五階與六階三角樣條曲線

嚴(yán)蘭蘭， 韓旭里， 黃 濤

（1. 東華理工大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013；2. 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410083）

五階與六階三角樣條曲線

嚴(yán)蘭蘭1,2， 韓旭里2， 黃 濤1

（1. 東華理工大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013；2. 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410083）

利用三角函數(shù)構(gòu)造了兩個含參數(shù)的函數(shù)組，它們分別由6個、7個函數(shù)組成，分析了這兩個函數(shù)組的性質(zhì)。由這兩組函數(shù)定義了兩種新的樣條曲線，它們分別具有與五次、六次B樣條曲線相同的結(jié)構(gòu)。新曲線在繼承B樣條曲線基本性質(zhì)的同時，又具備了一些新的優(yōu)點。例如，在等距節(jié)點下，新曲線在節(jié)點處均可以達(dá)到C5連續(xù)，而且在不改變控制頂點的情況下，新曲線的形狀均可以通過改變形狀參數(shù)的值進行調(diào)整。另外，給出了使新曲線插值于控制多邊形首末端點的方法，以及構(gòu)造閉曲線的方法等，文中的圖例說明了新方法的正確性和可行性。

曲線設(shè)計；三角函數(shù)；樣條曲線；形狀參數(shù)；連續(xù)性

B樣條方法具有表示與設(shè)計自由型曲線曲面的強大功能，是最廣泛流行的形狀數(shù)學(xué)描述的主流方法之一。雖然如此，B樣條方法依然可以繼續(xù)改進。為了使B樣條曲線的形狀可以在不改變控制頂點的情況下自由調(diào)整，文獻[1-3]通過在基函數(shù)中加入?yún)?shù)來實現(xiàn)這一目標(biāo)。為了使B樣條曲線可以精確表示橢圓、擺線、螺旋線等，文獻[4-5]通過在三角函數(shù)空間上構(gòu)造基函數(shù)來實現(xiàn)這一目標(biāo)。為了使B樣條曲線可以精確表示雙曲線、懸鏈線等，文獻[6-8]通過在雙曲函數(shù)空間上構(gòu)造基函數(shù)來實現(xiàn)這一目標(biāo)。為了使B樣條曲線可以達(dá)到更高階的連續(xù)性，文獻[9-15]通過構(gòu)造特殊的三角基函數(shù)來實現(xiàn)這一目標(biāo)。此外，文獻[9-15]中定義的曲線均具有形狀可調(diào)性，另文獻[11-15]中定義的曲線均可以表示橢圓。

為了進一步豐富三角樣條曲線造型方法，繼文獻[14]定義了結(jié)構(gòu)與性質(zhì)類似于三次B樣條曲線的三角樣條曲線，文獻[15]定義了結(jié)構(gòu)與性質(zhì)類似于四次B樣條曲線的三角樣條曲線之后，這里分別定義了結(jié)構(gòu)和性質(zhì)類似于五次、六次B樣條曲線的三角樣條曲線。新曲線的優(yōu)點在于不僅具有形狀可調(diào)性，而且還可以達(dá)到較高階的連續(xù)性。

雖然與五次、六次B樣條曲線相比，因為采用三角函數(shù)作為基函數(shù)，五階、六階三角樣條曲線的計算量有所增加。但五次均勻B樣條曲線在節(jié)點處只能達(dá)到C4連續(xù)，雖然六次均勻B樣條曲線在節(jié)點處可以達(dá)到C5連續(xù)，但當(dāng)控制頂點和節(jié)點向量給定后，五次、六次B樣條曲線的形狀便都被唯一確定了，要想修改它們的形狀，必須調(diào)整控制頂點或節(jié)點向量，重新計算曲線方程。而這里即將給出的五階、六階均勻三角樣條曲線除了在節(jié)點處可以達(dá)到C5連續(xù)之外，還可以在不改變控制頂點和節(jié)點向量的情況下，通過改變形狀參數(shù)的取值方便有效地調(diào)整曲線的形狀，因此這里為采用三角函數(shù)所付出的的增加計算量的代價是有理論和現(xiàn)實意義的。

1 函數(shù)組的構(gòu)造與性質(zhì)

為五階三角樣條函數(shù)；稱函數(shù)

為六階三角樣條函數(shù)。

將三角樣條函數(shù)中的各函數(shù)沿參數(shù)軸首尾相連，則構(gòu)成一條完整的三角樣條。圖1和圖2分別為取不同參數(shù)時得到的五階、六階三角樣條。

