2019年高考江蘇卷數學第12題的探究與推廣

廣東省中山市桂山中學(528463) 蔡曉波

一、題目再現

題目(2019年江蘇數學高考卷第12 題)如圖1,在ΔABC中,D是BC的中點,E在邊AB上,BE= 2EA,AD與CE交于點O.若則的值是____

圖1

該題有很多的解法,網上不難找到,故這里解答從略.

該題十分巧妙,根據題目的意思,我們不難發(fā)現,不管ΔABC是什么形狀,只要滿足D為中點且便可以求出的值.

于是,筆者不禁思考如果變動該題中E,D點的位置時,條件“中的系數該如何變動才能求出的值呢? 如果知道的值,那么能否推出與的關系嗎? 基于以上思考,筆者對該題進行探究推廣,現將探究結果展示如下,望同行批評指正.

二、相關結論

引理如圖2,在ΔABC中,若1,μ ?= 1,λμ ?= 1),直線CD交直線BE于O,則

圖2

證明取作為基底可得:故

同理可證:

圖3

結論1如圖3,在ΔABC中,若且(1?λ)(1?μ)μ >0),且則:

證明下面僅證明(1).由于所以

下面先證充分性:

下證必要性:

故(1?λ)(1?μ)= 0.故=

評注顯然,令λ=時,便可到2019年江蘇數學高考卷第12 題的模型.

該結論揭示了在知道λ,μ的情況下,如何構造中m的系數,從而可以求出的值.也揭示了在已知的情況下,可以求出中m的系數.

根據該結論,我們可以得出如下推論:

推論1.1如圖3,在ΔABC中,若(0<λ<1),E為AC中點,則有:=0 的充要條件是ΔCBD∽ΔABC.

證明由E為AC中點可得:此時2μ?λμ?1=

由結論1 可得:的充要條件是:依題意可得1?λ=故可得:等價于:注意到∠ABC=∠CBD可得:等價于ΔCBD∽ΔABC.又因為可化為故的充要條件是ΔCBD∽ΔABC.

評注顯然,ΔCBD∽ΔABC等價于BC2=BA·BD,從形式上與初中所學的直角三角形的射影定理十分相似,故在推論1.1 中,當∠ACB= 90°,且E為AC中點時,=0 充要條件為CD⊥AB.

對于推論1.1,我們不禁思考,在ΔABC中,如果D,E均為中點,是否存在滿足要求的三角形使得ΔCBD∽ΔABC與ΔBEC∽ΔABC同時成立呢? 筆者探究得出如下推論:

推論1.2如圖4,在ΔABC中,D為AB中點,E為AC中點,若ΔCBD∽ΔBEC則AB=AC且

證明因為ΔCBD∽ΔBEC,所以∠BDC= ∠ECB,即∠BDC=∠BCA,又因為∠DBC= ∠CBA,所以ΔABC∽ΔCBD,因為D為AB中點,E為AC中點,由推論1.1可得:故

圖4

同理可得:即= 0,即=0,故故可得AB=AC.

類似于推論1.2 的思考,對于結論1 中,如果三邊的比例同時滿足

那么我們不難得出如下推論:

推 論1.3在ΔABC中,若((1?λ)(1?μ)λ>0 且(1?λ)(1?μ)μ>0),點P滿足,t ∈R 且t ?= 0(m= 2μ?λμ?1,n= 2λ ?λμ ?1),若AB2:AC2:BC2=μ:λ:(1?λ)(1?μ),則點P在BC邊高所在的直線上.

證明由于AB2:AC2:BC2=μ:λ:(1?λ)(1?μ),所以

由結論1 可得:

評注在ΔABC中,我們知道,若點P滿足,t ∈R 且t ?= 0,則點P在BC邊中線所在的直線上;若點P滿足

則點P在∠BAC角平分線所在的直線上;而推論1.3 告訴了我們,知道ΔABC三邊的比例關系時,可構造出與上述兩個結論結構類似的,且點P在BC邊高所在的直線上運動的向量的關系式.

在結論1 中,對于λ,μ要求滿足(1?λ)(1?μ)λ>0 且(1?λ)(1?μ)μ>0,顯然此時λμ>0,那么如果λμ<0 呢,類似于結論1 的證明過程,筆者探究得出如下結論:

結論2如圖5,在ΔABC中,若(λμ<0),且則m=μλ+1的充要條件是

該結論的證明過程與結論1 十分類似,故這里不再贅述,相關證明留給讀者自己完成.

對于結論2,我們不難發(fā)現,當λμ=?1 時可得m=λμ+1=0,故可得如下推論:

圖5

圖6

圖7

推論2.1在ΔABC中,若(λμ=?1),則CD⊥BE的充要條件是

進一步的,我們令μ=1 時,可得:

推論2.2在ΔABC中,若則CD⊥BE的充要條件是AB=AC.

評注畫出圖像(如圖7),我們不難發(fā)現推論2.2 實際上反映的就是平面幾何定理:“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”及其逆定理.

三、利用探究,變式題目,回歸教學

根據上述探究以及相關結論,我們可以變式得出如下題目供學生練習:

練習1在ΔABC中,D是BC的中點,E在邊AB上,BE= 2EA,AD與CE交于點O,則m=____.(答案:m=6)

練習2在ΔABC中,若D在射線BA上且=0,E為AC中點,且CD⊥BE,則=____.(答案:

練習3在ΔABC中,E是AC的中點,D在AB上且滿足BC2=BA·BD,= 0,則=____.(答案:)

練習4在ΔABC中,AC=BC,cosC=若(mn ?= 0),AP⊥BC,則=____.(答案:)