六階電力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析及其參數(shù)自適應(yīng)滑模控制

魯升敏， 王江彬， 劉崇新

(1.陜西省地方電力有限公司， 陜西 西安 710061； 2.西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 陜西 西安 710049)

電力系統(tǒng)作為典型的動(dòng)力學(xué)工程實(shí)際系統(tǒng)，其往往呈現(xiàn)多種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。研究表明，電力系統(tǒng)也會(huì)和其它眾多非線性系統(tǒng)一樣在特定參數(shù)及初始值條件下呈現(xiàn)混沌狀態(tài)[1-2]。人們已經(jīng)提出了眾多控制方法抑制電力系統(tǒng)混沌，然而目前大量研究工作仍然集中在二階電力系統(tǒng)模型[3-7]。

近年來，人們開始研究典型三母線電力系統(tǒng)混沌振蕩行為并為其設(shè)計(jì)控制器。三母線電力系統(tǒng)的主要?jiǎng)恿W(xué)模型包括四階模型、六階模型以及更為復(fù)雜的七階模型[8-10]。為了控制四階電力系統(tǒng)的混沌振蕩，文獻(xiàn)[11]基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論提出了有限時(shí)間反饋控制，文獻(xiàn)[12]提出了性能更為優(yōu)越的固定時(shí)間積分滑?？刂?，文獻(xiàn)[13]則基于LaSalle不變集理論提出了形式簡(jiǎn)單的自適應(yīng)反饋控制，該控制方法的突出特點(diǎn)在于所需電力系統(tǒng)模型的信息量很少。另外，文獻(xiàn)[14]在考慮系統(tǒng)干擾的條件下為該系統(tǒng)提出時(shí)標(biāo)分離滑?？刂?。四階模型可以通過對(duì)六階模型化簡(jiǎn)得到，針對(duì)更為復(fù)雜的六階模型提出的混沌控制方法必然更加具有普適性。

六階電力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型由于模型本身的復(fù)雜性所致，因此無法按照文獻(xiàn)[15-16]分析及控制簡(jiǎn)單系統(tǒng)的方法通過解析運(yùn)算求取系統(tǒng)平衡點(diǎn)與Jacobi矩陣，也難于采用諸如文獻(xiàn)[17]對(duì)簡(jiǎn)單二階電力系統(tǒng)混沌振蕩條件進(jìn)行解析分析的方法對(duì)六階電力系統(tǒng)模型進(jìn)行類似的分析。這給系統(tǒng)的分析與控制問題帶來困難，也將六階電力系統(tǒng)的分析及控制問題與簡(jiǎn)單系統(tǒng)明顯相區(qū)別。目前來說，研究這類復(fù)雜系統(tǒng)模型的主要方法仍然是計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真方法[8-10]。文獻(xiàn)[18]為六階混沌電力系統(tǒng)提出了自適應(yīng)協(xié)同控制，為該動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌控制問題提供了思路。然而，一方面尚需要對(duì)該系統(tǒng)模型中的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析，另一方面仍然有必要針對(duì)該復(fù)雜電力系統(tǒng)模型進(jìn)行混沌控制研究。

為了更進(jìn)一步對(duì)六階混沌電力系統(tǒng)進(jìn)行分析與控制，首先利用混沌理論的分岔圖、相圖以及頻譜圖對(duì)六階電力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析，并在系統(tǒng)中捕獲到了多渦卷吸引子等動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。然后在考慮參數(shù)不確定條件下為其設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)滑模控制器，利用Lyapunov穩(wěn)定性方法證明了在控制器的作用下受控系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)控制目標(biāo)，從而消除了系統(tǒng)中的混沌振蕩等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，使整個(gè)受控電力系統(tǒng)能夠恢復(fù)至穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。

