談化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

陳曉莉

【摘要】化歸與轉(zhuǎn)化思想是一種將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問題，將抽象問題轉(zhuǎn)化成直觀問題的數(shù)學(xué)思想，也是一種基礎(chǔ)的思維策略.教師將化歸與轉(zhuǎn)化思想用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有利于開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視野，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.文章深入分析了化歸與轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵，同時(shí)結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際案例對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用展開研究，指出教師可以在預(yù)習(xí)、教學(xué)、練習(xí)、復(fù)習(xí)過程中應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想，并建議教師可以應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想設(shè)計(jì)問題、布置任務(wù)，希望為進(jìn)一步提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)持續(xù)提升提供教學(xué)參考.

【關(guān)鍵詞】化歸與轉(zhuǎn)化思想；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵能力為主.在此視域下，傳統(tǒng)專注理論知識(shí)注入的教學(xué)模式不能滿足學(xué)生能力發(fā)展、素養(yǎng)提升的學(xué)習(xí)需求，將數(shù)學(xué)思想與方法應(yīng)用到課程教學(xué)中是非常有必要的.化歸與轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想.將其應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，有利于豐富教學(xué)課堂的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生多元分析、多元思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣.教師只有認(rèn)真研究化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略，才能為學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展創(chuàng)造更多可能性.

一、化歸與轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵分析

化歸與轉(zhuǎn)化思想是一種以快速解決問題為本質(zhì)的思想，主要表現(xiàn)為學(xué)習(xí)者在研究數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采取某種方法將原問題轉(zhuǎn)化為另外的數(shù)學(xué)問題，從而降低解題難度，達(dá)到快速解決問題的目的.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，化歸與轉(zhuǎn)化思想具體體現(xiàn)為以下內(nèi)容：

第一，正反之間的轉(zhuǎn)化.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇見具有一定復(fù)雜性的數(shù)學(xué)問題，或給出的信息不完整的數(shù)學(xué)問題.如果學(xué)生在解決這種問題時(shí)應(yīng)用常規(guī)思路，那么就很難解答問題.為此，學(xué)生可以采取正反轉(zhuǎn)化的方式，由問題求解目的出發(fā)反向思考數(shù)學(xué)問題，從而在逆向推理的過程中快速找出解題切入點(diǎn).

第二，特殊與一般之間的轉(zhuǎn)化.在分析數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生可以先分析問題是否為特殊問題，如果是特殊問題，觀察問題中的特殊數(shù)量、特殊關(guān)系結(jié)構(gòu)，并對(duì)其中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)原理進(jìn)行分析，通過“推廣”的方式將特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題，從而降低問題難度.

第三，相等與不等之間的轉(zhuǎn)化.這一思想主要用于解不等式問題.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多不等問題可以借助化歸與轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)變成相等問題，比如將不等式問題轉(zhuǎn)化為求值問題、將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題等.通過將不等式問題轉(zhuǎn)化為等式問題、函數(shù)問題降低了不等式問題的抽象性，從而提高了學(xué)生的解題效率.

第四，數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化.代數(shù)問題、幾何問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主要構(gòu)成部分.在部分學(xué)生的眼里，代數(shù)問題只能用代數(shù)方法解決，幾何問題只能用幾何方法解決.然而，這樣的看法顯然是不對(duì)的.針對(duì)一些過于抽象的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生可以通過繪制解題示意圖、建立數(shù)學(xué)模型的方式簡(jiǎn)化問題，從而快速求解問題答案；針對(duì)一些過于直觀的幾何問題，學(xué)生可以通過為幾何要素賦值細(xì)節(jié)化問題，從而快速確定幾何問題的求解方向.

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）在預(yù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)用思想，激活數(shù)學(xué)思維

預(yù)習(xí)即正式教學(xué)前的自主學(xué)習(xí).將化歸與轉(zhuǎn)化思想用于高中數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)教學(xué)中，有利于解決注入教學(xué)、灌輸教學(xué)所造成的學(xué)生慣性思維的問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，主動(dòng)理解數(shù)學(xué)知識(shí).在實(shí)際教學(xué)中，教師可以根據(jù)化歸與轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵對(duì)課程教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，挖掘新課教學(xué)與過去教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，并依據(jù)具體關(guān)聯(lián)設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)問題.借助簡(jiǎn)單問題引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，接著提出復(fù)雜問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成已了解的簡(jiǎn)單問題，由此激活學(xué)生的遷移思維，提高其預(yù)習(xí)學(xué)習(xí)的效率.

