中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合題答題策略研究

王兆武

【摘要】在現(xiàn)行的中考體系中，數(shù)學(xué)科目是區(qū)分度最大的，其中二次函數(shù)綜合題是拉開區(qū)分度的主要因素。文章從近十年甘肅省數(shù)學(xué)中考試題結(jié)構(gòu)類型分析入手，具體分析了二次函數(shù)綜合題中求點(diǎn)的坐標(biāo)問題的答題策略之“設(shè)”“列”“算”“查”“疑”“舍”六要素，旨在提高學(xué)生分析和解決問題的能力，力求幫助考生最終在數(shù)學(xué)考試中勝出。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);中考;二次函數(shù);答題策略

我國實(shí)行九年義務(wù)教育，初三和高一雖然只相差一級(jí)，卻是很多學(xué)生學(xué)習(xí)生涯的分水嶺，這就有形無形地提升了初中畢業(yè)會(huì)考的地位。中考之重，對(duì)所有考生乃至家庭都是不言而喻的。數(shù)學(xué)具有區(qū)分度鮮明這一特征，能否做好二次函數(shù)綜合題在很大程度上決定了考生（特別是數(shù)學(xué)成績比較好的考生）能否得到高分。一個(gè)有效的應(yīng)考策略，可以使考生擁有良好的應(yīng)試心理狀態(tài)，從而有充足的時(shí)間去檢查其他題目，并最終在數(shù)學(xué)考試中勝出。筆者結(jié)合多年數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就二次函數(shù)綜合題的解答策略談幾點(diǎn)意見，希望能幫助考生盡可能在數(shù)學(xué)考試中獲得理想的成績。

一、試題結(jié)構(gòu)類型分析

近年來，甘肅省通用數(shù)學(xué)試卷最后一道大題均為二次函數(shù)綜合題。作為最后一道上難度、拉區(qū)分度的大題，其實(shí)前面的一兩問往往并不難，具體表現(xiàn)是：共三問的題目，第一問簡單;四問的題目前兩問簡單，只需要準(zhǔn)確計(jì)算就可以得分，而后面的兩問才是真正有難度的問題。因此，能否準(zhǔn)確而又順利地解答后兩問就直接關(guān)系到考生時(shí)間充裕程度和應(yīng)考心理狀態(tài)。有了充足的時(shí)間和良好的心理狀態(tài)，考生再回頭檢查前面所做題目時(shí)，就能更容易檢查出自己的錯(cuò)誤，從而得到理想的分?jǐn)?shù)，并最終在考試中勝出。

本文就如何在二次函數(shù)綜合題目中求點(diǎn)的坐標(biāo)談幾點(diǎn)解答策略，希望能對(duì)使用甘肅省通用試卷的考生有所幫助。

二、解答策略六要素：“設(shè)”“列”“算”“查”“疑”“舍”

在二次函數(shù)問題中求點(diǎn)的坐標(biāo)，一般情況下，題目設(shè)置都不會(huì)特別簡單，解答此類題目需要綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。同時(shí)，解答的思路、方法、邏輯等也對(duì)考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力有較高的要求。筆者根據(jù)自己多年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，按照解題的順序，總結(jié)出以下六個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)——“設(shè)”“列”“算”“查”“疑”“舍”，僅供廣大考生參考借鑒。

（一）“設(shè)”就是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)

縱觀近十年數(shù)學(xué)中考，根據(jù)點(diǎn)位置的不同，可以分為兩類：第一，點(diǎn)在線段上，包括坐標(biāo)軸;第二，點(diǎn)在拋物線上。不同的位置，設(shè)坐標(biāo)的方法也不同，但所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)必須滿足直線關(guān)系式（點(diǎn)在線段上）或拋物線關(guān)系式（點(diǎn)在拋物線上），且未知數(shù)盡可能少，這樣才能保證后面所列方程是一元方程，從而減小運(yùn)算量。如：2013年可設(shè)點(diǎn)，2016年設(shè)點(diǎn)，2017年則設(shè)點(diǎn)。如果將點(diǎn)的坐標(biāo)直接設(shè)為，增加運(yùn)算量不說，還有可能會(huì)在后面的運(yùn)算中造成思維混亂。未知數(shù)設(shè)得合理與否看似是小問題，卻直接關(guān)系到解題過程是否順利，時(shí)間長短在不在計(jì)劃范圍內(nèi)，進(jìn)而影響考生心情和考試成績。因此，決不能忽視設(shè)未知數(shù)的技巧。

（二）“列”就是找等量關(guān)系列方程

找等量關(guān)系的關(guān)鍵是所求點(diǎn)需要滿足的條件。仔細(xì)研究近年二次函數(shù)綜合題目，對(duì)點(diǎn)限定的條件大體分為三類。