1 系統(tǒng)模型及其動(dòng)力學(xué)分析

六階電力系統(tǒng)模型可以由七階電力系統(tǒng)模型簡(jiǎn)化而來[10]，在原有六階電力系統(tǒng)模型的第二個(gè)方程、第五個(gè)方程以及第六個(gè)方程施加控制器之后構(gòu)成的受控電力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型表述為：

(1)

式中：δm與sm分別表示發(fā)電機(jī)功角與頻率偏差；

令控制輸入u1=0、u2=0、u3=0，則系統(tǒng)(1)為原有六階電力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。系統(tǒng)(1)的參數(shù)中，Pm表示發(fā)電機(jī)機(jī)械輸入功率，以該參數(shù)作為分岔參數(shù)對(duì)系統(tǒng)呈現(xiàn)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值仿真分析。取參數(shù)區(qū)間Pm∈[0.65,1.129]，利用最大值法繪制系統(tǒng)狀態(tài)δm隨參數(shù)Pm變化的分岔圖見圖1。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)δm隨參數(shù)Pm變化的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram for system state δm varying with parameter Pm

圖1結(jié)合系統(tǒng)相圖表明，系統(tǒng)狀態(tài)在參數(shù)區(qū)間Pm∈[0.65,0.83]內(nèi)表現(xiàn)為周期1運(yùn)動(dòng)，在該區(qū)間內(nèi)取參數(shù)值Pm=0.7，繪制的系統(tǒng)相圖見圖2(a)。在參數(shù)區(qū)間Pm∈[0.84,1.04]內(nèi)表現(xiàn)為擬周期運(yùn)動(dòng)，在該參數(shù)區(qū)間內(nèi)取值Pm=0.9，得到的系統(tǒng)相圖見圖2(b)。在參數(shù)區(qū)間Pm∈[1.05,1.09]內(nèi)表現(xiàn)為周期3運(yùn)動(dòng)，在該參數(shù)區(qū)間內(nèi)取值Pm=1.07，得到的系統(tǒng)相圖見圖2(c)。而當(dāng)Pm∈[1.1,1.129]時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入混沌態(tài)，同樣在參數(shù)區(qū)間內(nèi)取值Pm=1.129，得到系統(tǒng)相圖見圖2(d)和圖2(e)，明顯系統(tǒng)狀態(tài)在這兩個(gè)相圖上表現(xiàn)為奇怪吸引子。而當(dāng)Pm>1.129時(shí)，會(huì)在多個(gè)參數(shù)區(qū)間出現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)散的情況，因此選取的參數(shù)區(qū)間上界為Pm=1.129。然而，在Pm>1.129時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的相圖會(huì)在某些參數(shù)區(qū)間表現(xiàn)為多渦卷吸引子，而且隨著系統(tǒng)仿真時(shí)間的增加渦卷的數(shù)目會(huì)持續(xù)增多。取參數(shù)Pm=1.146 5，仿真時(shí)間為t=100 s，得到的系統(tǒng)相圖見圖2(f)。這里繪制相圖時(shí)選取的是具有典型特征的相平面。

圖2 六階電力系統(tǒng)在不同分岔參數(shù)條件下的相圖Fig.2 Phase diagram for six-dimensional power system with different bifurcation parameters

為了更進(jìn)一步證實(shí)系統(tǒng)(1)在參數(shù)Pm=1.129與Pm=1.146 5條件下的振蕩形式是混沌振蕩，取仿真時(shí)間t=600s，得到參數(shù)Pm=1.129時(shí)狀態(tài)變量δm與VL的頻譜圖見圖3(a)和圖3(b)。同樣，參數(shù)Pm=1.146 5時(shí)狀態(tài)變量sm與VL的頻譜圖見圖3(c)和圖3(d)。對(duì)應(yīng)每個(gè)狀態(tài)變量均可以繪制對(duì)應(yīng)的頻譜圖，這里選取的也是具有典型特征的頻譜圖。由圖3可知，六階電力系統(tǒng)在這些參數(shù)條件下的頻譜圖是具有混沌振蕩典型特征的連續(xù)譜。包括混沌振蕩在內(nèi)的電力系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為有可能對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性造成危害，因此有必要對(duì)其進(jìn)行控制。