比如，在蘇教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“并集、交集”一課的預(yù)習(xí)教學(xué)中，教師可以根據(jù)過去教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)回顧性問題：“你能說明子集、補(bǔ)集的概念嗎？它們各涉及了幾個(gè)集合？”通過提出這兩個(gè)問題激發(fā)學(xué)生的遷移意識(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到過去教學(xué)內(nèi)容與即將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián).之后，教師再要求學(xué)生在自學(xué)過程中思考下面的問題：“已知集合A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}，你能說出集合C與集合A，B之間的關(guān)系嗎？”這一問題較為新穎，在過去的教學(xué)中并未出現(xiàn)過.要讓學(xué)生在課前解決問題，教師可以在此過程中滲透化歸與轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生將未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題解決.比如，教師可以在導(dǎo)學(xué)案中為學(xué)生提供解題思路：“拋開集合這一限制，1，3，5是什么？2，4，6是什么？1，2，3，4，5，6又是什么？”通過給予思路讓學(xué)生感悟：1，3，5為奇數(shù)；2，4，6為偶數(shù)，1，2，3，4，5，6為正整數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)被包括在正整數(shù)的范圍內(nèi).這樣，將未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，可以確定集合C是集合A、集合B兩個(gè)集合合在一起的結(jié)果.這樣，學(xué)生能夠在轉(zhuǎn)化分析的過程中初步感受并集的內(nèi)涵，為接下來的概念學(xué)習(xí)、性質(zhì)學(xué)習(xí)以及并集與交集的深度學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

這樣，教師通過在預(yù)習(xí)教學(xué)中先后提出復(fù)習(xí)性問題、探究性問題激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生學(xué)會(huì)從轉(zhuǎn)化的角度將未知數(shù)學(xué)難題轉(zhuǎn)化為已知數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生遷移學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)效果的預(yù)習(xí)教學(xué)目的.

（二）在新知教學(xué)中應(yīng)用思想，提高數(shù)學(xué)能力

高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容具有一定的抽象性，且難度較高.如果教師只采取注入式教學(xué)方法為學(xué)生講解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)方法，很容易造成學(xué)生的淺層學(xué)習(xí)問題，不利于學(xué)生分析、判斷、應(yīng)用、創(chuàng)新能力的形成與發(fā)展.為此，教師可以將化歸與轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用于新知教學(xué)的過程中，根據(jù)思想內(nèi)涵設(shè)計(jì)教學(xué)問題，布置教學(xué)任務(wù)，由此驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)，深入分析數(shù)學(xué)問題，合作探究數(shù)學(xué)規(guī)律等，使學(xué)生在轉(zhuǎn)化問題的過程中達(dá)到深度學(xué)習(xí)的狀態(tài).

1.應(yīng)用思想設(shè)計(jì)問題，提高數(shù)學(xué)分析能力

高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容雖然具有一定的難度，但各部分教學(xué)內(nèi)容的安排具有較強(qiáng)的邏輯性，教學(xué)內(nèi)容的難度也呈階梯特征增加.這樣的教學(xué)安排為化歸與轉(zhuǎn)化思想的有效應(yīng)用提供了更多機(jī)會(huì).在實(shí)際教學(xué)中，教師可以應(yīng)用相關(guān)思想設(shè)計(jì)舊知回顧問題與新知探析問題，由問題引導(dǎo)學(xué)生從將未知轉(zhuǎn)化為已知、將一般轉(zhuǎn)化為特殊的角度出發(fā)分析新課教學(xué)內(nèi)容，探究新課教學(xué)問題，同時(shí)提高學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)分析能力.

比如，在蘇教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式”一課的教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)如下問題：

問題1：求不等式3x-2>0的解集？

這一問題涵蓋的內(nèi)容較多，包括二次函數(shù)圖像的繪制方法、一元二次方程根的求解方法、一元二次不等式解集的求解方法等.教師通過提出此問題，能夠使學(xué)生從“數(shù)”“形”兩個(gè)角度出發(fā)分析數(shù)學(xué)問題，認(rèn)識(shí)函數(shù)、方程與不等式三者之間的深度關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步提高學(xué)生轉(zhuǎn)化問題、簡(jiǎn)化問題的分析能力.

問題3：對(duì)于一個(gè)具體的一元二次不等式，我們會(huì)求解集，如果反過來，已知不等式的解集，你能求出這個(gè)不等式嗎？已知關(guān)于x的不等式x2+bx+c<0的解集為（-1，3），求實(shí)數(shù)b，c的值？

教師通過設(shè)計(jì)問題串引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行未知與已知的轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)、“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)、“正”與“反”的轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)，使學(xué)生在轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)的過程中真正理解新課教學(xué)內(nèi)容，達(dá)到內(nèi)化吸收的深度學(xué)習(xí)狀態(tài).

2.應(yīng)用思想布置任務(wù)，提高數(shù)學(xué)探究能力

任務(wù)教學(xué)是一種圍繞具體教學(xué)任務(wù)展開新知講解、對(duì)話問答、合作探究等多項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)的教學(xué)模式.將任務(wù)教學(xué)法用于高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，有益于增強(qiáng)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)主體性，進(jìn)一步加深其數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)深度.應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師可以根據(jù)思想內(nèi)涵設(shè)計(jì)探究任務(wù)，并組織學(xué)生圍繞具體任務(wù)進(jìn)行分析、思考、討論、交流，由此驅(qū)動(dòng)學(xué)生拆分任務(wù)、轉(zhuǎn)化任務(wù)、解決任務(wù)，從而鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與應(yīng)用能力.

