從結(jié)構(gòu)不良到結(jié)構(gòu)良好 外接圓中先定形后定量
——例析新高考解三角形試題的命制思路與直觀解答

廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級(jí)中學(xué)(528225) 陳基耿

2020年2月,教育部考試中心發(fā)表文章[1],詳細(xì)闡述了數(shù)學(xué)考試中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題,2020年新高考I 卷第17 題顯式地考查了解三角形結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題,2021年新高考I 卷第19題解三角形問(wèn)題,在試題命制上也體現(xiàn)了從“結(jié)構(gòu)不良”到“結(jié)構(gòu)良好”的設(shè)計(jì)思路.

新高考試題的變化,需要我們提高對(duì)“結(jié)構(gòu)不良”問(wèn)題的認(rèn)識(shí),不能只停留在試題形式上的結(jié)構(gòu)不良,結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題不能只是機(jī)械的“三選一”.對(duì)于解三角形問(wèn)題,我們應(yīng)該緊緊圍繞三角形六要素“知三求三”的基本原則,即只有至少已知三角形的三個(gè)要素才有可能解三角形.若已知三角形的三個(gè)要素,在結(jié)構(gòu)上符合全等三角形判定定理,則三角形是唯一確定的,是結(jié)構(gòu)良好的;反之,該三角形“結(jié)構(gòu)不良”.這也是解三角形結(jié)構(gòu)不良試題設(shè)計(jì)的基本思路.

解答有關(guān)三角形結(jié)構(gòu)不良試題,考生需要快速鎖定最適合自己的選項(xiàng)方案,才能高效解答問(wèn)題.筆者在文[2]中提出了利用三角形的外接圓,先定形后定量的解題方法.本文再?gòu)摹敖Y(jié)構(gòu)不良”的角度對(duì)比分析新高考的兩道試題的命題設(shè)計(jì)思路,進(jìn)一步體驗(yàn)外接圓先定形后定量法,幾何直觀在解答中的優(yōu)越性和解答高效性,為“結(jié)構(gòu)不良”問(wèn)題的教學(xué)與備考提供參考.

問(wèn)題: 是否存在ΔABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

結(jié)構(gòu)分析由sinA=得a=已知C=且角C為a、b兩邊的夾角,結(jié)構(gòu)上符合全等三角形“邊角邊”的判定定理,ΔABC的形狀已經(jīng)確定,只是邊長(zhǎng)大小未知,這就是該三角形的“結(jié)構(gòu)不良”.因此,應(yīng)選擇補(bǔ)充一個(gè)長(zhǎng)度條件,使得三角形唯一確定,使三角形“結(jié)構(gòu)良好”.

條件2○csinA= 3,幾何意義表示邊b上的高為3,是最直接的長(zhǎng)度條件,補(bǔ)充該條件之后,三角形的邊長(zhǎng)大小確定,三角形唯一確定.

直觀解答定形任意三角形都有外接圓.根據(jù)同弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半,可將ΔABC視作圓O的內(nèi)接三角形,如圖1,其中圓心角∠AOB=點(diǎn)C為優(yōu)弧上的點(diǎn),角C=由sinA=,得a=可唯一確定ΔABC的具體形狀,如圖2.此時(shí),雖然三角形形狀確定,但外接圓半徑未定,即三角形邊長(zhǎng)大小未定.此時(shí),所有符合條件的不同三角形之間是相似的.

圖1

圖2

圖3

定量選擇條件2○csinA= 3,幾何意義表示邊b上的高為3,直接補(bǔ)充長(zhǎng)度條件.計(jì)算上,由正弦定理得=6,進(jìn)而易解三角形.幾何直觀上,如圖3,在RtΔBCD中,BD= 3,∠BCD=則BC= 2BD= 6,CD=√=由a=得AC=所以AD=√在RtΔABD中,解得AB=故c=本題更為詳細(xì)的分析,請(qǐng)參考文[2].

例2(2021年新高考I 卷第19 題)記ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin ∠ABC=asinC.

(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.

結(jié)構(gòu)分析從表面上看,該題并未有“三選一”的形式,并非通常意義上的“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”.然而,深入分析發(fā)現(xiàn),該試題的命制充分體現(xiàn)了從“結(jié)構(gòu)不良”到“結(jié)構(gòu)良好”的設(shè)計(jì)思路.

