2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試A卷第11題的探析

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

一、題目呈現(xiàn)

題目(2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(A 卷)第11 題(壓軸題))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B,C在雙曲線xy=1 上,滿足ΔABC為等腰直角三角形,求ΔABC的面積的最小值.

這是一道頂點(diǎn)在雙曲線上的三角形面積有關(guān)的計(jì)算題.本題短小精悍,綜合考查考生邏輯思維、推理論證、運(yùn)算、以及分析問題和解決問題等方面的能力,思想方面重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程和轉(zhuǎn)化與化歸思想.本題作為壓軸題起到了把關(guān)作用,對于考生運(yùn)用所學(xué)知識,尋找合理的解題策略以及推理論證、運(yùn)算能力有較高的要求,難度較大.

二、試題的官方參考答案

解答不妨設(shè)等腰直角ΔABC的頂點(diǎn)A,B,C逆時(shí)針排列,A為直角頂點(diǎn),如圖1.設(shè)= (s,t),則= (?t,s),且ΔABC的面積SΔABC==注意到A在雙曲線xy= 1 上,設(shè)A(a,),則B(a+s,+t),C(a ?t,+s).

圖1

由B,C在雙曲線xy= 1 上,可知(a+s)(+t)=(a ?t)(+s)=1,這等價(jià)于

由①,②相乘,并利用③,得

所以由基本不等式得

故s2+t2≥

以下取一組滿足條件的實(shí)數(shù)(s,t,a),使得s2+t2=(進(jìn)而由s,t,a可確定一個(gè)滿足條件的ΔABC,使得

考慮④的取等條件,有2s2t2= (s2?t2)2,即2±

不妨要求0

由①知a <0,故由③得a=其中t=從而有a=

綜上,ΔABC的面積的最小值為

評注參考答案是通過引入向量得到點(diǎn)B,C的坐標(biāo),然后利用B,C在雙曲線xy= 1 上得到方程組,消去a,得到s,t的等式,再用均值不等式得到了s2+t2的最小值.參考答案有兩個(gè)難點(diǎn): 一是如何想到引入向量求得點(diǎn)B,C的坐標(biāo),似是神來之筆,突然來之;二是利用均值不等式求s2+t2的最小值,技巧性較強(qiáng).

三、試題的深入分析與解答

下面筆者從不同視角對本試題進(jìn)行詳細(xì)分析與解答,供大家參考.

分析1注意到題目中有三個(gè)未知量以及兩個(gè)等量關(guān)系(等腰,直角),所以最自然的想法就是利用兩個(gè)等量關(guān)系建立方程進(jìn)行消元,將三個(gè)變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題.

如圖1,由于A是直角頂點(diǎn),考慮到A的特殊性,可以將ΔABC的面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù).

由于B和C的地位是“對稱”的,易知兩個(gè)條件式中b和c也是“對稱”的,因此兩個(gè)方程可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于bc和b+c的方程,從而解出bc和b+c.ΔABC的面積的表達(dá)式中也是對稱的,也可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于bc和b+c的式子.

解法1(設(shè)點(diǎn)法)如圖1,不妨設(shè)為直角頂點(diǎn),并設(shè)則有kAB=kAC=

由于AB⊥AC,故kAB ·kAC==?1,即

又因|AB|=|AC|,所以

移項(xiàng)后由平方差公式,可得

整理化簡得2a ?(b+c)=

將bc=代入上式,得2a ?(b+c)=解得b+c=

于是ΔABC的面積為

令t=a2+由b+c=可知a2?=1,從而t>2,于是S=+t=(t>2).

設(shè)f(t)=(t >2),則f′(t)=,從而可知f(t)在單調(diào)遞減,在+∞)單調(diào)遞增,所以f(t)min=所以ΔABC的面積的最小值為

評注①由t=a2+容易求得a的值,限于篇幅,不再給出求解過程.②換元后,也可以用均值不等式求面積的最小值: 由S=得

從而S≥當(dāng)且僅當(dāng)8 =t2?4,即t=時(shí),等號成立.

分析2如圖1,考慮到點(diǎn)的特殊性,還是將ΔABC的面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù).設(shè)直線AB,AC的斜率為k與通過聯(lián)立直線與雙曲線方程xy= 1,可求得B,C的坐標(biāo),再由|AB|=|AC|可以得到一個(gè)關(guān)于a,k的等量關(guān)系,利用這個(gè)等量關(guān)系消去k,使ΔABC的面積只含變量a.

解法2(設(shè)線求點(diǎn))如圖1,不妨設(shè)為直角頂點(diǎn),并設(shè)直線AB的斜率為k(k ?= 0),則直線AB的方程為y=k(x ?a)+聯(lián)立得kx2+(?ka)x?1=0,故有xAxB=又因?yàn)閤A=a,所以B(?,?ka).

又因直線AC的斜率為代替上面中的k,可得由于

且|AB|=|AC|,故可得解得k=(易知a ?=±1).

因?yàn)棣BC的面積

將k=代入,得

將k=代入,結(jié)果不變.

令t=a2+從而t>2,于是S=(t>2).下同解法1.

