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    雙腔光反饋干涉激光系統(tǒng)中Lang-Kobayashi方程的六階龍格-庫塔算法

    2021-10-09 01:23:34于芳星CHENGQuanrun盧紅星柳宏川
    關(guān)鍵詞:龍格六階庫塔

    于芳星, 姬 波, CHENG Quanrun, 盧紅星, 柳宏川

    (1.鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院,河南 鄭州 450001; 2.伍倫貢大學(xué) 電子計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院,澳大利亞 新南威爾士州 伍倫貢市 2522)

    0 引言

    由光反饋效應(yīng)逐漸形成的自混合(SMI)干涉理論被廣泛應(yīng)用于位移計(jì)算、震動(dòng)檢測、形貌重構(gòu)、粒子運(yùn)動(dòng)測量等領(lǐng)域[1]。Fischer等[2]首次提出光反饋干涉儀中的雙腔結(jié)構(gòu)(雙腔OFI系統(tǒng))由激光二極管(LD)和兩個(gè)外部高反射金鏡組成。該模型在研究具有許多自由度的非線性系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)時(shí),具有十分理想的效果。Yu等[3]和Fan等[4]先后研究了多重光反饋以及多模激光器的自混合干涉理論,提出了含預(yù)反饋的激光自混合干涉型位移測量結(jié)構(gòu),可以在弱反饋條件下得到類鋸齒波以進(jìn)行判向。近年來,研究人員已在許多應(yīng)用中使用了雙腔OFI結(jié)構(gòu):Jiang等[5]和Geng等[6]提出了一種基于雙腔OFI的多普勒速度測量方法; Zhang等[7]和Chen等[8]使用雙腔OFI實(shí)現(xiàn)了二維振動(dòng)測量和多個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)檢測;Mezzapesa等[9]提出了一種使用雙腔OFI來實(shí)現(xiàn)納米級位移傳感的方法。

    Lang等[10]首次提出一種描述單模半導(dǎo)體激光器的速率方程:Lang-Kobasyashi(L-K)方程,它可以完整地描述具有外部光反饋(EOF)的單模激光的動(dòng)態(tài)行為,成為研究光反饋?zhàn)曰旌细缮嫘?yīng)動(dòng)態(tài)問題的最經(jīng)典方法之一。L-K方程本質(zhì)是一個(gè)常微分方程組,具有變系數(shù)、非線性的特征,因此無法獲得解析解(符號解),需要對其進(jìn)行數(shù)值求解。目前,已有的研究對雙腔OFI系統(tǒng)中的L-K方程主要通過歐拉法[11]、梯形公式法[12]、改進(jìn)歐拉法[13]、四階龍格-庫塔法[14]進(jìn)行求解。但這些方法存在著求解精度不夠高、計(jì)算速度不夠快的問題,導(dǎo)致生成的光電信號不能夠十分準(zhǔn)確地描述激光的動(dòng)態(tài)行為,降低了系統(tǒng)的測量精度。因此,為了進(jìn)一步提高光電信號雙腔OFI系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為求解精度,本文提出一種求解L-K方程的六階龍格-庫塔算法,通過選取更多的區(qū)間點(diǎn)計(jì)算積分曲線的斜率平均值,使其更接近于真實(shí)值以提高精度,并將其應(yīng)用于雙腔OFI系統(tǒng)的移動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)檢測仿真軟件中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

    1 雙腔OFI系統(tǒng)的L-K方程

    如圖1所示,雙腔OFI系統(tǒng)由激光二極管(LD)、光電二極管(PD)、聚焦透鏡(Lens)、目標(biāo)1(Target-1)、目標(biāo)2(Target-2)組成。其中Taerget-1為被測量目標(biāo),其表面的反射率非常低,LD與Target-1之間的腔稱為被測量腔。Target-2表面具有較高的反射率可以用于提供預(yù)反饋,LD與Target-2之間的腔稱為控制腔。

    圖1 雙腔OFI系統(tǒng)Figure 1 Dual-cavity OFI system

    L-K方程包括3個(gè)聯(lián)立的延遲微分方程(DDE),通過修改L-K微分方程,可以擴(kuò)展得到雙腔L-K方程:

    E(t-τ2)·cos(ω0τ2+φ(t)-φ(t-τ2));

    (1)

    (2)

    (3)

    雙腔L-K方程中參數(shù)的物理意義和數(shù)值見表1。

    表1 L-K方程中參數(shù)的物理意義Table 1 Physical meaning of the parameters in the L-K equation

