回歸教材習(xí)題 反思問題本質(zhì)
——一道軌跡問題的溯源和拓展

廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080)朱清波

軌跡問題是高中數(shù)學(xué)解析幾何章節(jié)中的一個重要知識點(diǎn),它是靜態(tài)幾何與動態(tài)幾何之間的橋梁,其解決過程高度體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,在高考備考過程中,某份高考模擬試卷中有一道如下軌跡問題:

題目1如圖1,∠POQ=A,B分別是射線OP,OQ上的動點(diǎn),且|AB|= 2,M是AB的中點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡是( ).

圖1

A.圓的一部分 B.橢圓的一部分

C.拋物線的一部分 D.線段

上述問題的結(jié)構(gòu)讓人聯(lián)想到蘇教版高中數(shù)學(xué)教材2-1 第64 面閱讀材料中的“貓的運(yùn)動軌跡問題”,而人教版新教材第89 面的習(xí)題8 只是在表述上稍有不同,原題如下:

題目2(閱讀題)貓的運(yùn)動軌跡與達(dá)芬奇橢圓儀—一架立在光滑地板上的梯子,抵墻下滑,一只貓坐在梯子的正中間不動,試求在梯子下滑過程中貓的運(yùn)動軌跡.

在這一生動有趣的敘述后面,我們可以見到下面的數(shù)學(xué)問題:

(1)已知一個直角,一條長度為d的線段的兩個端點(diǎn)分別在這兩個直角的兩邊上滑動,求線段中點(diǎn)的軌跡;

圖2

圖3

(2)如果這只貓沒有坐在梯子的正中間,假設(shè)坐在梯子的四等分點(diǎn)處(靠梯子頂端),那么在梯子的下滑過程中,它沿怎樣的一條路徑運(yùn)動? 用解析法求貓運(yùn)動的軌跡.

解析對于第(1)問,如圖2,不妨用線段AB表示梯子,貓在其中點(diǎn)T處,建立如圖直角坐標(biāo)系后,設(shè)T(x,y),由|OT|=,故軌跡方程為x2+y2=(x≥0,y≥0),即軌跡為圓的一部分.

對于第(2)問,如圖3,若T是四等分點(diǎn),設(shè)T(x,y),由則,B(4x,0),由|AB|=d,則(4x)2+=d2,化簡后得(x≥0,y≥0),則軌跡是橢圓的一部分.

事實(shí)上,通過題2 能發(fā)現(xiàn),影響動點(diǎn)T軌跡“完整性”的因素在于動點(diǎn)A,B的運(yùn)動范圍,若允許A,B在兩個坐標(biāo)軸(而不僅僅是非負(fù)半軸)上自由移動時,點(diǎn)T軌跡為圓或橢圓.另外動點(diǎn)T的位置也不必一定要在線段AB內(nèi)部,在其延長線上也不影響軌跡的生成,由此可以得出如下更一般的結(jié)論:

拓展結(jié)論1在直角坐標(biāo)系xOy中,A,B分別是y軸和x軸上動點(diǎn),且|AB|=l0,設(shè)T是直線AB上一點(diǎn),滿足則T的軌跡如下:

(1)若λ=0 或λ=1 時,T的軌跡是線段;

(2)若λ ?= 0 且λ ?= 1 時,可求得T的軌跡方程為此即表明:

①若λ=時,如圖4,軌跡為圓;

②若λ ∈R?時,如圖5,軌跡為橢圓.

圖4

圖5

回到題1,顯然它是閱讀材料中“貓的運(yùn)動軌跡”問題的推廣,其難點(diǎn)在于∠POQ ?=導(dǎo)致建系求解的難度變大,如果用類似問題2 的思路來處理,其過程如下:

如圖6,建立如圖直角坐標(biāo)系,設(shè)M(x,y),B(b,0),由|AB|==4,從而

上述方程也表示M的軌跡是橢圓的一部分,但因為求解過程涉及到建系位置和方向的選取導(dǎo)致橢圓方程并不是標(biāo)準(zhǔn)形式,這對軌跡的判斷會有一定的影響.

圖6

圖7

圖8

接下來嘗試換一種思路,能否利用平面幾何知識,將題1轉(zhuǎn)化成題2 的結(jié)構(gòu)呢?

如圖7,作ΔAOB外接圓,設(shè)圓心為N,連接MN并延長交圓N于C,D兩點(diǎn),連接OC,OD.

利用正弦定理,|CD|=利用垂徑定理,C是弧AB的中點(diǎn),故∠AOC= ∠COB=則在∠POQ位置不變的前提下,射線OC位置是確定不變的,利用相交弦定理,|MA|·|MB|=|MC|·|MD|,即1×1 =解得|MC|=以O(shè)D,OC方向建立直角坐標(biāo)系,如圖8,則沿題2 的解決思路可求得軌跡方程為=1(x≥0,y≥0),故軌跡為橢圓的一部分.