分析3由平面幾何知識可知,等腰直角三角形中往往蘊(yùn)含著“全等三角形”,如圖2,易得RtΔCDA∽= RtΔAEB.因此可以利用這個(gè)特性設(shè)點(diǎn)B,C的坐標(biāo),再由點(diǎn)B,C在雙曲線xy=1 上構(gòu)建等量關(guān)系,作為消元的依據(jù).不妨設(shè)為直角頂點(diǎn),并設(shè)B(a+s,+t),C(a ?t,+s).因?yàn)锽,C在雙曲線xy= 1 上,可得整理得

注意到ΔABC的面積

因此可以把a(bǔ)看作常數(shù),解出s和t;或者消去a,得到s和t之間的等量關(guān)系.

解法3(消s解t,消t解s)由得于是=?a2,解得t=由于是=?a2,解得s=所以ΔABC的面積

令m=a2+由t=可知a2?=1,從而m>2,于是S=下同解法1.

解法4 (消a,找s和t之間的等量關(guān)系)將s,t看作常數(shù),將看作關(guān)于a和的二元一次方程,解得兩式相乘,并整理可得(s2+t2)2=s2t2(t2?s2),又因(t2?s2)2+ 4s2t2=(s2+t2)2.所以

從而可得(s2+t2)6≥108(s2+t2)4,即s2+t2≥=所以ΔABC的面積S=取等條件是:

下同參考答案.

評注解法3 與解法4 很好地說明B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的關(guān)系,解題思路比參考答案更清晰.兩種解法建立在同一個(gè)解題思路上,從不同的消參角度解決問題,解法4 與官方參考答案處理方式一致,相比較而言,解法4 技巧性較強(qiáng),解法3 更易理解.

分析4如圖1,設(shè)由于A是直角頂點(diǎn),且|AB|=|AC|,是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到.若設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為s+ti,由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義,則?→AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(s+ti)(cos 90°+isin 90°)=?t+si,從而得到B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo),再由點(diǎn)B,C在雙曲線xy=1 上構(gòu)建等量關(guān)系解答.

解法5(復(fù)數(shù)法)設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為s+ti,則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(s+ti)(cos 90°+isin 90°)=?t+si,從而可得因?yàn)锽,C在雙曲線xy= 1 上,可得下同解法3 或解法4.

分析5由解法1,因?yàn)锳B⊥AC,故kAB · kAC==?1,即bc=又因ΔABC為等腰直角三角形,故∠ABC= 45°,借助“到角公式”,可得到直線AB斜率與直線BC斜率的關(guān)系,從而求得b與c,然后將ΔABC的面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù).

解法6 (到角公式)如圖1,不妨設(shè)A(a,)為直角頂點(diǎn),并設(shè)則有kAB==由于AB⊥AC,故kAB ·kAC==?1,即bc=由到角公式,有tan ∠ABC=于是將bc=代入,得= 1,解 得ΔABC的面積

令t=a2+易知a2?=1,從而t>2,于是S=(t>2).下同解法1.

分析6如圖1,設(shè)A(a,),由于A是直角頂點(diǎn),直線AC可以由直線AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到,且|AB|=|AC|.若設(shè)直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則直線AC的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),再由點(diǎn)B,C在雙曲線xy= 1 上構(gòu)建等量關(guān)系,將ΔABC的面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的函數(shù).

解法7(參數(shù)方程)如圖1,不妨設(shè)為直角頂點(diǎn),設(shè)直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).因?yàn)锽在雙曲線xy=1 上,可得

解得t=由于AB⊥AC,且|AB|=|AC|,則直線AC的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),即(t為參數(shù)).因?yàn)镃在雙曲線xy=1 上,可得

可解得t=從而解得a2=所以ΔABC的面積,將a2=代入,化簡得S=

設(shè)y=cos 2θsin22θ,θ ∈[0,π),則

評注解法5 至7 是利用旋轉(zhuǎn)變換的思想進(jìn)行解答,解題思路新穎巧妙,過程簡潔.另外解法5 從得復(fù)數(shù)角度得到B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo),與解法3,解法4 雖異曲同工.解法6 用到了到角公式,代數(shù)變形更為簡單,運(yùn)算量也較少,所以在競賽層面,要重視方法的積累和知識的儲備,熟練掌握一些有用的結(jié)論,才有可能縮短思維的長度,提高效率,達(dá)到事半功倍的效果.

四、結(jié)束語

一題一世界,橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.以上的幾種解法,從不同的角度出發(fā)思考問題,各顯神通,這充分體現(xiàn)試題的不拘一格,一道試題往往考查多種能力、多種思想方法,思維方式不是唯一的,提供了較大的發(fā)揮空間.這樣通過方法的選擇、解題時(shí)間的長短,甄別出考生能力的差異,達(dá)到精確區(qū)分考生的目的.從數(shù)學(xué)知識的角度來看,通過解題發(fā)現(xiàn)知識的相互聯(lián)系,體會知識之間的轉(zhuǎn)化過程,從多角度地思考和發(fā)現(xiàn)問題,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系.

學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題,數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解題,是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.同時(shí),數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,更重要的是解題后的回顧,遇到一道經(jīng)典試題,需要從多角度、深層次探尋其解法,通法也好,巧法也罷,不單要比較其優(yōu)劣,還要清楚其中的方法內(nèi)涵,知曉其中的來龍去脈,方能實(shí)現(xiàn)試題研究價(jià)值的最大化.