圖1 五階三角樣條函數(shù)

圖2 六階三角樣條函數(shù)

五階、六階三角樣條函數(shù)具有下列性質(zhì)：

（1）退化性：當(dāng) λ= 1時， b50(t)= b55(t)= 0，五階三角樣條函數(shù)成為文獻[11]中取 λ=1時的基函數(shù)，文獻[12]中取 m= 3時的調(diào)配函數(shù)，文獻[14]中取時的 β- B基；當(dāng) λ= 1時，b60(t)= b66(t)= 0，六階三角樣條函數(shù)退化為文獻[15]中取 α=1時的 α- B基。

（2）非負(fù)性： b (t) ≥ 0(n= 5,6;i=0,1,…,n)。

2 曲線的構(gòu)造與性質(zhì)

定義2：給定控制頂點 P ∈ Rd(d = 2,3;i =0,1,

i… ,n)和節(jié)點向量 U=(u-4,u-3,…,un+2)，其中u-4＜ u-3＜ … ＜un+2。對于 i= 1,2,… ,n -4，定義

為五階三角樣條曲線段，所有曲線段構(gòu)成樣條曲線

為六階三角樣條曲線段，所有曲線段構(gòu)成樣條曲線

五階、六階三角樣條曲線具有下列性質(zhì)：

（1）凸包性：由五階、六階三角樣條函數(shù)的非負(fù)性和規(guī)范性可知，由式(7)確定的曲線段位 于 由 控 制 頂 點形成的凸包 Hi內(nèi)，由式(8)確定的整條曲線 p(u)位于所有凸包 Hi的并集內(nèi)；由式(9)確定的曲線段位于由控制頂點形成的凸包 Ti內(nèi)，由式(10)確定的整條曲線 q(v)位于所有凸包 Ti的并集內(nèi)。

（2）幾何不變性：由五階、六階三角樣條函數(shù)的規(guī)范性可知，五階、六階三角樣條曲線的形狀均與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。

（3）對稱性：由五階、六階三角樣條函數(shù)的對稱性可知，將五階、六階三角樣條曲線的控制多邊形順序取反，將定義同一條曲線，僅曲線方向取反。

（4）連續(xù)性：由五階、六階三角樣條函數(shù)的端點性質(zhì)式(3)～式(6)，以及五階、六階三角樣條曲線段的定義式易知

結(jié)合式(11)～式(13)有

其中， k= 0,1,… ,5，這說明五階、六階三角樣條曲線均 G5連續(xù)，均勻五階、六階三角樣條曲線均C5連續(xù)。

（5）形狀可調(diào)性：由于五階、六階三角樣條函數(shù)的表達(dá)式中均含有參數(shù)λ，故在不改變控制頂點的情況下，五階、六階三角樣條曲線的形狀均可以通過改變參數(shù)λ的值進行調(diào)整。

圖3和圖4分別為取不同參數(shù)時得到的五階、六階三角樣條曲線，圖中虛線為控制多邊形。從圖中可以看出，參數(shù)λ的值越大，五階、六階三角樣條曲線越逼近其控制多邊形。

圖3 五階三角樣條曲線

圖4 六階三角樣條曲線

3 曲線設(shè)計

開曲線與閉曲線的構(gòu)造是曲線設(shè)計中最基本的內(nèi)容，人們需要了解開曲線的端點行為和如何構(gòu)造閉曲線。

由式(3)、式(4)、式(7)、式(8)可知，由控制頂點 P0,P1,… ,Pn定義的五階三角樣條曲線的起點、終點分別為由式(14)、式(15)可知：若記 P0與 P4的中點為， P1與 P3的中點為，則曲線的首點位于以邊（位于邊上，起點為 P，2長度為邊的長度的倍）和（位于邊上，起點為 P2，長度為邊的長度的倍）為鄰邊形成的平行四邊形的對角線（起點為 P2）的終點處。對于終點也有相似的結(jié)論。

方法1：先在邊 P0P1上任取一點記作，在邊 Pn-1Pn上任取一點記作，再由公式

方法2：先由公式

圖5給出了在初始控制多邊形相同的情況下，由不同方法得到的插值于控制多邊形首末頂點的五階三角樣條曲線。圖5(a)中的曲線是采用第一種方法得到的，圖5(b)中的曲線是采用第二種方法得到的。