圖3 六階電力系統(tǒng)在不同分岔參數(shù)條件下的頻譜圖Fig.3 Spectrum of six dimensional power systems with different bifurcation parameters

2 參數(shù)自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

復(fù)雜電力系統(tǒng)模型的控制目標(biāo)要能夠兼容簡(jiǎn)單系統(tǒng)模型的控制目標(biāo)。二階電力系統(tǒng)模型的控制目標(biāo)多為使系統(tǒng)恢復(fù)到同步運(yùn)行狀態(tài)[3-7]，而控制四階電力系統(tǒng)模型需要使電力系統(tǒng)恢復(fù)同步并將其負(fù)載母線電壓幅值控制到額定值[19]。為此，系統(tǒng)(1)的控制目標(biāo)設(shè)為使電力系統(tǒng)恢復(fù)到同步運(yùn)行狀態(tài)并將負(fù)載母線電壓的相角及幅值控制到額定值，即具體控制目標(biāo)設(shè)為：δmd=0，δLd=0，VLd=1。為了利用滑?？刂品椒橄到y(tǒng)(1)設(shè)計(jì)混沌控制器，定義滑模函數(shù)：

(2)

式中：λ1>0。

定義式(2)的滑模函數(shù)之后，就可以將系統(tǒng)(1)的控制目標(biāo)表述為：設(shè)計(jì)控制器u1、u2、u3，使系統(tǒng)(1)的狀態(tài)分別到達(dá)滑模面：{S1|S1=0}，{S2|S2=0}，{S3|S3=0}。

(3)

(4)

式中：K1>0，K2>0，K3>0；f1、f2、f3表示系統(tǒng)函數(shù)，具體的表達(dá)式為：

(5)

證明：構(gòu)造正定的Lyapunov函數(shù)：

(6)

則該函數(shù)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：

S3{f3-(P1d/p2)+[p1/(q1p2)]Q1d+u3}+

(7)

(8)

3 控制效果數(shù)值仿真

為驗(yàn)證控制方法的有效性，可以為系統(tǒng)(1)的分岔參數(shù)Pm取不同的值，以使得系統(tǒng)狀態(tài)呈現(xiàn)如圖2所示的不同狀態(tài)。取參數(shù)值Pm=1.129以使得系統(tǒng)呈現(xiàn)圖2(d)與圖2(e)所示的混沌狀態(tài)，并在該參數(shù)條件下對(duì)控制器的有效性進(jìn)行驗(yàn)證?？刂破鲄?shù)取λ1=2，K1=10，K2=10，K3=10，由式(2)及式(4)可知只要這四個(gè)參數(shù)取正值即可，具體取值時(shí)還可以人為調(diào)整?？刂破魍度脒\(yùn)行后，受控六階電力系統(tǒng)及參數(shù)自適應(yīng)律的時(shí)域波形見圖4，該圖說明六階電力系統(tǒng)由混沌狀態(tài)恢復(fù)到平衡態(tài)，自適應(yīng)參數(shù)也恢復(fù)穩(wěn)定，從而使整個(gè)電力系統(tǒng)恢復(fù)至穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。

圖4 混沌狀態(tài)條件下受控六階電力系統(tǒng)的時(shí)域波形Fig.4 Time responses of controlled six-dimensional power system under chaotic state condition

圖5給出了六階電力系統(tǒng)狀態(tài)的演化過程圖，正如該圖顯示，未受控的電力系統(tǒng)狀態(tài)在相圖中表現(xiàn)為奇怪吸引子，而控制器投入運(yùn)行后系統(tǒng)狀態(tài)在δm-sm相平面中由奇怪吸引子經(jīng)狀態(tài)演化軌跡L1最終到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)O1(0,0)，在δm-VL相平面中也由奇怪吸引子經(jīng)狀態(tài)演化軌跡L2最終到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)O2(0,1)，從而在考慮參數(shù)不確定條件下實(shí)現(xiàn)了該復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的控制。