目前，中小制造企業(yè)也有著不少挑戰(zhàn)，比較明顯的問(wèn)題為：①過(guò)于注重關(guān)系渠道而非用戶渠道；②缺少核心業(yè)務(wù)競(jìng)爭(zhēng)力；③人力管理過(guò)分依賴命令和控制；④決策流程過(guò)于單調(diào)，未能兼顧企業(yè)發(fā)展方方面面；⑤人才激勵(lì)制度的欠缺；⑥信息化水平不高。

第(1)問(wèn)由正弦定理易于證明,結(jié)論BD=b透露了命題人的設(shè)計(jì)思路.

由b2=ac,得則直觀上有兩種可能的情形:

情形一: 如圖4,對(duì)于ΔABC和ΔADB,存在兩邊對(duì)應(yīng)成比例,即并且有A為兩個(gè)三角形的公共角,A并非對(duì)應(yīng)成比例兩邊的夾角;

情形二: 如圖5,對(duì)于ΔCBD和ΔCAB,存在兩邊對(duì)應(yīng)成比例,即并且有C為兩個(gè)三角形的公共角,C并非對(duì)應(yīng)成比例兩邊的夾角;

圖4

圖5

我們知道,相似三角形有判定定理: 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩個(gè)三角形相似.該題中以上兩種情況,公共角均非對(duì)應(yīng)成比例兩邊的夾角,因此,兩三角形并不一定相似.該題先從相似三角形判定定理的“結(jié)構(gòu)不良”出發(fā)而命制.

進(jìn)一步分析,在已有公共角的前提下,若再有一組對(duì)應(yīng)角相等,則兩個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似.事實(shí)上,由三角形面積公式S=其中設(shè)h為b邊上的高,h可由BD結(jié)合正弦進(jìn)行表達(dá),即h=BDsin ∠ADB=bsin ∠ADB,再結(jié)合b2=ac,可得sin ∠ABC= sin ∠ADB,所以∠ABC與∠ADB相等或者互補(bǔ),即有∠ABC= ∠ADB(如圖4)或者∠ABC=∠CDB(如圖5),但不能同時(shí)成立.

因此,兩種情形有且僅有一種成立,即ΔABC∽ΔADB和ΔCBD∽ΔCAB有且僅有其一成立.該題設(shè)計(jì)的相似三角形在“結(jié)構(gòu)”上進(jìn)一步“良好”.

直觀解答定形由b2=ac,得

所以0< B≤該角對(duì)應(yīng)的圓心角不大于如圖6 確定弦AC的位置.過(guò)三等分點(diǎn)D的弦,經(jīng)過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)最大,如圖7,應(yīng)有DE≥AC,因此,圓上最多有兩個(gè)點(diǎn)滿足BD=AC=b,這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線DE對(duì)稱.

圖6

在外接圓中分別“定形”這兩種情況,圖8、9 分別對(duì)應(yīng)圖4、5 的兩種情形.

定量延長(zhǎng)BD與圓交于點(diǎn)P,構(gòu)造圓的內(nèi)接四邊形.注意到,點(diǎn)D為AC三等分點(diǎn),分別由兩組圓內(nèi)相交弦產(chǎn)生的相似三角形ΔBDC∽ΔADP和ΔADB∽ΔPDC,可得

再結(jié)合題設(shè)相似三角形.

圖8

圖9

圖10

圖11

情形一:如圖10,ΔABC∽ΔADB,則有圓周角∠ACB與圓周角∠ABP相等,對(duì)應(yīng)弦也相等,所以AB=AP,即c=不妨設(shè)a= 3t,則c= 2t,b=由余弦定理,得cos ∠ABC=

情形二:如圖11,ΔCBD∽ΔCAB,則有圓周角∠CAB與圓周角∠CBP相等,對(duì)應(yīng)弦也相等,所以BC=PC,即不妨設(shè)c=3t,則a=t,b=此時(shí)t+<3t,即a+b

綜上,可得cos ∠ABC有唯一解同時(shí)也就論證了只有“情形一”是成立的,該三角形的形狀唯一確定,三角形“結(jié)構(gòu)良好”.該題體現(xiàn)了基于相似三角形的“結(jié)構(gòu)不良”到“結(jié)構(gòu)良好”的設(shè)計(jì)思路.

從“結(jié)構(gòu)不良”到“結(jié)構(gòu)良好”的角度研究高考解三角形試題的命制思路,借助外接圓先定形后定量的解題方法,可以快速優(yōu)選方案高效解答并具有直觀優(yōu)越性.對(duì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的深入學(xué)習(xí),學(xué)生能夠很好地提升能力和培育素養(yǎng).