1.構(gòu)造特殊圖形（2012年構(gòu)造等腰梯形，2018年構(gòu)造菱形，2019年構(gòu)造等腰三角形）。構(gòu)造等腰梯形的問題比較簡單，只需要根據(jù)兩腰相等列方程，因?yàn)閮傻资俏恢藐P(guān)系，列不出方程;構(gòu)造菱形是根據(jù)邊相等列方程，沒有必要贅述;構(gòu)造等腰三角形最為復(fù)雜，要分成三種情況討論，再根據(jù)題目的其他限定條件舍去不合要求的情況。若問題中出現(xiàn)了其他特殊圖形，如直角三角形、平行四邊形等，完全可以仿照上面的分析思路列方程，形有別而神相似。

2.滿足角度或線段數(shù)量關(guān)系（2013年，2014年P(guān)O與x軸正半軸夾角等于）。這種情況的解決方法基本上都是作垂線構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)解決。線段相等的問題完全可以按照構(gòu)造特殊圖形的辦法解答，沒有本質(zhì)區(qū)別。

3.滿足某圖形面積最大或最小。面積最值問題基本上都是列出新的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值列方程求解，原因有三個(gè)方面。（1）其他方法，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)等通過自變量取值限定也有最值，但這種情形難度太低，失去了二次函數(shù)綜合題拉大區(qū)分度的設(shè)置原旨，出現(xiàn)的可能性不大。（2）面積本身就需要乘法計(jì)算，若是其中一個(gè)量變成常量，也就降低了題目的難度，相信考生能輕松解決。（3）二次函數(shù)最值問題需要清晰的思路加上正確的方法和準(zhǔn)確的計(jì)算，屬于綜合能力考查，出現(xiàn)在最后一道題中最為恰當(dāng)。需要注意的是，這種情況在題目中通常還會(huì)有其他的限定條件，如2013年、2014年為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，2015年、2016年、2018年為拋物線上某直線上方或下方一點(diǎn)，而2020年是拋物線上第三象限一點(diǎn)。這些限定都需要排根，排根其實(shí)不是增加難度，恰恰相反，是降低難度，因?yàn)榕鸥?，舍去不合題意的根就會(huì)使討論的情況變少或不需要討論，大大減小了運(yùn)算量。比如，2019年要求構(gòu)造等腰三角形的問題中，有一種情形，當(dāng)時(shí)，所得結(jié)果就不合題意，需要舍去，這就使得符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)由三個(gè)減少為兩個(gè)。這樣設(shè)置，一是為了考查考生的細(xì)心程度，二是適當(dāng)降低題目的難度，畢竟中考不是數(shù)學(xué)競(jìng)賽。

（三）“算”就是準(zhǔn)確計(jì)算

二次函數(shù)綜合題本身就是一道運(yùn)算量較大的題目，再加上考試進(jìn)行到這里，考生的精力普遍有所下降，如果只是因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤丟分的話就太不值了。計(jì)算習(xí)慣、能力好壞將直接影響得分，日常學(xué)習(xí)中一定要多加訓(xùn)練，絕不可忽視。這個(gè)問題看似小兒科，卻讓教師非常頭疼，一再強(qiáng)調(diào)，還是年年出現(xiàn)。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，由于所謂的“粗心”，在計(jì)算中丟分的學(xué)生超過半數(shù)。筆者曾經(jīng)參加了多次中考數(shù)學(xué)閱卷，考生在答題時(shí)丟負(fù)號(hào)的、把加號(hào)和乘號(hào)看錯(cuò)的，以及忘了平方運(yùn)算等令人遺憾的錯(cuò)誤屢見不鮮。所以，這里要提醒廣大考生，讀題必須仔細(xì)，特別是關(guān)鍵詞語要一讀再讀，絕不能出現(xiàn)題還沒讀完就開始解答的情形。請(qǐng)牢記，數(shù)學(xué)考試，計(jì)算務(wù)必準(zhǔn)確、細(xì)心，書寫力求工整、有序。

