橢圓中三個(gè)重要的圓

湖北省松滋市第一中學(xué)(434200) 王 波

圓和橢圓是解析幾何重要的研究對(duì)象,它們不僅圖形優(yōu)美、性質(zhì)豐富,而且可以通過(guò)伸縮變換相互轉(zhuǎn)化.一般的,圓的很多性質(zhì)可以類比推廣到橢圓,與此同時(shí),橢圓中也會(huì)生成很多相關(guān)的圓,比如著名的蒙日?qǐng)A、基圓等.本文給出橢圓中的三個(gè)重要的圓,并介紹其性質(zhì)及應(yīng)用,供讀者參考.

一、橢圓的內(nèi)切圓

定義1我們把圓O:x2+y2=b2稱為橢圓C:=1(a>b>0)的內(nèi)切圓.

性質(zhì)1已知F1(?c,0),F2(c,0)為橢圓C:1(a>c>b>0)的左右焦點(diǎn),與圓O:x2+y2=b2相切的直線l與C相交于M,N兩點(diǎn),則M,F1,N或M,F2,N三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=a.

證明下面僅證M,F2,N三點(diǎn)共線的充要條件,由對(duì)稱性知M,F1,N三點(diǎn)共線充要條件類似可證.

(1)必要性 由M,F2,N三點(diǎn)共線可設(shè)l的方程為x=ty+c,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)聯(lián)立直線l與橢圓得:(b2t2+a2)y2+ 2b2cty ?b4= 0,由韋達(dá)定理得:y1+y2=所以

又直線l與圓O:x2+y2=b2相切,所以=b,即故

(2)充分性若|MN|=a.設(shè)l的方程為x=ty+m(m>0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線l與橢圓得: (b2t2+a2)y2+2b2tmy+b2m2?a2b2=0,

由韋達(dá)定理得y1+y2=所以

又直線l與圓O:x2+y2=b2相切,所以=b,即代入上式得

即(m ?c)2= 0,故m=c,所以直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2,從而M,F2,N三點(diǎn)共線.綜上,原命題得證.

應(yīng)用1(2021 新高考全國(guó)II 卷)已知橢圓1(a>b>0),右焦點(diǎn)為且離心率為

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明:M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=

分析應(yīng)用1 的第二問(wèn)只需令性質(zhì)1 中a=即可得到.

二、橢圓的基圓

定義2橢圓C:= 1(a>b>0)的內(nèi)含圓O:x2+y2=稱為橢圓C的基圓.

性質(zhì)2已知直線l與橢圓C:=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),則直線l與圓O:x2+y2=相切的充要條件是OA⊥OB.

注性質(zhì)2 的證明讀者可參考文獻(xiàn)[1].

應(yīng)用2(2021年煙臺(tái)市高三一模)已知F1,F2分別是橢圓C:= 1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),ΔAF1F2是面積為4 的直角三角形.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)圓O:x2+y2=上任意一點(diǎn)P處的切線l交橢圓C于點(diǎn)M,N,問(wèn):是否為定值? 若是,求出此定值;若不是,說(shuō)明理由.

分析應(yīng)用2 中的第二問(wèn)只需令性質(zhì)2 中a=2√

2,b=2,利用性質(zhì)2 的必要性即可得到.

三、橢圓的蒙日?qǐng)A

定義3過(guò)橢圓=1(a>b>0)上任意不同兩點(diǎn)A、B作橢圓的切線,若兩條切線互相垂直且交于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓,其方程為:x2+y2=a2+b2,這個(gè)圓叫作蒙日?qǐng)A.

注關(guān)于蒙日?qǐng)A方程的推導(dǎo)讀者可參考文獻(xiàn)[2].

性質(zhì)3已知直線l與圓O:x2+y2=a2+b2相交于A,B兩點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上),則直線l與橢圓C:1(a>b>0)相切的充要條件是kOA·kOB=

注性質(zhì)3 的證明讀者可參考文獻(xiàn)[3].

應(yīng)用3(2020年福州市四月質(zhì)檢)已知橢圓C:=1(a>b>0)的焦距為且過(guò)點(diǎn)

(1)求C的方程;

(2)若直線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),l與圓x2+y2=6 交于A,B兩點(diǎn),直線OA,OB的斜率分別記為k1,k2,試判斷k1·k2是否為定值,若是,求出該定值;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析應(yīng)用3 中的第二問(wèn)只需令性質(zhì)3 中a=2,b=利用性質(zhì)3 的必要性即可得到.

以上筆者給出了橢圓中的三個(gè)重要的圓的定義、性質(zhì)及應(yīng)用,其中定義及性質(zhì)可作為讀者命制試題的參考,而例題可供學(xué)生訓(xùn)練使用.另一方面,對(duì)于每個(gè)圓,筆者只給出了一個(gè)性質(zhì),由于圓錐曲線性質(zhì)豐富,筆者僅拋磚引玉,期待讀者給出更多、更漂亮的結(jié)論.