    2 雙腔OFI系統(tǒng)L-K方程的龍格-庫塔算法

    2.1 龍格-庫塔算法

    在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的許多領(lǐng)域,經(jīng)常會(huì)遇到一階微分方程的初值問題:

    (4)

    在一系列離散的點(diǎn)x1,x2,x3,…,xn上求出未知函數(shù)y(x)之值y(x1),y(x2),y(x3),…,y(xn)的近似值y1,y2,y3,…,yn,即為所求的微分方程初值問題的數(shù)值解[15]。龍格-庫塔算法是目前最為常見的一種微分方程初值問題的數(shù)值解法,相比于歐拉法、梯形公式法、改進(jìn)歐拉法具有較高的精度和穩(wěn)定性,而且容易編程,所以被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。

    龍格-庫塔算法的基本思想是在(xn,xn+1)之間取一些積分曲線的若干點(diǎn)的切線斜率,再進(jìn)行一次(或多次)算數(shù)(或加權(quán))平均后產(chǎn)生新的斜率,隨后按這個(gè)斜率從(xn,yn)以直線代曲線向前推進(jìn)一步。根據(jù)差商代替導(dǎo)數(shù)的思想,由微分中值定理可知:

    (5)

    注意到一階微分方程y′(x)=f(x,y) 可得

    y(xn+1)=y(xn)+hf(xn+θh,y(xn+θh))。

    (6)

    2.2 四階龍格-庫塔算法

    當(dāng)在區(qū)間內(nèi)取4個(gè)點(diǎn)計(jì)算平均斜率時(shí),即為四階龍格-庫塔算法。四階龍格-庫塔公式并不唯一,其中最經(jīng)典的為[16]

    (7)

    2.3 六階龍格-庫塔算法

    六階龍格-庫塔算法需要計(jì)算7個(gè)k值,根據(jù)上述推導(dǎo)過程,可以求得一種六階龍格-庫塔公式[17]:

    (8)

    2.4 L-K方程的龍格-庫塔算法

    根據(jù)六階龍格-庫塔公式,由式(1)可以得到L-K方程的龍格-庫塔公式:

    (9)

    根據(jù)式(9),可以得到L-K方程六階龍格-庫塔算法的偽代碼如下所示。

    算法L-K方程的六階龍格-庫塔算法。

    輸入:E、φ、N關(guān)于t的微分方程和初始值;

    輸出:E、φ、N值。

    ① 設(shè)置E、φ、N的初始值E0、φ0、N0;

    ② 設(shè)置步長h;

    ③ for (k=1∶SamplingNumber) do

    ④ 計(jì)算微分方程中目標(biāo)的相位變化值;

    ⑤ 根據(jù)六階龍格-庫塔公式計(jì)算k1、k2、k3、k4、k5、k6、k7;

    ⑥ then

    ⑦ 依次計(jì)算E、φ、N;

    ⑧ 更新E0、φ0、N0;

    ⑨ end for

    用n表示采樣數(shù)的值,那么六階龍格-庫塔算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。

    3 仿真軟件設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)

    雙腔OFI系統(tǒng)仿真軟件通過MATLAB進(jìn)行開發(fā),用于測量移動(dòng)物體在運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)態(tài)行為,觀察仿真結(jié)果是否符合預(yù)期并預(yù)判測量精度,最終指導(dǎo)硬件平臺上的實(shí)際物理測試實(shí)驗(yàn)過程。

    雙腔OFI系統(tǒng)仿真軟件進(jìn)行模塊化后可以分為7個(gè)主要模塊,其模塊分解圖見圖2。

    圖2 模塊分解圖Figure 2 Module diagram

    雙腔OFI系統(tǒng)仿真軟件中的接口包括常量、變量、計(jì)算反饋強(qiáng)度、計(jì)算相位變化量、定義微分方程、龍格-庫塔算法、繪制圖像7個(gè)接口,接口定義示例見表2。

    表2 常量接口Table 2 Constant interface

    雙腔OFI系統(tǒng)仿真軟件的總體仿真流程為:通過六階龍格-庫塔算法求解L-K方程,然后根據(jù)所得的E(腔內(nèi)電場強(qiáng)度)值繪制OFI信號關(guān)于時(shí)間t的圖像。

    4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

    本實(shí)驗(yàn)的主要工作是根據(jù)電場強(qiáng)度E的值體現(xiàn)L-K方程的求解精度,不同反饋強(qiáng)度下的實(shí)驗(yàn)為對照組。因此,實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)是觀察反饋強(qiáng)度對干涉效應(yīng)的影響及不同反饋強(qiáng)度下的測量精度。k1、k2的值由實(shí)驗(yàn)輸入?yún)?shù)反饋系數(shù)c1、c2求解得出。