將上述問題一般化后有如下結(jié)論:

圖9

圖10

圖11

拓展結(jié)論2如圖9,若∠POQ=θ0,A,B分別是射線OP,OQ上的動點(diǎn),且|AB|=l0,M是線段AB上一點(diǎn),且滿足(0<λ0<1),則點(diǎn)M的軌跡是圓或橢圓的一部分.

證明如圖10,作ΔAOB外接圓,設(shè)圓心為N,連接MN并延長交圓N于C,D兩點(diǎn),連接OC,OD.

利用正弦定理,|CD|=利用相交弦定理,|MA|·|MB|=|MC|·|MD|,即(λ0l0)×(1?λ0)l0=解得

故由

利用余弦定理,

即∠ANM為定值,而即表明∠ANM為定值,則在∠POQ位置不變的前提下,射線OC位置是確定不變的.

如圖11,以O(shè)D,OC方向建立直角坐標(biāo)系,由

令

設(shè)M(x,y),C(0,m),D(n,0),由對比可得又m2+n2=代入后可得M的軌跡方程:由基本不等式可知

這表明當(dāng)且僅當(dāng)參數(shù)對(θ0,λ0)=時,k0=從而軌跡方程表示圓的一部分;其它(θ0,λ0)(其中0< λ0<1)的取值時對應(yīng)方程均表示軌跡是橢圓的一部分.

圖12

接下來繼續(xù)探究,如果是一個平面圖形的某條邊在定角的兩邊上滑動,剩余頂點(diǎn)的軌跡問題是否有類似規(guī)律,以下以定三角形為例展開探究.

題目3如圖12,∠POQ=等邊ΔABC邊長為2,A,B分別在射線OP,OQ上運(yùn)動,則點(diǎn)C的軌跡是什么?

解析如圖13,作ΔAOB外接圓,設(shè)圓心為N,連接CN并延長交圓N于M,D兩點(diǎn),交AB于T,連接OM,OD.

利用垂徑定理可知M是中點(diǎn),則∠AOM=∠MOB=則在∠POQ位置不變的前提下,射線OM位置是確定不變的,由正弦定理可知|MD|==|AN|=|NM|,又∠ANT== ∠AOB=故|NT|=則|MT|=|MN| ?|TN|=,|CM|=|CT| ?|MT|=以O(shè)D,OM分別為x,y軸正方向建立直角坐標(biāo)系,則問題轉(zhuǎn)化為題2 和拓展結(jié)論1,可知點(diǎn)C的軌跡為橢圓一部分,其對應(yīng)方程為= 4,即=1(|x|≤1,y >0).

利用題3 的探究思路可以將問題推廣到更一般情形:

拓展結(jié)論3如圖14,若∠POQ=θ0,給定ΔABC,不妨設(shè)角A,B,C對應(yīng)的邊長分別為a,b,c,A,B分別在射線OP,OQ上運(yùn)動,則點(diǎn)C的軌跡是線段或圓或橢圓的一部分.

圖14

圖15

上述結(jié)論的證明基本思路為: 作ΔAOB外接圓,設(shè)圓心為N,連接CN并延長交圓N于M,D兩點(diǎn),利用圖14 中的輔助線,因為|AN|,|AC|和∠NAC均為定值,根據(jù)余弦定理求出|NC|和∠ANC,故∠AOM=也為定值,即射線OM位置固定;再利用|CM|=|CN|?|NM|,得到|CM|和以O(shè)D,OM分別為x,y軸正方向建立直角坐標(biāo)系,則動點(diǎn)C的軌跡問題轉(zhuǎn)化為拓展結(jié)論1,分類討論如下:

(1)當(dāng)C與ΔAOB外接圓圓心N重合時,如圖15,其軌跡為圓的一部分;

(2)當(dāng)C與M或D重合,即O,A,B,C四點(diǎn)共圓時,如圖16,其軌跡為線段;

(3)C與N,M,D均不重合時,如圖17,其軌跡為橢圓一部分.

圖16

圖17

在新課標(biāo)提出的發(fā)展學(xué)生六大核心素養(yǎng)的背景下,高中教學(xué)活動中對數(shù)學(xué)問題的解決應(yīng)超越“模式解題、題海歸納”等陳舊的應(yīng)試方式,從具體的解法中或典型錯誤中去拓展探究,逐步形成由會一題到會一類的能力;在平時的學(xué)習(xí)中,我們應(yīng)重視對數(shù)學(xué)必備知識和關(guān)鍵能力的理解,多角度思考問題,通過觀察題目結(jié)構(gòu)聯(lián)想類似的結(jié)構(gòu),由特殊到一般的去找尋規(guī)律,從學(xué)會解題轉(zhuǎn)化到學(xué)會思考,有效提升學(xué)科核心素養(yǎng).