圖5 插值于控制多邊形首末頂點的五階三角樣條曲線

若控制多邊形 P0P1… Pn是封閉的，即P0= Pn，為了使由之定義的五階三角樣條曲線也是封閉的，只需增加 4 個輔助頂點再由控制多邊形定義五階三角樣條曲線即可（見圖6(a)）。倘若不僅要求曲線封閉，而且要求曲線插值于控制多邊形的首末頂點，即插值于點 P0(Pn)， 則 不 需 先 增 加 輔 助 頂 點而只需直接按照上一段所陳述的兩種方法增加輔助頂點即可（見圖6(b)）。

圖6給出了由封閉控制多邊形定義的封閉的五階三角樣條曲線。圖6(a)中的曲線僅僅是封閉的，圖6(b)中的曲線不僅封閉而且插值于控制多邊形的首末頂點。

圖6 封閉的五階三角樣條曲線

由式(5)、式(6)、式(9)、式(10)可知，由控制頂點 P0,P1,… ,Pn定義的六階三角樣條曲線的起點、終點分別為

由式(16)、式(17)可知：若記 Q0與 Q5的中點為Q1與 Q4的中點為Q2與 Q3的中點為則曲線的起點位于以邊（位于邊上，起點為Q23，長度為邊的長度的倍）和（位于邊上，起點為長度為邊的長度的倍）為鄰邊形成的平行四邊形的對角線（起點為Q23）的終點處。對于終點也有相似的結(jié)論。

方法1：先在邊 Q0Q1上任取兩點記作使點順序排列，在邊 Qn-1Qn上任取兩點記作使點順序排列，再由公式確定輔助頂點然后由控制多邊形定義曲線即可（見圖7(a)）。

方法2：先在邊 Q0Q1上任取一點記作，在邊上任取一點記作，再由公式

圖7給出了在初始控制多邊形相同的情況下，由不同方法得到的插值于控制多邊形首末頂點的六階三角樣條曲線。

圖7 插值于首末控制頂點的六階三角樣條曲線

若控制多邊形 Q0Q1… Qn是封閉的，即Q0= Qn，為了使由之定義的六階三角樣條曲線也封閉，只需增加 5 個輔助頂點再由控制多邊形定義曲線即可（見圖8(a)）。倘若不僅要求曲線封閉，而且要求曲線插值于控制多邊形的首末頂點，則只需直接按照上一段所陳述的兩種方法增加輔助頂點即可（見圖8(b)）。

圖8給出了由封閉控制多邊形定義的封閉的六階三角樣條曲線。圖8(a)中的曲線僅僅是封閉的，圖8(b)中的曲線不僅封閉而且插值于控制多邊形的首末頂點，其中由內(nèi)至外的曲線分別取參數(shù)

圖9和圖10 分別給出了五階、六階三角樣條曲線的圖形實例。圖9中由大到小的星形曲線分別為由五角星形的控制多邊形（點線線）和參數(shù)λ= 0,1所確定的五階三角樣條曲線。圖10中的曲線為由圖中控制多邊形（點線）和參數(shù) λ=1所確定的六階三角樣條曲線。

圖8 封閉的六階三角樣條曲線

圖9 星形圖案

圖10 手掌圖案

4 總 結(jié)

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Five-and Six-Order Trigonometric Spline Curves

Yan Lanlan1,2, Han Xuli2, Huang Tao1
(1. College of Science, East China Institute of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China 2. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha Hunan 410083, China)

Using trigonometric functions, two groups of functions with parameters are constructed, which consist of six and seven functions respectively. The properties of the two groups of functions are analyzed. Based on them, two kinds of new spline curves are defined, which have the same structure with quintic and sextic B-spline curves respectively. The new curves not only inherit the basic properties of B-spline curve, but also have some new advantages. For example, when the knot points are equidistant, the new curves can reach C5continuous at the knot points, and the shape of the new curves can be adjusted by changing the value of the shape parameter with the control points unchanged. In addition, the methods of making the new curves interpolating the first and end points of the control polygon, and the methods of constructing closed curves, etc, are given. The examples in the paper show the new method is correct and feasible.

curve design; trigonometric function; spline curve; shape parameter; continuity

TP 391

A

2095-302X (2014)02-0200-08

2013-05-22；定稿日期：2013-08-29

國家自然科學(xué)基金資助項目（11261003，11271376，60970097）

嚴(yán)蘭蘭（1982-），女，湖北浠水人，講師，博士研究生。主要研究方向為計算機輔助幾何設(shè)計。E-mail：yxh821011@aliyun.com