圖5 混沌狀態(tài)條件下六階電力系統(tǒng)的狀態(tài)演化過程圖Fig.5 State evolution process of six-dimensional power system under chaotic state condition

當(dāng)然，Pm的值完全可以取Pm=0.9或者Pm=1.146 5，以使得系統(tǒng)狀態(tài)呈現(xiàn)圖2(b)或圖2(f)所示的擬周期狀態(tài)或者多渦卷吸引子狀態(tài)，即驗(yàn)證控制器的有效性時(shí)完全可以使系統(tǒng)狀態(tài)呈現(xiàn)擬周期狀態(tài)或者多渦卷吸引子狀態(tài)?？刂茀?shù)不變，將系統(tǒng)分岔參數(shù)取值為：Pm=0.9，這時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)在相圖上表現(xiàn)為如圖2(b)所示的擬周期吸引子。在該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)條件下投入所設(shè)計(jì)的控制器，可得到電力系統(tǒng)狀態(tài)演化圖如圖6所示，該圖說明控制器能夠?qū)崿F(xiàn)與圖5類似的控制效果，受控系統(tǒng)的狀態(tài)在相圖上也經(jīng)由一定的演化軌跡逐漸運(yùn)動(dòng)到控制目標(biāo)點(diǎn)。圖7則給出了當(dāng)分岔參數(shù)Pm=1.146 5，系統(tǒng)狀態(tài)呈現(xiàn)如圖2(f)所示的多渦卷吸引子狀態(tài)條件下的系統(tǒng)狀態(tài)演化圖，所得到的控制效果類似于圖5和圖6的仿真結(jié)果。擬周期狀態(tài)與多渦卷狀態(tài)條件下受控電力系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)波形也和圖4呈現(xiàn)的結(jié)果相似?？刂破髟谙到y(tǒng)運(yùn)行的三種狀態(tài)條件下均能夠控制復(fù)雜六階電力系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)行為，這都證實(shí)了所設(shè)計(jì)控制器的有效性，也意味著控制器對(duì)重要參數(shù)Pm的變動(dòng)具備一定的魯棒性。

圖6 擬周期狀態(tài)條件下六階電力系統(tǒng)的狀態(tài)演化過程圖Fig.6 State evolution process of six-dimensional power system under quasi periodic state condition

圖7 多渦卷狀態(tài)條件下六階電力系統(tǒng)的狀態(tài)演化過程圖Fig.7 State evolution process of six-dimensional power system under multi-scroll chaotic state condition

4 結(jié) 論

1) 通過混沌理論中的分岔圖、相圖以及頻譜圖分析得出，六階電力系統(tǒng)存在復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，包括周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)，并出現(xiàn)了多渦卷吸引子現(xiàn)象。

2) 考慮參數(shù)不確定條件下，所設(shè)計(jì)的參數(shù)自適應(yīng)滑?？刂破骺梢钥刂屏A電力系統(tǒng)中的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，并使系統(tǒng)能夠恢復(fù)到穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)?？刂菩Ч抡孀C實(shí)，控制器在系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)、擬周期狀態(tài)以及多渦卷吸引子狀態(tài)三種條件下均能夠?qū)崿F(xiàn)控制目標(biāo)。

3) 注意到控制目標(biāo)為使電力系統(tǒng)恢復(fù)到同步運(yùn)行狀態(tài)并將其負(fù)載母線電壓控制到額定值，這與四階電力系統(tǒng)及二階電力系統(tǒng)的控制目標(biāo)是相兼容的。也說明電力系統(tǒng)混沌控制完全是一個(gè)電力系統(tǒng)控制問題，應(yīng)從電力系統(tǒng)控制的角度為混沌電力系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器。本文的研究結(jié)論可以為電力系統(tǒng)高維復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型的混沌控制提供借鑒。