2021年新高考全國I卷數(shù)學第19題的探究

廣東省中山市桂山中學(528463) 唐軍偉

一、題目及解答

題目(2021年新高考全國I 卷第19 題)記ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin ∠ABC=asinC.

(1)證明:BD=b;

(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.

該題主要考查學生的解三角形的相關知識,該題放在答題第三題,難度中等,第一問較為容易,第二問頗有新意,且極具探究性,筆者對本題進行了解法探究與結論的推廣,現(xiàn)將探究結果展示如下,望同行批評指正.

第一問的解答較為簡單,此處不再贅述,下面著重討論第二問的解法.

約定下列解法中,均假設b=BD= 3m; 由AD=2CD可得:AD= 2m,CD=m;因為b2=ac,得9m2=ac.下面的解法均采用上述的假設與分析得到的基本關系.

圖1

解法1在ΔABC中,cosC=在ΔBCD中,cosC=,故可得: 2a2?33m2+c2= 0,結合9m2=ac,可得2a2?+c2= 0,所以

若a=則cos ∠ABC=,b2=ac=同理可得cos ∠ABC=>1(舍去).綜上所述cos ∠ABC=

評注解法1 利用了兩次余弦定理來找出a與c的關系,結合b2=ac,達到了消元的目的,從而得出了cos ∠ABC的值.實際上本題在ΔABD,ΔABC,ΔBCD中任意2 個三角形,類似于上述解法利用余弦定理同樣可求出a與c的關系,相關做法由讀者自己整理.

解法2設∠ADB=θ,則∠BDC=π?θ.故在ΔABD中,c2=4m2+9m2?12m2cosθ=13m2?12m2cosθ,在ΔBCD中,

a2=9m2+m2?6m2cos(π ?θ)=10m2+6m2cosθ,由b2=ac可得b4=a2c2,故

81m4=(13m2?12m2cosθ)(10m2+6m2cosθ),化簡可得72cos2θ+42 cosθ ?49 = 0,解得cosθ=或(舍去),在ΔABC中,

此題題意告訴我們AD= 2CD,故D為AC的三等分點,而∠ABC恰為的夾角,因此我們可以考慮從向量的角度來解答此題,由此可得如下解法:

解法3依題意可得結合9m2=ac,BD=3m展開整理可得:

在ΔABC中由余弦定理可得:

由①②兩式可得: 33m2=c2+2a2,故2a2?+c2=0.以下解法同解法1.

評注解法3 從向量的角度得出了①式,實際上也可以從幾何的角度得出①式.

解法4如圖2,過C作CE//AB,CE交BD延長線于E.易知ΔABD∽ΔCED,且相似比為2,故可得:DE=CE=,∠BCE=π ?∠ABC,在ΔBCE中由余弦定理可得:accos ∠BCE,即+ 9m2cos ∠ABC,即81m2=c2+4a2+36m2cosB,在ΔABC中由余弦定理可得: 9m2=c2+a2?18m2cosB.以下解法同解法3.

圖2

對于題目所給的條件:b2=ac,使得我們不禁想起了三角形的面積公式,因此我們可得如下解法:

解法5設ΔABC的AC邊上高為h,則h=BDsin ∠ADB=bsin ∠ADB(容 易 分 析 得 到: 不 論∠ADB是否為銳角,均有此關系),又因為SΔABC=且SΔABC=可得: sin ∠ABC=sin ∠ADB,故∠ABC=∠ADB或∠ABC+∠ADB=π.

(1)若∠ABC+∠ADB=π,則∠ABC= ∠BDC,故ΔABC∽ΔBDC,由相似比可得:BC2=CA · CD,即a2= 3m2,a=√由9m2=ac可得c=故cos ∠ABC=

(2)若∠ABC= ∠ADB,則ΔABC∽ΔADB,類似于(1)的分析可得:c=cos ∠ABC=

解法5 利用了三角形的面積公式,分析出∠ADB與∠ABC的關系.有一定的巧妙性.從解法2 或者解法5,我們均可得到∠ADB=∠ABC,從而可得ΔABC∽ΔADB,那么我們不禁思考,改動該題題目的數(shù)據(jù)是否依然有ΔABC∽ΔADB呢? 此外,本題數(shù)據(jù)一般化后能得到什么結論呢?

三、試題的探究與推廣

結論1記ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b2=kac(k >0),點D在邊AC上,=u(u >0,u為常數(shù)),則uk= 1 的充要條件為: ΔABC∽ΔADB或ΔABC∽ΔBDC.

