除法：其一，除數(shù)是整數(shù)，按照整數(shù)除法計算，商的小數(shù)點和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；其二，除數(shù)是小數(shù)，利用商不變性質(zhì)，把除數(shù)變成整數(shù)（被除數(shù)需要同時變）再計算。如“19.8÷12”與“19.8÷1.2”，學(xué)生可以在豎式計算的過程中，體會其算理及算法。

只要把握好加法、減法、乘法、除法中各自的法則及對其能進行有效遷移，算的方法就不難駕馭了。

（二）多步計算

一般包含：同級及連算、同級及混算、不同級混算（含四則混合運算）。

整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)同級及連算或混算，均要按從左到右、依次計算。但分數(shù)的連加、連減、加減混合，需要先統(tǒng)一計數(shù)單位（通分），再計算；分數(shù)連乘、連除或乘除混合，通常把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再約分，一次性計算（分子相乘作分子、分母相乘作分母）。這里需要強調(diào)“依次”與“一次”計算的不同，“一次性計算”只用于分數(shù)乘除混合時，把除以一個數(shù)轉(zhuǎn)化成乘以這個數(shù)的倒數(shù)后，能約分的，先約分再計算。如

整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)不同級混算及四則混合運算，順序易得：①先進行乘除運算，再進行加減運算；②有括號先算括號里的；③同一級的運算，從左到右、依次計算。實踐易錯，需要遞等步驟，準確、規(guī)范呈現(xiàn)運算順序，不要過多或過少。這里的“多”與“少”的相對標準，需要教師引導(dǎo)及示范，通常遞等依次呈現(xiàn)：先算的那一步或同時計算的那兩步結(jié)果，其他步驟不變遞下來，也就是過程呈現(xiàn)與運算的順序能對應(yīng)、同步。

（三）簡便計算

根據(jù)教材及延展，簡算類型可歸納為“2 3 2”，即加法的交換律、結(jié)合律；乘法的交換律、結(jié)合律、分配律；減法性質(zhì)：“連續(xù)減去兩個數(shù)”等于“減去兩個數(shù)的和”，“減兩個數(shù)的差”等于“先減第一個數(shù)再加第二個數(shù)”。如37.56-（12-2.44）=37.56-12+2.44=37.56+2.44-12=40-12=28；除法性質(zhì)：“連續(xù)除以兩個數(shù)”等于“除以兩個數(shù)的積”，“除以兩個數(shù)的商”等于“先除以第一個數(shù)，再乘第二個數(shù)”。如12.5÷（20÷8）=12.5÷20×8=12.5×8÷20=100÷20=5。學(xué)生不僅要知道其分類，還要知道其各類型的含義，且能舉實例感悟其簡便。

運算定律運用目的是讓計算變得簡便，盡可能湊整或轉(zhuǎn)化成較小的數(shù)，不可以為了“簡便”繞彎子，反而增加出現(xiàn)錯誤的可能性。學(xué)生要學(xué)會觀察算式與運算定律的互逆關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)特征。相對困難的運算除了乘法分配律及“減法與除法”的兩個性質(zhì)，還有“變式”方面的簡算。如，整數(shù)與分母相近（相差1），學(xué)生可以利用乘法分配律將整數(shù)轉(zhuǎn)化為“分母-1”或“分母+1”進行簡算；再如“0.13÷0.25”，可以根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時“×4”，將除數(shù)轉(zhuǎn)化成1使計算簡便。

四、算的誤區(qū)

首先，想要實現(xiàn)數(shù)的運算較高的達成率，離不開基礎(chǔ)運算的理解與達成，離不開良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如書寫、表達、草稿等。若能規(guī)范，我們會從中受益，也能避免計算過程中看錯、算錯的現(xiàn)象發(fā)生。

其次，平時的運算積累，學(xué)生需要積累不同題型、算法，自主歸納、建構(gòu)，讓自己的運算能力不斷進階。如“17-4.8+5.2”區(qū)別于“17-（4.8+5.2）”；再如，如果理解透徹、方法得當，我們就不會盲目地“=1”；再如，通過細致觀察與分析，我們就會發(fā)現(xiàn)，分數(shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法，相等兩種數(shù)轉(zhuǎn)化成同一種數(shù)，簡便計算不再困難。

總之，計算是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在基本知識、基本方法建構(gòu)的基礎(chǔ)上，沒有那么難與可怕。在教的方面，教師可以引導(dǎo)、幫助學(xué)生樹立信心，運用梳理的計算知識、方法在平時的學(xué)習(xí)中適當練習(xí)、檢驗；在學(xué)的方面，學(xué)生可以通過平時的計算練習(xí)對梳理的知識及要點進行歸納、建構(gòu)、固化，以實現(xiàn)計算百分百達成。