    4.1 單腔實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    在單腔實(shí)驗(yàn)中,設(shè)置c1=0,分別設(shè)置c2=0.3、c2=2、c2=3進(jìn)行3組實(shí)驗(yàn)。作為對照,實(shí)驗(yàn)分別采用歐拉法、四階龍格-庫塔算法(RK4)、六階龍格-庫塔算法(RK6)進(jìn)行求解。實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果見圖3、圖4,圖中橫坐標(biāo)t代表時(shí)間,縱坐標(biāo)OFI signal代表系統(tǒng)生成的光反饋信號強(qiáng)度。

    圖3 單腔實(shí)驗(yàn)中歐拉法與RK6的對比圖Figure 3 Comparison of Euler method and RK6 in single cavity experiment

    圖4 單腔實(shí)驗(yàn)中RK4與RK6的對比圖Figure 4 Comparison of RK4 and RK6 in single cavity experiment

    表3和表4展示了單腔實(shí)驗(yàn)中不同算法求解的部分E值和精度改進(jìn)率。通過計(jì)算可得,RK6相比于歐拉法的平均精度改進(jìn)率約為22.95%,RK6相比于RK4的平均精度改進(jìn)率約為6.01%。

    對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析表明,在歐拉法與RK6的對比實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)c2較小時(shí),其信號幅度也比較小,歐拉法和RK6的插補(bǔ)效果幾乎相同;當(dāng)c2分別增大到2和3時(shí),歐拉法會(huì)出現(xiàn)較明顯的偏差,RK6的效果明顯優(yōu)于歐拉法。在RK4與RK6的對比實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)c2較小時(shí),RK4和RK6的插補(bǔ)效果幾乎相同;當(dāng)c2增大到3時(shí),RK4會(huì)出現(xiàn)較明顯的偏差,RK6的效果明顯優(yōu)于RK4。

    表3 單腔實(shí)驗(yàn)中歐拉法與RK6的部分E值Table 3 Some E values of Euler method and RK6 in single cavity experiment

    表4 單腔實(shí)驗(yàn)中RK4與RK6的部分E值Table 4 Some E values of RK4 and RK6 in single cavity experiment

    4.2 雙腔實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    在雙腔實(shí)驗(yàn)中,設(shè)置3組c1、c2的值分別為:c1=0.1,c2=0.3;c1=1.5,c2=0.3;c1=4,c2=0.3。實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果見圖5、圖6。

    圖5 雙腔實(shí)驗(yàn)中歐拉法與RK6的對比圖Figure 5 Comparison of Euler method and RK6 in dual-cavity experiment

    圖6 雙腔實(shí)驗(yàn)中RK4與RK6的對比圖Figure 6 Comparison of RK4 and RK6 in dual-cavity experiment

    表5和表6展示了在雙腔實(shí)驗(yàn)中不同算法求解的部分E值和算法精度改進(jìn)率。通過計(jì)算可得,RK6相比于歐拉法的平均精度改進(jìn)率約為22.94%,RK6相比于RK4的平均精度改進(jìn)率約為6.01%。

    表5 雙腔實(shí)驗(yàn)中歐拉法與RK6的部分E值Table 5 Some E values of Euler method and RK6 in dual-cavity experiment

    表6 雙腔實(shí)驗(yàn)中RK4與RK6的部分E值Table 6 Some E values of RK4 and RK6 in dual-cavity experiment

    對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析表明:在雙腔實(shí)驗(yàn)中,其總體趨勢與單腔實(shí)驗(yàn)相似,即RK6的效果明顯優(yōu)于歐拉法和RK4;但是當(dāng)c2=0.3,同時(shí)c1逐漸增大時(shí),信號波形浮動(dòng)范圍進(jìn)一步增大,會(huì)導(dǎo)致歐拉法、RK4和RK6的插補(bǔ)效果都變得惡劣。

    5 結(jié)論

    本文通過分析微分方程數(shù)值解法的原理,選取更多區(qū)間點(diǎn)計(jì)算積分曲線的斜率平均值,提出一種求解雙腔OFI系統(tǒng)中L-K方程的六階龍格-庫塔算法,并在移動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)檢測仿真軟件中進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明:六階龍格-庫塔算法與歐拉法相比,求解精度平均提高了約22%,與四階龍格-庫塔算法相比,求解精度平均提高了約6%。因此,通過六階龍格-庫塔算法求解L-K方程可以提高其求解精度,從而提高光電信號雙腔OFI系統(tǒng)對于移動(dòng)物體的高靈敏度感測精度。

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