證明由=u可得:BD=ub,因為SΔABC==sin ∠ABC.設AC邊的高為h,則h=BDsin ∠ADB=ubsin ∠ADB.故SΔABC=從而sin ∠ADB,即

以下先證明充分性.由ΔABC∽ΔADB或ΔABC∽ΔBDC,可得∠ABC= ∠ADB或∠ABC+∠ADB=π.故sin ∠ADB=sin ∠ABC >0,結合 ③可得:uk=1.

再來證明必要性.由uk= 1,結合③式,可得sin ∠ADB= sin ∠ABC,所 以∠ABC= ∠ADB或∠ABC+∠ADB=π.

(1)若∠ABC= ∠ADB,則由D在邊AC上可得∠BAC=∠DAB所以ΔABC∽ΔADB.

(2)若∠ABC+∠ADB=π,則∠ABC=∠BDC,由D在邊AC上可得∠ACB=∠BCD,所以ΔABC∽ΔBDC.

該結論要注意: 點D必須在邊AC上.否則結論不成立,讀者可以思考其原因.2021年新高考全國I 卷第19 題中,相當于u=k=1,滿足uk=1.

結論1 告訴我們,在“D在邊AC上”的前提下,“ΔABC∽ΔADB或ΔABC∽ΔBDC”,“=u(u>0,u為正常數(shù))”,“b2=kac(k >0,k為正常數(shù))”這三個條件中知道任意2 個條件可以求出另外一個條件.

根據(jù)結論1,我們可以對2021年新高考全國I 卷第19 題作如下推廣:

結論2ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足以下條件:b2=kac(k >0,k為常數(shù)),點D在邊AC上,=λ(λ >0,λ為常數(shù)),=u(u >0,u為常數(shù)),uk=1,設

則有:

1.當f(λ,k)∈(?1,1),g(λ,k)/∈(?1,1)時,

2.當f(λ,k)/∈(?1,1),g(λ,k)∈(?1,1)時,

3.當f(λ,k)∈(?1,1),g(λ,k)∈(?1,1)時,

當f(λ,k)/∈(?1,1),g(λ,k)/∈(?1,1)時,ΔABC不存在.

在證明結論2 之前,我們先來看一個引理:

引理任意三個正實數(shù)a,b,c,若?1<1,則以a,b,c為長度的三條線段可以構成三角形.

證明因為<1,故(a ?b)2< c2即又因為>?1,故(a+b)2>c2即a+b > c,所以以a,b,c為長度的三條線段可以構成三角形.

結論2 的證明根據(jù)題意結合結論1 可得: ΔABC∽ΔADB或ΔABC∽ΔBDC.

設CD=m(m >0),則可得AD=λm,b=AC=(λ+1)m.

(1)若ΔABC∽ ΔADB,則由相似比可得:c2=AD · AC=λ(λ+1)m2,故c=√結合b2=kac(k >0,k為常數(shù))得:a=由

余弦定理可得: cos ∠ABC=f(λ,k)=

(2)若ΔABC∽ ΔBDC,類似可得: cos ∠ABC=g(λ,k)=根據(jù)引理可得:f(λ,k)∈(?1,1],g(λ,k)∈(?1,1] 至少一個成立時ΔABC才存在,故當f(λ,k)∈(?1,1],g(λ,k)/∈(?1,1] 時,cos ∠ABC=當f(λ,k)/∈(?1,1],g(λ,k)∈(?1,1]時,cos ∠ABC=當f(λ,k)∈(?1,1],g(λ,k)∈(?1,1]時,cos ∠ABC=或cos ∠ABC=

注在結論2 中,如果令k=1,λ=2 則可得2021年新高考全國I 卷第19 題的情形,此時f(2,1)=由結論2 可知cos ∠ABC=

對于結論2,我們令k= 1,則此時b2=ac,BD=AC,f(λ,1)=

若f(λ,1)∈(?1,1)可得:λ >若g(λ,1)∈(?1,1)可得: 0<λ<因此我們可得如下推論:

推論ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足以下條件:b2=ac,點D在邊AC上,=λ(λ >0,λ為常數(shù)),BD=AC,則有:

1.當0<λ≤時,cos ∠ABC=

相關證明留給讀者.

類似在結論2 中,可以對k,λ賦予其它不同的值可以得出其它相關的推論,限于篇幅,不再贅述.

上述對2021年新高考全國I 卷第19 題探究與推廣,讓我們充分的感受到數(shù)學的美與嚴密性,更讓我們的思維得到鍛煉.