比如，在蘇教版高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“正弦定理”一課的教學(xué)中，教師可以基于化歸與轉(zhuǎn)化思想布置探究任務(wù)：

船從港口A航行到港口C，測(cè)得AC的距離為600米，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口B航行，由于船員的疏忽沒有測(cè)得BC距離，如果船上有測(cè)角儀，是否能計(jì)算出A，B的距離？

基于此任務(wù)，教師可以組織學(xué)生討論交流，引導(dǎo)學(xué)生將具體問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題的數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題.

思路1：將任務(wù)問題轉(zhuǎn)化為已知的三角形相似的數(shù)學(xué)問題.測(cè)量角A，C，測(cè)得角∠BAC=75°，∠ACB=45°，確定計(jì)算AB兩地距離的解題目的.繪制三角形A′B′C′，使得B′C′為6厘米，∠B′A′C′=75°，∠A′C′B′=45°，量得A′B′距離約為4.9厘米，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為490米.

由具體任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，進(jìn)一步鍛煉學(xué)生遷移應(yīng)用能力.在學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)后，教師再通過追問引導(dǎo)學(xué)生將特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題，進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)分析的能力.

（三）在練習(xí)教學(xué)中應(yīng)用思想，豐富解題經(jīng)驗(yàn)

練習(xí)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要構(gòu)成部分，教師只有做好練習(xí)教學(xué)的工作，才能進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解與記憶，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)方法的掌握程度.為進(jìn)一步提高化歸與轉(zhuǎn)化思想在教學(xué)中的應(yīng)用效果，教師可以在課堂教學(xué)過程中組織練習(xí)教學(xué)活動(dòng).通過出示典型練習(xí)題、拓展練習(xí)題等多種方式引導(dǎo)學(xué)生從轉(zhuǎn)化的角度思考數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步提升學(xué)生對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)知水平，同時(shí)豐富學(xué)生應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

上述練習(xí)題均蘊(yùn)藏著較為豐富的化歸與轉(zhuǎn)化思想教學(xué)要素.教師通過組織學(xué)生分析、思考、建模解答，有助于加深學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的體會(huì)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化方法的掌握，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

（四）在復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)用思想，提升建構(gòu)水平

復(fù)習(xí)教學(xué)具有鞏固學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，提高學(xué)生記憶能力的功能.但是，傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)以抄寫教學(xué)、作業(yè)教學(xué)為主，將教學(xué)重點(diǎn)放在學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的識(shí)、記、用方面，忽略了對(duì)學(xué)生建構(gòu)能力的培養(yǎng).要想改善原有復(fù)習(xí)教學(xué)環(huán)境，教師需要將化歸與轉(zhuǎn)化思想用于復(fù)習(xí)教學(xué)中，根據(jù)思想設(shè)計(jì)綜合性強(qiáng)的復(fù)習(xí)作業(yè)，由作業(yè)驅(qū)動(dòng)學(xué)生在課后聯(lián)想、課后分析、課后關(guān)聯(lián)，進(jìn)而提升學(xué)生的關(guān)聯(lián)建構(gòu)思維水平，強(qiáng)化復(fù)習(xí)教學(xué)的效果.

比如，在蘇教版高二數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)“計(jì)數(shù)原理”一章的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)作業(yè)：

作業(yè)1：三邊長(zhǎng)分別為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)有多少？

作業(yè)2：5名成年人帶2名小孩排隊(duì)上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，共有多少種排法？

這兩項(xiàng)作業(yè)屬于生活中常見的排列組合問題.教師通過布置上述作業(yè)，可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步鍛煉學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力.同時(shí)，教師通過布置上述作業(yè)，可以進(jìn)一步驅(qū)動(dòng)學(xué)生回顧排列組合問題的解題途徑（元素、位置等），解決排列組合問題的常見題型方法（相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、分排問題直排法、定序問題除法等）.

結(jié) 語

綜上所述，將化歸與轉(zhuǎn)化思想用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于拓寬教學(xué)課堂廣度，加深課堂教學(xué)深度有著積極意義.要想在教學(xué)過程中真正發(fā)揮化歸與轉(zhuǎn)化思想的育人價(jià)值，教師需要確切掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵，同時(shí)基于學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展特點(diǎn)設(shè)計(jì)合理的教學(xué)方案，采取合理的教學(xué)方法，循序漸進(jìn)地加深學(xué)生對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識(shí).為此，教師應(yīng)不斷豐富自身知識(shí)儲(chǔ)備，不斷積累專業(yè)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)、實(shí)踐、反思的過程中不斷優(yōu)化教學(xué)課堂，從而不斷提高化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用效率.

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