（四）“查”就是求出點(diǎn)的坐標(biāo)后回頭再檢查

這時(shí)候的檢查主要包含三個(gè)方面。一看點(diǎn)的坐標(biāo)是否合理，是不是滿足函數(shù)關(guān)系式，有沒有考慮到題目的限定條件等。這時(shí)，驗(yàn)算必不可少。二看位置是否合理。對(duì)于這一點(diǎn)，可以重新讀題，再審限定條件，對(duì)照題目總要求和具體的限定條件，確認(rèn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否合理。比如限定點(diǎn)在第三象限，點(diǎn)的坐標(biāo)必須是（負(fù)，負(fù)），限定在對(duì)稱軸右側(cè)的就不能出現(xiàn)在對(duì)稱軸左側(cè)，軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0等，這里不再一一列舉。三看結(jié)果是否齊全，有無遺漏。這一查對(duì)構(gòu)造等腰三角形的問題尤為重要，因?yàn)榈妊切斡腥N情況。如2019年第28題：“（2）是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。”就要分為，，三種情況來討論。其中，前兩種得到點(diǎn)的兩種坐標(biāo)，第三種所得結(jié)果不合題意需要舍去。這里既要檢查有沒有分三種情況討論，又要檢查不合題意的根有沒有舍去。

（五）“疑”是指對(duì)結(jié)果的懷疑和再檢查

在二次函數(shù)綜合題中求點(diǎn)的坐標(biāo)，一般說法是：“是否存在一點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。”實(shí)際情況是基本上沒有不存在的情況出現(xiàn)，因?yàn)椴淮嬖诘那闆r出現(xiàn)時(shí)，要么太簡單，沒有考查意義，要么太復(fù)雜，學(xué)生完成率太低，也不符合出題宗旨。若是考生得出了該點(diǎn)不存在的結(jié)果，一定要重新再做一遍，確認(rèn)結(jié)論。當(dāng)然，未來的中考中或許會(huì)出現(xiàn)不存在的情況，希望考生在中考綜合復(fù)習(xí)時(shí)做一做此類題目，積累經(jīng)驗(yàn)，做到有備無患。

（六）“舍”就是戰(zhàn)略性放棄解答這道題中難度較大的一兩個(gè)小題

在中考考場(chǎng)上，數(shù)學(xué)是為數(shù)不多時(shí)間不足的科目之一，每年都有百分之七十左右的考生因?yàn)闀r(shí)間不夠而無法完成所有題目的解答。經(jīng)過綜合復(fù)習(xí)訓(xùn)練，每一位考生都很清楚自己的時(shí)間夠不夠用，有沒有把握考滿分，搞清楚了這些問題再去做出最適合自己的抉擇，就更科學(xué)了?？荚噷?shí)際上是一個(gè)時(shí)間利用率問題，花大量時(shí)間去做一道自己沒有把握的題，不如節(jié)省出時(shí)間去做其他題目或檢查已經(jīng)做過的其他題目。事實(shí)上，數(shù)學(xué)成績的高低取決于做正確了多少道題，而不是做了多少道題，兩小時(shí)內(nèi)盡可能準(zhǔn)確地完成更多分?jǐn)?shù)的題才是我們的最高追求。所以，放棄一兩個(gè)特別費(fèi)時(shí)間且沒把握完成的小題，是考試中時(shí)間效益最大化的體現(xiàn)，這里的“舍”，是為了得到更多。

三、關(guān)于中考

都說“考場(chǎng)如戰(zhàn)場(chǎng)”，而中考考場(chǎng)上的士兵們都是一些心理還沒有完全成熟卻很自以為是的孩子，當(dāng)試卷答到最后一道題時(shí)，體力和腦力都已經(jīng)損耗了大部分，能不能得高分甚至滿分不僅僅是知識(shí)和技巧的較量，更是習(xí)慣和意志品質(zhì)的較量。因此，考前準(zhǔn)備和應(yīng)考身體狀態(tài)、心理狀態(tài)也非常重要。考試前復(fù)習(xí)要全面，牢牢抓住數(shù)學(xué)試卷中占百分之七十的基礎(chǔ)知識(shí)題和百分之二十的中檔題，就已經(jīng)基本成功了?？荚嚽白⒁庹{(diào)整良好的應(yīng)試身體狀態(tài)和輕松的心理狀態(tài)，以最好的狀態(tài)迎接考試;考試過程中仔細(xì)審題，答題時(shí)認(rèn)真計(jì)算，工整書寫;最后給自己留一點(diǎn)時(shí)間檢查一下答題卡的填涂情況，以防因小疏忽失大局。

其實(shí)，再好的策略也比不上雄厚的實(shí)力，要想在考場(chǎng)上最終勝出，學(xué)習(xí)時(shí)多用功才是正道。只有用雄厚的實(shí)力輔以良好且適合自己的應(yīng)考策略，才能在考場(chǎng)上脫穎而出。

【參考文獻(xiàn)】

鐘海青.教學(xué)模式的選擇與運(yùn)用[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006：185.

范莉花.一道初三數(shù)學(xué)壓軸題的研究與教學(xué)思考[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2018（05）：32-35.